3.4 函数的应用（一） 过关练习 2025--2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

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3.4 函数的应用（一） 过关练习 2025--2026学年
高中数学必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（ ）
A．310元 B．300元
C．390元 D．280元
2．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量（束）与销售单价（元）的关系为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为
A．15元 B．13元 C．11元 D．10元
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为．其中代表拟录用人数，代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为
A．15 B．25 C．40 D．130
4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
5．某幢建筑物，从m高的窗口用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如图所示，如果抛物线的最高点离墙m，离地面m，则水流落地点离墙的距离是（ ）
A．2m B．3m C．4m D．5m
6．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋x2，Q＝a＋，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有(　　)
A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45
C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30
7．以速度（单位：）从地面竖直向上发射子弹，经过时间（单位：）的子弹高度（单位：）可由二次函数确定．已知发射后第末时的子弹高度为，则子弹在以上的高度能持续多少秒（ ）
A．10 B．大于5小于10 C．大于10 D．5
8．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司年总收入为亿元，其中保险业务收入为亿元，理财业务收入为亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前一年增加亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，若要使得该公司年的保险业务收入不高于当年总收入的，则的值至少为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A．甲比乙先出发 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同 D．甲先到达终点
10．几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16万元，且，利润率.现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
三、填空题
11．把长为12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是 ．
12．某汽车在同一时间内速度 (单位：)与耗油量(单位：)之间有近似的函数关系，则车速为 时,汽车的耗油量最少.
13．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为(不超过起步价付费)；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了 .
14．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100，价格为g(t)=t+4，则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为S(t)= .
15．某人驱车以52千米/时的速度从A地驶往260千米远处的B地，到达B地后没有停留，再以65千米/时的速度返回A地.试将此人驱车走过的路程s（千米）表示为时间t的函数是 .
16．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况.下列叙述：
(1)产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；
(2)产品已出现了供大于求的情况，价格将趋跌；
(3)产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；
(4)产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.
你认为较合理的是 .
四、解答题
17．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域)．
(2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？
18．某运营商为满足用户手机上网的需求，推出甲、乙两种流量包月套餐，两种套餐应付的费用（单位：元）和使用的上网流量（单位：GB）之间的关系如图所示，其中，都与横轴平行，与相互平行．
(1)分别求套餐甲、乙的费用（元）与上网流量（GB）的函数关系式和；
(2)根据题中信息，用户怎样选择流量包月套餐，能使自己应付的费用更少？
19．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，其中，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升） 且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B B B A D A ABC BC
1．B
【分析】利用已知条件列方程，化简求得正确选项.
【详解】依题意，解得.
故选：B
2．B
【分析】设每天获利元，可得，结合二次函数的图像与性质求最值即可.
【详解】设每天获利元，则
由，，得，
故当时，每天获利最大.
故选B
【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
3．B
【分析】根据分段函数的解析式，令，结合分段条件，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，函数，
令，若，则，不合题意；
若，则，满足题意；
若，则，不合题意．
故该公司拟录用25人．
故选B
【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中合理利用分段函数的解析式，结合分段条件求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
4．B
【详解】由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
5．B
【分析】以抛物线所在平面与墙面的交线为轴，和水平面的交线为轴建立坐标系, 根据最高点离墙m，离地面m，设抛物线方程为，再将点坐标代入求解.
【详解】以抛物线所在平面与墙面的交线为轴，和水平面的交线为轴建立坐标系．
则由题设条件知，抛物线的顶点，点坐标为．
于是可设抛物线方程为．
将点坐标代入该方程，解得．
抛物线方程为：．
令，得，
或（舍去）．
点的坐标为，
故，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数模型的应用，属于基础题.
6．A
【详解】设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，
则y＝xQ－P＝x－＝·x2＋(a－5)x－1 000(x＞0)．
由题意知，当x＝150时，y取最大值，此时Q＝40.
所以解得
答案：A
7．D
【分析】由题可得函数的解析式，然后利用二次函数的性质结合条件即得．
【详解】因为，由题意知，，
所以，解得，
所以，其开口向下，对称轴为，
所以子弹在以上的高度能持续的时间为(s)．
故选：D．
8．A
【分析】求出年通过理财业务的收入为亿元，根据题意可得出关于的不等式，解出的范围即可得解.
