24.2.1 点和圆的位置关系 教案(表格式)2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
教学内容 24.2.1 点和圆的位置关系 课时 1
核心素养目标 在研究点和圆的位置关系时，从其几何特征(交点个数)和代数特性(点到圆心的距离与半径的关系)两个角度培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识； 2.在探究与圆有关的位置中，点和圆的位置关系是基础、对于经过不在同一直线上的三点作圆的问题，从过一点过两点开始探究，学会转化的思想； 3.激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.
知识目标 1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系. 2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法. 3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.
教学重点 掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系
教学难点 了解运用“反证法”证明命题的思想方法
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 问题：我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉，如下图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆 (圆心相同、半径不等的圆)构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 师：观察子弹在射击靶上留下的痕迹，选取其中一环抽离出来，接下来思考这几个问题： 二、小组合作，探究概念和性质 知识点 1：点和圆的位置关系 合作探究 问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 师引导：观察点和圆的位置关系，能否对这些点进行分类？ 在教师的引导下积极思考并解决问题： 点和圆的位置关系有三种： 点在圆内， 点在圆上， 点在圆外. 问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？ 问题3 反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？ 师生活动： 通过以上的问题，学生自主思考总结，然后小组讨论，代表回答问题. 对于以上知识，师生共同总结： 设⊙O 的半径为 r，点到圆心的距离 OP = d ，则有： 典例精析 例1 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若OP= ，则点 P 在 ( 　) A.大圆内 B. 小圆内 C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外 师生活动：让学生尝试解答，并互相交流、总结，教师结合学生的具体活动，加以指导. 总结： 链接中考 1.(青海)点 P 是非圆上一点，若点 P 到⊙O 上的点的最小距离是 4 cm，最大距离是 9 cm，则⊙O的半径是_____________cm. 预设：6.5 或 2.5 知识点 2：三角形的外接圆与外心 合作探究 如何解决“破镜重圆”问题呢？ 师生活动： 利用已有知识思考并回答确定圆的两个要素.进一步明确：找到圆心，确定半径大小是问题的关键. 动手实践 请动手画一画过一个点 A 、两个点 A、B 作圆，并思考这样的圆有多少个. 师生活动： 学生独立作图，两分钟后分组交流展示自己的作图和想法．学生经过小组讨论交流的方式总结得出. 结论：可作无数个圆. 教师播放PPT，并且提问有什么规律？同时引导设问： 设问1：其圆心的位置有什么特点？ 结论： 它们的圆心在线段 AB 的垂直平分线上. 设问2：两点作圆与线段 AB 有什么关系？为什么？ 结论： 以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到 A 或 B 的距离为半径作圆. 合作探究 经过同一平面内三个点作圆，情况会怎样呢？ 总结：不在同一条直线的三点作圆： 圆心在三条线段垂直平分线的交点上. 总结：不在同一条直线上的三点确定一个圆. 练一练 将如图所示的破损的镜子复原. 分组讨论： 1.学生先分组进行讨论； 2.教师根据讨论情况作相应提示； 3.学生讲解思路，教师补充完善. 教师完善分析及展示作图过程 方法： (1) 在圆弧上任取三点 A、B、C； (2) 作线段 AB、BC 的垂直平分线，其交点 O 即为圆心； (3) 以点 O 为圆心，OA 长为半径作圆. 则⊙O 即为所求. 定义总结： 三角形的外接圆： 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 三角形的外心： 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 知识点 3：反证法 合作探究 过同一直线上的三点可以作圆吗？ 教师提问：怎么证明呢？ 如图，已知点 A、B、C 在直线 l 上. 求证：过点 A、B、C 不能作圆. 师生活动:教师提出问题，先由学生根据所学知识回答，再由教师归纳与总结: 反证法步骤： ①假设原命题不成立； ②以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）； ③得出假设不成立，从而原命题成立. 三、当堂练习，巩固所学 1.⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)，则点 P 与⊙O 的位置关系为 ( ) A. 点 P 在⊙O 内 B. 点 P 在⊙O 上 C. 点 P 在⊙O 外 D. 点 P 在⊙O 上或⊙O 外 2. 判断： (1) 经过三点一定可以作圆 ( ) (2) 三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 ( ) (3) 三角形的外心到三边的距离相等 ( ) (4) 等腰三角形的外心一定在这个三角形内 ( ) 3. 某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心． 4. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm，BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径. 设计意图：从熟悉的射击问题出发引出点和圆的位置关系，很自然的导入新课，让学生感受到数学与实际生活的紧密联系，从而激发学习兴趣. 设计意图：通过观察子弹在射击靶上留下的痕迹，选取其中一环抽离出来，让学生直观感受点和圆的位置关系，培养学生的思维能力，以及将实际问题转化为数学问题的转化能力. 设计意图：通过提出简单的问题循序渐进的引导学生解决前面提出的新问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，体会解决问题的策略. 设计意图：让学生通过观察图形或量一量的方式得到线段之间的数量关系，培养学生的观察能力. 设计意图：通过前面的分析讲解，引导学生总结归纳出“点和圆的位置关系”以及“点到圆心的距离的数量关系”互相呼应，培养学生归纳总结问题的能力. 设计意图：通过让学生独立完成练习，检验学生对新知识的掌握及运用情况. 设计意图：此题为一题多解，培养学生多角度思考的能力。同时也能使不同层次的学生有不同的发展。 设计意图：借助实际问题情景，激发学生解决问题的兴趣，为解决本节课的目标“确定圆的条件”和下环节的探究活动注入动力. 设计意图：以探究实践的形式通过问题逐步得出结论“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，既降低了学习的难度，又培养了学生的学习兴趣以及探索能力，进一步体会解决问题的策略. 设计意图：通过解决实际应用问题，掌握三点确定一个圆的作法，同时引出三角形的外接圆的知识点. 设计意图：通过讲解让学生熟悉三角形的外接圆和三角形的外心的概念. 设计意图：教学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达；加强对反正法的理解． 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
板书设计 24.2.1 点和圆的位置关系 确定圆的条件 1．点和圆的位置关系 设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外 d＞r； 点P在圆上 d＝r； 点P在圆内 d＜r. 2.确定圆的条件 经过不在同一直线的三个点确定一个圆． 3．三角形的外接圆和外心的概念
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 本节课通过问题导入激发了学生的学习兴趣，通过探究题的设计，调动了学生学习的积极性、主动性，提高了课堂效率．本堂课首先充分调动了学生的积极性，不论从回答问题还是画图点评都比预想的结果要好，碰到难题主动交流，小组合作非常默契.