3.2.1 单调性与最大(小)值 过关练习 2025--2026学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

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3.2.1 单调性与最大(小)值 过关练习 2025--2026学年
高中数学必修第一册（人教A版2019）
一、单选题
1．下列函数在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
2．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在上单调递增,则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．已知函数是R上的增函数，，是其图象上的两点，则的解集是（　　）
A． B．
C． D．
5．函数f（x）在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（ ）

A．－1，0 B．0，2
C．－1，2 D．，2
6．已知函数，其定义域是，，则下列说法正确的是　　
A．有最大值，无最小值 B．有最大值，最小值
C．有最大值，无最小值 D．有最大值2，最小值
7．求函数,，的值域（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．设函数，则的值域是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
10．已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是（ ）
A．函数在上不具有单调性
B．当时，在上递减
C．若的单调递减区间是，则a的值为
D．若在区间上是减函数，则a的取值范围是
三、填空题
11．函数为定义在上的增函数，且，则实数的取值范围是 ．
12．已知在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为 ．
13．已知是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为 ．
14．已知函数在区间上的最大值为 ．
15．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售辆，则能获得的最大利润为 万元.
16．已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a的值为 ．
四、解答题
17．画出下列函数的图象，并写出单调区间：
(1)；
(2)．
18．已知函数.
(1)讨论函数在上单调性,并用定义证明;
(2)当时,有,求的范围.
19．已知，函数．
(1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B C A B B D BD
1．C
【分析】分别判断选项中的函数在上的单调性即可.
【详解】对于A，反比例函数在上单调递增，当时，函数没有意义，故A不符合题意；
对于B，反比例函数在上单调递减，当时，函数没有意义，故B不符合题意；
对于C，时，，在上单调递增，故C符合题意；
对于D，由二次函数性质可知，在上先减后增，故D不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】根据增函数的定义求解即可.
【详解】因为在上是增函数，且，
所以.
故选：.
3．D
【分析】分和两种情况进行讨论即可
【详解】当时，则，在上单调递增，满足题意；
当时，的对称轴为，
要使函数在上单调递增，只需，解得
综上，a的取值范围是
故选：D
4．B
【分析】利用函数单调性可解.
【详解】由已知，得，
则，
在R上单调递增，.
故选：B.
5．C
【分析】根据图象观察即可.
【详解】根据图象观察知，
故选：
6．A
【分析】将化为，判断在，的单调性，即可得到最值．
【详解】解：函数
即有在，递减，
则处取得最大值，且为，
由取不到，即最小值取不到．
故选：．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题．
7．B
【分析】根据二次函数对称轴与定义区间位置关系确定最值，即得值域.
【详解】因为，又，所以，即函数的值域为，故选B．
【点睛】本题考查二次函数值域，考查基本求解能力.
8．B
【分析】由函数在上为单调递增函数，求得取得最小值，结合题意，即可求解.
【详解】由题意，函数在上为单调递增函数，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
要使得当时，恒有成立，所以.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求最值，以及不等式的恒成立问题的求解，着重考查转化思想，以及运算能力.
9．D
【分析】分别当和求出的范围和解析式，再分别求出每段的值域，然后求其并集可得答案
【详解】当,即，时,或,
,
因为，所以，
因此这个区间的值域为.
当时,即，得,
其最小值为，
其最大值为，
因此这区间的值域为.
综上，函数值域为:.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题考查的值域的求法.解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.
分类讨论思想的常见类型
⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
⑵问题中的条件是分类给出的；
⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
10．BD
【解析】对于A，取可判断；对于B，可得的单调递减区间为，即可判断；对于C，由题可得无解，即可判断；对于D，讨论和即可求出.
【详解】对于A，当时，在上单调递减，故A错误；
对于B，当时，对称轴为，开口向上，的单调递减区间为，，在上递减，故B正确；
对于C，若的单调递减区间是，则无解，故C错误；
对于D，当时，在上单调递减，满足题意；当时，若在区间上是减函数，则，解得；综上，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：本题考查含参二次函数的单调性问题，解题的关键是求出函数的对称轴和开口方向，根据二次函数的图象和性质列不等式求解.
11．．
【分析】根据函数的单调性可得，解不等式组即可求解.
【详解】由题意得，解得．
所以实数的取值范围是.
故答案为：
12．m≤0或m≥4
【分析】求出二次函数的对称轴，利用二次函数的单调性质，可以得到两个不等式，解不等式即可求出实数m的取值范围.
【详解】根据题意，为二次函数，其对称轴为x，若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有1或3，解可得m≤0或m≥4，即m的取值范围为m≤0或m≥4，故答案为m≤0或m≥4．
【点睛】本题考查了二次函数的单调性质，考查了数学运算能力.
13．
【分析】依题意，不等式等价于，利用函数单调性求解即可.
【详解】由可得．
因为，所以不等式，即为．
因为是定义在上的增函数，所以，解得．
故不等式的解集为．
故答案为：
14．-4
【详解】试题分析：由题意，得在上为减函数，则在也为减函数；所以当时，
.
考点：函数的单调性与最值.
15．120
【分析】设在甲地销售量,则在乙地销售为,再列出利润函数求最大值即可.
【详解】设在甲地销售量,则在乙地销售为,
则利润为
因为二次函数对称轴为,故当时均取得最大值.
故答案为120
【点睛】本题主要考查方程的思想以及二次函数的最值问题.
16．或－5
【分析】根据函数解析式确定函数对称轴和定点，数形结合确定最大值点，建立等量关系求解a的值．
【详解】根据所给二次函数解析式可知，对称轴为x=﹣1，且恒过定点（0，1），
（1）当a＜0时，函数在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，
所以函数在x=﹣1处取得最大值，因为f（﹣1）=﹣a+1=6，所以a=﹣5．
（2）当a＞0时，函数在[﹣2，﹣1]上单调递减，在[﹣1，3]上单调递增，
所以函数在x=3处取得最大值，
因为f（3）=15a+1=6，所以a=，
故答案为﹣5或．
【点睛】本题考查二次函数的性质，对于给出最值求参题目，一般要结合题中所给解析式大致确定函数图象、分类讨论来研究，属于中档题．
17．(1)图象见解析;单调递增区间为和，无单调递减区间
(2)图象见解析;单调递增区间为，单调递减区间为和
【分析】（1）根据函数的解析式可作出其图象，即可得单调区间；
（2）化简函数的解析式为，结合二次函数性质可作出其图象，即可得单调区间.
【详解】（1）画出的图象如图所示，
可得其单调递增区间为和，无单调递减区间．
（2） ，作出该函数的图象如图所示，
观察图象，知该函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用函数的单调性定义进行证明即可;
(2)根据的取值范围确定和的范围,再依据(1)的结论列出不等式组进行求解即可.
【详解】（1）函数在上为增函数,
证明：设,,
,
,,
,,
,
则,
,
即,
函数在上为增函数.
（2）当时,,
且由(1)知,函数在上为增函数,
,
解得,
所以m的范围为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可直接写出函数的单调递增区间；
（2）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式；
（3）令，分、两种情况讨论，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，
所以，函数的单调递增区间为.
（2）解：由题意可知，
①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，；
②当时，函数在上单调递减，则.
综上所述，.
（3）解：当，时，令，则，
①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
此时，，此时；
②若时，当时，函数在上单调递减，
此时，，此时.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.
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