24.1.4 圆周角 教案(表格式)2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
24.1 圆的有关性质
24.1.4 圆周角
教学内容 24.1.4 圆周角 课时 1
核心素养目标 1.理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角；掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题. 2.经历观察、类比、猜想、合作交流等数学活动，逐步会用运动变换的观点认识圆中的动态问题，渗透解决不确定问题的思路和方法. 3.掌握圆周角定理的推论，能够利用推论，解决圆、三角形、四边形相关的几何问题，培养几何直观能力，逻辑推理能力.
知识目标 1．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明． 2．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．
教学重点 理解圆周角的概念；掌握圆周角与圆心角之间的关系定理.
教学难点 圆周角和圆心角关系定理的证明；掌握圆内接多边形的有关概念及性质.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 思考： 回想足球射门的过程，图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？ 为什么呢？ 师生活动： 学生各抒己见，谈自己的看法. 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：圆周角的定义 如图，把圆心角∠AOB 的顶点 O 拉到圆上，得到∠ACB. 问题1：∠ACB 有什么特点？它与 ∠AOB 有何异同？ 问题2：你能仿照圆心角的定义给 ∠ACB 取一个名字并下定义吗？ 师生活动：学生观察归纳，教师引出圆周角的概念. 总结：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 例如：∠ACB. 做一做 1.下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 师生活动：教师课件展示小练习，学生独立思考并回答问题. 知识点 2：圆周角定理及其推论 合作探究 图中圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 有怎样的关系？ 师生活动：学生动手画图、交流、思考，得到圆心与圆周角的三中位置关系.猜想一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，教师使用PPT做进一步演示和论证. 预设： 合作探究 推导论证圆周角∠ACB 和圆心角∠AOB 之间的数量关系. 情况一：圆心 O 在∠BAC 的一边上 (特殊情形) 情况二：圆心 O 在∠BAC 的内部 情况三：圆心 O 在∠BAC 的外部 师生活动：学生结合三种位置的图形，认识到：第（1）种属于特殊情况.研究数学问题一般从特殊情况开始，再考虑其他情况能否转化成特殊情况.如果学生有困难，教师可提示学生：将第（2）（3）种情况转化成第（1）种情况.根据学生的情况，师生共同完成第（2）种情况的证明.学生观察、猜想、证明圆周角定理的推论.教师可根据情况适当地提示学生. 师生共同总结： 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 想一想： 上节课我们学习了一个反映圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对的弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 预设：在同圆(或等圆)中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等. 师提问：那么，圆周角与圆周角所对的弧、弦有什么关系吗？ 圆周角与弧的关系 合作探究 问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由. 师生活动：学生根据圆周角的性质进行分析、讨论，教师引导总结． 圆周角推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 圆周角与弦的关系 问题3 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ 师生活动：学生画图、测量、比较、发现、猜想.再试一试，并在小组内交流，归纳总结，最后在全班交流. 本次探究活动，教师主要关注： (1)问题的提出是否引起学生的兴趣； (2)学生是否理解圆周角的定义； (3)学生是否清楚要研究的数学问题. 圆周角推论 2： 半圆（或直径）所对的圆周角是_直角__，90° 的圆周角所对的弦是直径. 典例精析 例1 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm.∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解. 知识点 3：圆内接四边形 知识讲解 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 合作探究 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形.探究 ∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间的关系. 预设： ∠A +∠C = 180°， ∠B +∠D = 180°. 师提问：如何证明呢？ 结论： 圆的内接四边形的对角互补. 三、当堂练习，巩固所学 1. (泗阳县期末)如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD 交AB 与点 E，∠ADC = 26°，求∠CAB 的度数. 2. (阜宁县期末)如图，AB 是⊙O 的直径， C、D 是 ⊙O 的两点，且 AD = DC ，∠DAC = 25°， 求∠BAC 的度数 ( ) A. 30° B. 35° C. 40° D. 50° 3. (武汉)如图，以 AB 为直径的⊙O 经过△ABC 的顶点 C，AE，BE 分别平分 ∠BAC 和 ∠ABC，AE 的延长线交⊙O 于点 D. 连接 BD. 判断△BDE 的形状，并证明你的结论. 设计意图： 从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质. 设计意图： 类比圆心角的定义，引出圆周角的概念，为后续学习奠定基础. 设计意图： 同时呈现圆周角的正例和反例，有利于学生对圆周角概念的本质属性与非本质属性进行比较，巩固对概念的理解，及时巩固为定理证明做好铺垫. 设计意图： 利用PPT的动画，引导学生经历定理的探索过程，让学生通过观察，从圆周角、圆心角的动态变化中发现它们之间不变的数量关系. 设计意图： 从特殊情况入手，证明猜想，既便于学生的虚席，又为其他两种情况的证明提供了转化的方向.将一般情况化为特殊情况，体现了化归的数学思想.学生通过证明三种情况，感受分类证明的必要性，有利于逻辑推理能力的提升. 设计意图：让学生在同一知识中变换角度思考问题，从不同的方位观察圆心角与圆周角，深入理解“等弧”“同弧”二字的含义，培养了学生思维的深度和广度. 设计意图：通过观察度量、推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法．另外，尽可能地从教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达． 设计意图：加强学生对圆周角定理推论的理解和运用. 设计意图： 在教师的引导下，通过层层深入分析已知条件，结合圆周角和圆心角之间的关系，探究出圆内接四边形的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生将语言叙述转化为几何语言的能力，以及严谨的学习态度. 设计意图： 将本节所学内容与以前的知识紧密结合，使学生很好地进行知识的迁移，在练习中加深对本节知识的理解.
板书设计 24.1.4 圆周角 1.圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角. 2.圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 3.圆的内接四边形的对角互补.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 本节课采用问题情境——自主探究——拓展应用的课堂教学模式，以问题为主，配合多媒体辅助教学，引导学生进行有效思考．在教学过程中，通过问题串启发引导，学生自主探究，创设情境等多种教学方式，激发学生学习兴趣，调动课堂气氛，收到了很好的教学效果.