24.1.2 垂直于弦的直径 教案(表格式)2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
24.1 圆的有关性质
24.1.2 垂直于弦的直径
教学内容 24.1.2 垂直于弦的直径 课时 1
核心素养目标 1.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程; 2.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 3.在研究过程中，进一步体验“实验一归纳一猜想一证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.
知识目标 1．进一步认识圆是轴对称图形． 2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题． 3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．
教学重点 掌握垂径定理及其推论，熟练运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算的问题.
教学难点 垂径定理的证明及应用.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 地震造成小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是 2 cm，水面的宽度为 8 cm，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗 师生活动：同学们先讨论，然后带着疑问点开启今天课堂内容. 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：垂径定理及其推论 探究一：折一折 同学们，拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，会发现了什么呢？ 圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条. 师提问： 实际问题：如何证明圆是轴对称图形？ 几何问题：圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称点也在圆上. 同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并写出已知和证明： ① 任意作出一条直径 CD； ② 在⊙O 上任意选点 C，D 以外的点 A. ③ 过点 A 作 AA'⊥CD，交⊙O 于点 A'，垂足为 M，连接 OA，OA'. 合作证明 已知：如图，CD 是⊙O 上的直径，CD⊥AA′； 求证：CD 是 AA′ 的垂直平分线. 证明：在△OAA′ 中， ∵ OA = OA′， ∴△OAA′ 是等腰三角形. 又 AA′⊥CD， ∴ AM = MA′， 即 CD 是 AA′ 的垂直平分线. 师生共同总结： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 探究二：如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AA′， 垂足为 M. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么 定义总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师强调：两条弧：分别是劣弧、优弧 师提问：你能用几何语言表示吗？ 推导格式： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 答案：（1）是（2）不是，因为没有垂直. （3）是 （4）不是，因为 AB，CD 都不是直径. 典例精析 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对垂径定理的认识. 思考探索 师提问：上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 证明猜想 证明举例 如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AA′ 于点 M. （1）CD⊥AA′ 吗？为什么？ 师生活动：让学生模仿圆的轴对称性质的证明过程，学生先独立思考，然后让学生分组讨论交流，并表述定理的内容——平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 教师展示解题过程 解：(1) 连接 AO、A′O，则 AO = A′O. 又∵ AM = A′M， ∴△AOM≌△A′OM(SSS). ∴∠AMO =∠A′MO = 90°. ∴ CD⊥AA′. (2) 由垂径定理可得 归纳总结 垂径定理的推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师提问：“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 师生活动：学生观察教师给出的定理的变式图形，以强化对定理基本图形的理解. 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 师生共同总结： 垂径定理的本质是： 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧 例3 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留 小数点后一位）. 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 练一练 1. 如图 a、b，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为____cm. 2. 地震造成小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是 2 cm，水面的宽度为 8 cm，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗 解：过 O 作 OD⊥AB 于 D 交圆上于点 E.
由题意，得 DE = 2 cm，AB = 8 cm. ∵ OD⊥AB，∴ AD = DB = 4 cm. 设圆形水管半径为 r cm. 在 Rt△ODA 中，42 + (r - 2)2 = r2，即 r = 5 cm. 故应该用半径为 5 cm 的圆柱形水管替换. 三、当堂练习，巩固所学 1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm. 2.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm， 弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和EF 之间的距离为 cm. (朝阳区期末) 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度. 设计意图：创设现实问题情境，引导学生发现数学问题，不仅能很好地吸引学生注意力，还能让学生切身体会到生活中处处都时数学，感受数学美，了解知识的产生. 设计意图： 让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性.通过回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图形. 设计意图： 通过实际问题转化为几何问题，学会将问题转化为数学语言来解决，同时为垂径定理的证明做铺垫. 设计意图： 在对圆是轴对称图形证明的基础上，通过观察或者让学生折纸，体验垂径定理的形成过程，帮助学生分析垂径定理的条件和结论。同时又为学习推论作好准备. 设计意图：让学生经历了实验—观察—猜想—证明，学生的思维逐步被展开，现在可以引导学生证明并归纳定理，归纳定理时采用了文字语言和符号语言两种形式. 设计意图：强化对基本图形的理解，从特殊到一般，培养学对几何图形的化归思维能力。几何定理中文字语言、符号语言，图形语言的相互联系与转换也是学生应具备的能力。 设计意图：以垂径定理的图形为基本模型，根据实际问题的条件，建立数学几何模型，来解决赵州桥问题.让学生了解到：在圆中，解决有关弦的问题是，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线. 这种添加辅助线的方法需要不断强化，让学生真正掌握. 设计意图：加强对垂径定理的运用. 设计意图：本题是重径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应该向学生进行渗透，同时回扣了导入. 设计意图：课堂练习的设置由易到难，以不同的形式来强化学生对垂径定理的认识。从练习中归纳总结解题的方法，从而使学生掌握此类问题的解题方法和技巧
板书设计 24.1.2 垂直于弦的直径 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.