安徽省宿州市泗县2024-2025年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

2024－2025学年第一学期教学质量检测一
九年级数学 北师大版
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 若方程是关于x的一元二次方程，则？部分可能是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，在矩形中，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，公路互相垂直，公路的中点M与拐点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（ ）．
A. B. C. D.
4. 若是一元二次方程的根，则（ ）
A 5 B. 7 C. D.
5. 如图，四边形是菱形，，，于点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（ ）．
A. 小明 B. 小丽 C. 小红 D. 小亮
7. 春节期间电影《热辣滚烫》上映的第一天票房约为3亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为 x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 数学课上，老师在投影屏上出示下面的抢答题，需要同学们回答横线上符号可以代表的内容．
如图，四边形是平行四边形，
①当※时，平行四边形是矩形． ②当时，平行四边形是矩形．
③当▲时，平行四边形是菱形． ④当时，平行四边形是正方形．
则回答不正确的是（ ）
A. ※可以代表 B. ◎可以代表
C. ▲可以代表 D. 可以代表
9. 在解关于x的一元二次方程时，嘉嘉将抄成了，因此解得两个相等的实数根，则原方程（ ）
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法判断根的情况
10. 如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是（ ）
A. 24 B. 25 C. D. 26
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________．
12. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点P坐标是，则顶点N的坐标是______．
13. 甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：
甲：量得窗框两组对边分别相等；
乙：量得窗框对角线相等；
丙：量得窗框一组邻边相等：
丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．
检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是________．
14. 对于两个互不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题：
（1）方程的解为________；
（2）方程的解为________．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 按要求解下列一元二次方程：
（1）（配方法）；
（2）（因式分解法）．
16. 如图所示，在中，，平分，于，于，求证：四边形是正方形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点E（尺规作图的痕迹已保留），连接．求证：四边形为菱形．
嘉淇将上题总结为如下不完整的已知和求证．
已知：如图，在平行四边形， ________， ________．
求证：四边形为菱形．
（1）在方框中填空，补全已知条件；
（2）嘉淇的想法是：利用平行四边形的性质判定四边形为平行四边形，再判定四边形为菱形，请按嘉淇的想法写出证明．
18. 小明同学解方程的过程如下：
解：∵，，，…第一步
∴，…第二步
∴，……第三步
∴，……第四步
（1）小明的解答过程存在错误，他是从第________步开始出错的；
（2）请写出本题正确的解答过程．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 在正方形中，对角线，E为上一点，连接．
（1）求证：．
（2）延长交于F，当时，求的度数．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若，是该方程的两个实数根，且，求a的值．
21. 如图，矩形中，的平分线分别交边于点E、F．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由．
22. 根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
素材1 某商场购进了一批名牌衬衫，进价为每件100元，销售价为每件150元，平均每天可售出20件．
素材2 为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．
素材3 这批衬衫平均每天要扣除其它成本50元．
市场调查 经调查发现，如果每件衬衫售价每降价1元，商场平均每天可多售出4件．
任务解决
任务1 当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利多少元？
任务2 若商场平均每天盈利2750元，每件衬衫售价应定为多少元？
23. 如图，在中，，，垂足为是的外角的平分线，于E，连接交于F．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）试判断线段与的关系，并证明你的结论；
（3）当四边形是一个正方形时，试判断的形状，并证明．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1.D．
2.B．
3.B．
4.D．
5.C
6.C．
7.D．
8.D。
9.C．
10.B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.．
12.．
13.丁
14. ①. ②. 或
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15.（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
16.证明：平分，，，
，，
又，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17.（1）解：根据题意可知，已知：如图，在平行四边形，， ，
故答案为：；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
18.（1）解：观察解题过程可知，他是从第一步开始出错的，原因是没有先把原方程化为一般式，导致c的值错误，
故答案为：一．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. （1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
20. （1）证明：
，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：题意得，，
∵，
∴，
∴，
解得：．
21. （1）证明：四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分、平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）当时，四边形菱形，
∵平分，
∴，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
22. 解：任务1：元，
∴当每件衬衫降价5元时，平均每天盈利1750元；
任务2：设每件衬衫应该降价x元，
由题意得，，
整理得：，
解得或，
∵要尽快减少库存，
∴，
∴元，
答：每件衬衫售价应定120元．
23.．（1）解：四边形为矩形．理由如下：
∵，
，
又平分，
，
，
，
又∵，
，
四边形为矩形；
（2）解：，，证明如下：
四边形为矩形，对角线与相交于点，
是的中点，
∵，
是的中点，
为的中位线，
，．
（3）解：当四边形是一个正方形，是等腰直角三角形，证明如下：
∵矩形是正方形．
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．