【详解】因为该公司年总收入为亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以年的总收入为亿元，
因为要求从年起每年通过理财业务的收入是前一年的倍，
所以年通过理财业务的收入为亿元，所以，解得.故的值至少为，
故选：A.
9．ABC
【分析】由图可知两人同时出发，路程相同，甲所用时间较少，即可判断得出结果.
【详解】根据图象可以看出，甲、乙两人同一时间从同一地点出发，两人路程一样，
显然甲所用时间短，两人速度不同，甲先到达终点；
所以只有D正确.
故选：ABC
10．BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当时，，
故当时，获得最大利润，为，故B正确，D错误；
，
当且仅当，即时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
11．2 cm2．
【详解】试题分析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性质求出其最小值．
解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为（4﹣x）cm，两个三角形的面积和为
S=x2+（4﹣x）2=x2﹣2x+4．
令S′=x﹣2=0，则x=2，所以Smin=2．
故答案为2 cm2．
点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法．
12．35
【分析】利用二次函数的性质可求耗油量最少时对应的的值.
【详解】因为可化简
，故当时，汽车的耗油量最少.
故填.
【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，属于基础题.
13．9
【详解】设为行驶里程，为费用，则当时，，当时，，当时，，若时得，符合题意，故答案为9．
14．2t2+108t+400，t∈N
【分析】根据日销售额=日销售量×价格，列关系式即得函数解析式.
【详解】解：因为日销售额=日销售量×价格，
故S=f(t)×g(t)=(2t+100)×(t+4)
=2t2+108t+400，t∈N.
故答案为：2t2+108t+400，t∈N.
【点睛】本题考查了数学建模思想，属于基础题.
15．
【分析】分时间段考查时间和路程之间的关系，写成分段函数即可.
【详解】从A地到B地，路上的时间为（小时）；
从B地回到A地，路上的时间为（小时）.
当时，；
当时，，
则
故答案为：.
16．(2)(3)
【分析】由函数图象可以看出产量和销售量随年份的变化规律，从而判断各选项是否合理.
【详解】由图象可得年产量一直大于年销售量，故产品已出现了供大于求的情况，价格将趋跌，(1)不合理，(2)合理.
由于直线的斜率大于直线的斜率，年产量的增长速度快于年销售量的增长速度，
故产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量，(3)合理．
年产量和年销售量每年都增长相同的量，故年增长率不递增，(4)不合理.
故填(2)(3).
【点睛】本题考查实际问题中的函数关系，需要结合自变量和函数值表示的实际意义来理解题意.
17．(1)f(x)＝－3x＋162，x∈[30，54]；
(2)P=-3(x-42)2+432,x∈[30,54]，销售单价为42元.
【分析】（1）设出函数的解析式，进而根据表格中的数据求得答案；
（2）先求出P，然后根据二次函数求最值的方法解得答案.
【详解】（1）因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，由表格得方程组，所以y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函数关系式为f(x)＝－3x＋162，x∈[30，54]．
（2）由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)
.
当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．
18．(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用函数的图像结合分段函数的性质求出解析式；
（2）由，得，结合图像选择合适的套餐.
【详解】（1）对于套餐甲：
当时，，
当时，设，可知函数图象经过点，，
所以，解得，所以．
故
对于套餐乙：
当时，，
当时，根据题意，可设，
将代入可得，所以．
故
（2）由，可得，解得．
由函数图象可知：
若用户使用的流量时，应选择套餐甲；
若用户使用的流量时，选择两种套餐均可；
若用户使用的流量，应选择套餐乙．
19．（1）16天（2）
【分析】(1)由题意首先得到该药剂在水中释放的浓度的解析式，然后求解不等式即可确定自来水达到有效净化一共可持续的天数.
（2）由确定各段的单调性，求出值域，然后将原问题转化为恒成立的问题可得m的最小值.
【详解】（1）由题意，当药剂质量为m=4，所以
当时，显然符合题意．
当x＞4时，解得，
综上，
所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
（2）由，得：
在区间（0，4]上单调递增，即；
在区间（4，7]上单调递减，即，
综上，
为使恒成立，只要且即可，
即所以应该投放的药剂质量m的最小值为
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数的单调性及应用：求值域，注意函数的各段解析式，属于中档题．
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