24.2.2 第2课时 切线的判定与性质 教案(表格式)2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.2 第 2 课时 切线的判定与性质
教学内容 第 2 课时 切线的判定与性质 课时 1
核心素养目标 1.使学生掌握圆的切线的判定方法和切线的性质. 2.能够运用切线的判定方法证明直线是圆的切线. 3.综合运用切线的判定定理和性质定理解决问题，培养学生的逻辑推理能力. 4.解决与圆的切线相关的问题时，会用“数形结合”的思维去思考，会用添加辅助线的方法，学会从反面去思考，发挥逆向思维的作用.
知识目标 1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明． 2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明． 3．能运用直线与圆的位置关系解决实际问题．
教学重点 掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明
教学难点 掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 预设：都是沿切线方向飞出的. 提问：生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？ 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：切线的判定 问题：已知 ⊙O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作 ⊙O 的切线？ 观察： (1) 圆心 O 到直线 AB 的距离 d 和圆的半径 r 有什么数量关系 (2) 二者位置有什么关系？为什么？ 预设：d = r ，相切 总结： 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 提问：尝试翻译成几何语言： 几何语言： ∵ OA 为⊙O 的半径，BC⊥OA 于A， ∴BC 为⊙O 的切线. 典例精析 例1 判断: (1) 过半径的外端的直线是圆的切线 ( ) (2) 与半径垂直的的直线是圆的切线 ( ) (3) 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线 ( ) 师生活动：教师给学生时间，让学生分组讨论交流，充分发挥自己的意见。然后每组派代表发言，说出小组探究结果。 预设：(1) × (2) × (3) × 方法总结： 利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件： (1) 直线经过半径的外端； (2) 直线与这半径垂直. 合作探究 思考 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？ 证明切线的方法 ： (1) 定义法(交点个数)； (2) 数量关系法(证明 d = r)； (3) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 典例精析 例2 如图，已知：直线 AB 经过⊙O 上的点 C 并且OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是⊙O 的切线. 证明：连接 OC (如图). ∵ OA = OB，CA = CB， ∴ AB ⊥ OC. ∴ OC 是⊙O 的半径. ∴ AB 是⊙O 的切线. 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，∠BAC 的平分线交 BC 于 D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 求证：AC 是⊙O 的切线． 证明：如图，过 D 作 DE⊥AC 于 E. ∵∠ABC = 90°，∴ DB⊥AB. 又∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AC， ∴ DE = DB. ∴ AC 是⊙O 的切线. 师生活动：教师先让学生尝试完成例题，如果学生通过讨论不能完成，教师引导学生作出辅助线，写出证明方法，然后独立完成巩固练习题，教师展示习题答案并总结两类题的解题方法，即“连半径，证垂直”和“作半径，证垂直”。 思考 观察例 2 和例 3，说说这两种证明方法有什么不同. 常见证切线作辅助线的方法： 有交点，连半径，证垂直； 无交点，作垂直，证相等(证明 d = r ). 链接中考 1.(宁夏)如图，以线段 AB 为直径作 ⊙O ，交射线 AC于点 C， AD 平分∠CAB 交 ⊙O 于点 D 作直线 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F.连接 BD 并延长交 AC 于点 M. 求证：直线 DE 是⊙O 的切线. 知识点 2：切线的性质 合作探究： 改变切线判定定理的题设与结论： 如果直线 l 是⊙O 的切线，切点为 A ，那么半径 OA 与直线 l 是不是一定垂直呢？用什么方法证明呢？ 证法：反证法 理由：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. 证明：假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作 OE⊥CD，垂足为 E； ∴ OE＜OA， ∴CD与⊙O 相交，与已知条件相矛盾； ∴假设不成立，故 AB 与 CD 垂直. 总结 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 典例精析 例4 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D．求证：AC 是⊙O 的切线． 证明：如图，连接 OD，OA，过 O 作 OE ⊥AC 于 E. ∵ ⊙O 与 AB 相切于 D， ∴ OD⊥AB. 又∵△ABC 为等腰三角形，O 是 BC 的中点， ∴ AO 平分∠BAC. ∴ OE = OD. ∵ OD 是⊙O 的半径， ∴ 点 O 到 AC 的距离等于⊙O 的半径. ∴ AC 是⊙O 的切线． 总结： 有切线时常用辅助线添加方法： 见切点，连半径，得垂直. 三、当堂练习，巩固所学 1. 如图，A 是☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP = 12，则 PA 与☉O 的位置关系是 . 2.(长春)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，若∠BAC = 35°，则∠ACB 的大小是 ( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 3. (湘潭) 如图，在 △ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为点 E． (1) 求证：△ABD≌△ACD； (2) 判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由． 设计意图： 由图片的形式向学生展示直线和圆有关的生活现象，创设问题情境，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣．以问题的形式引导学生发现图片中直线和圆相切，从而引出本节课的课题. 设计意图：通过问题，引导学生借助旧知得到新知，也就是利用直线和圆相切的定义得出切线的判定定理;学生通过自己思考，动手画图可以更深刻的感受切线的判定定理. 设计意图：通过一组不是圆的切线的判断，让学生体会圆的切线必须满足三个条件：有过圆心的线（直径或半径）；过圆上的点（直径一端或半径外端）；垂直.为下步添加辅助线判断圆的切线做准备. 设计意图：概括归纳切线的判定方法，形成知识体系。 设计意图：通过例 2 圆与直线有交点和例 3圆与直线无交点，让学生体会在判定切线时，如果已知点在圆上，则连半径是常用的辅助线，培养学生运用判定定理解决问题的能力。 设计意图：应用圆的切线判定方法解决简单数学问题，体会转化的数学思想。 设计意图：利用反证法引导学生得出切线的性质定理，并体会反证法 的作用. 设计意图：结合具体问题加深学生对切线判定定理与性质定理的认识. 设计意图：考查学生对切线判定定理的运用. 设计意图：考查学生对切线性质定理的认识. 设计意图：考查学生通过作辅助线的方法加深对切线判定定理与性质定理的认识
板书设计 第 2 课时 切线的判定与性质 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何语言： ∵ OA 为⊙O 的半径，BC⊥OA 于A， ∴BC 为⊙O 的切线. 切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 教学中注意知识的归纳整理，如:证明切线的方法总结。注意方法的总结，利用切线的判定定理证明一条直线是切线的两个思路:当直线与圆有公共点时，“连半径，证垂直”;当直线与圆没有公共点时:“做垂直，证半径”可以培养学生养成良好的学习习惯。另外，本节课的教学中能够渗透数形结合的思想，充分利用多媒体辅助教学，帮助学生理解知识。