3.1.1 函数概念 过关练习 2025--2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

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3.1.1 函数概念 过关练习
2025--2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
A．y是x的函数 B．w是y的函数
C．w是z的函数 D．w是x的函数
2．函数 的定义域是（ ）
A．或 B．或
C．或 D． 或
3．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，不满足：的是
A． B． C． D．
5．下列函数与是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花．”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数，则在下列实数中，函数值y可以取值的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．若函数的定义域为，则实数的取值范围 ．
11．已知集合，的定义域为，若，则实数的取值范围是 ．
12．已知满足，且，，那么 .
13．若[a,3a－1]为一确定区间，则a的取值范围是 ．
14．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，例如，，当时，函数的值域为 .
15．已知函数的值域是，则 ．
四、解答题
16．已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)求，的值．
17．（1）已知函数的定义域为，求的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求的定义域．
18．已知函数，.
（1）求的值；
（2）求的值．
19．已知函数的定义域为，值域为，求m，n的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B D C D B B CD ACD
1．B
【分析】根据函数的定义，结合题意，可得答案.
【详解】对于AD，由于同学姓名非数字，故AD错误；
对于B，任意一个学号都对应一位确定的同学，则该同学的数学成绩也是唯一确定的，故B正确；
对于C，假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，故C错误；
故选：B.
2．B
【分析】根据偶次根式函数有意义列不等式求解定义域.
【详解】由题意，可得，即， 即，
解得或.
故选：B．
3．D
【分析】根据的定义域为，求出的定义域，结合分式的分母不为0求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
解得，
又由知，，
所以函数的定义域为，
故选：D
4．C
【详解】试题分析：A中，B中，C中，D中
考点：函数关系判断
5．D
【分析】根据同一函数满足函数三要素相同，逐个计算判定即可．
【详解】对于A 选项，函数，但定义域满足.而的定义域为.因为定义域不同，所以A选项不是同一个函数.
对于B 选项，函数.而，因为对应关系不同，所以B选项不是同一个函数.
对于C 选项,函数.而，因为对应关系不同，所以C选项不是同一个函数.
对于D 选项，函数，定义域为.与的定义域相同，对应关系也相同，所以D选项是同一个函数.
故选：D.
6．B
【分析】利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值性质进行求解即可．
【详解】解：设，则，则，
则函数等价为，
对称轴为，
则当时，函数取得最大值，
即，即函数的值域为，，
故选：．
7．B
【解析】先配方，求出函数的单调区间，即可求出值域.
【详解】令，配方得,
∴函数在上单调递减，在单调递增，
又，∴，，
故函数的值域是，
故选：B
【点睛】本题考查二次函数的值域，属于基础题.
8．CD
【分析】函数概念：设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数.根据函数的概念可确定选项.
【详解】A.当时，，在集合没有对应值，不符合函数概念.
B.当时，，在集合没有对应值，不符合函数概念.
C.对于，按照对应关系，在集合中有唯一确定的和它对应，符合函数概念.
D.对于，按照对应关系，在集合中有唯一确定的和它对应，符合函数概念.
故选：CD．
9．ACD
【分析】求出函数的定义域，讨论或，利用基本不等式即可求解.
【详解】，定义域为，
当时，，
当且仅当时，即取等号，可得A、C正确；
当，则，，所以，
所以，
当且仅当时，即取等号，所以D正确，
故选：ACD．
10．
【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种情况分别求得a的取值范围，可得解.
【详解】的定义域为是使在实数集上恒成立.
若时,要使恒成立,则有 且,即,解得.
若时，化为，恒成立，所以满足题意，
所以
综上,即实数a的取值范围是.
故填: .
【点睛】本题主要考查函数恒成立问题,将恒成立转化为不等式恒成立,然后利用一元二次不等式的知识求解是解决本题的关键,同时要注意对二次项系数进行讨论，属于基础题.
11．
【分析】先利用具体函数的定义域求得集合，再利用数轴法即可得解.
【详解】因为，所以，得，
所以，
因为，所以，解得，即.
故答案为：.
12．
【分析】根据题目条件得到，代入数据得到答案.
【详解】
.
故答案为
【点睛】本题考查了函数值的计算，化简得到是解题的关键.
13．
【详解】由题意3a－1>a，得a>,故填
14．
【分析】利用高斯函数的定义，分段求出函数取值集合，再求并集作答.
【详解】依题意，当时，，则，当时，，则，
当时，，则，当时，，则，
所以当时，函数的值域为.
故答案为：
15．
【分析】配方后，结合二次函数的值域，列出方程，求出答案.
【详解】，
故，解得．
故答案为：
16．(1)
(2)，.
【分析】（1）根据题意知且，由此可求其定义域；
（2）直接将代入解析式求值即可.
【详解】（1）根据题意知且，
且，即函数的定义域为.
（2）.
.
17．（1）；（2） ．
【分析】根据抽象函数定义域的整体性代换求解即可.
【详解】（1）因为函数中的相当于函数中的，
所以，所以，
所以所以 的定义域为
（2）因为 的定义域为，
即，所以，
所以的定义域为
即所以，
所以的定义域为．
18．（1）1；（2）．
【分析】(1)直接将a和 代入解析式进行化简求和即可；（2）根据第一问可得到，故，又因为即可得到结果.
【详解】（1）由于，
所以．
（2）方法一：因为，，，
所以．
方法二：由（1）知，
从而，
故．
而，
所以．
【点睛】这个题目给我们的启迪是：注意从特殊到一般的应用，（1）此类求值问题，一般要求的式子较多，不便逐个求解.求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律,进而去化简，从而得到问题的解决方法;（2）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解;（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制．
19．
【解析】可将整理为,因为,由,则,即,由一元二次方程、二次函数、一元二次不等式（即“三个二次”）之间的关系,则关于y的一元二次方程的两根为1和9,利用韦达定理求解；同时,时也成立
【详解】解：去分母,并整理成关于x的一元二次方程的形式,
由,得,
根据一元二次方程有实数根的条件列式,
由,得若,则,
即,
根据一元二次方程、二次函数、一元二次不等式（即“三个二次”）之间的关系,
由知,关于y的一元二次方程的两根为1和9,
故有,解得
当时,也符合题意,
∴
【点睛】本题考查已知函数定义域、值域求参数问题,考查二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系的应用
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