24.2.2 第3课时 切线长定理及三角形的内切圆 教案(表格式)2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
第 3 课时 切线长定理及三角形的内切圆
教学内容 第 3 课时 切线长定理及三角形的内切圆 课时 1
核心素养目标 1.掌握切线长的定义及其定理，并利用定理进行有关的计算. 2.了解三角形的内切圆、内心的概念，会作三角形的内切圆. 3.会从数学的角度提出问题、理解问题，并会用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识，在解题过程中，形成基本的解题策略，发展实践能力与创新能力.在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题，培养学生的直观想象、逻辑推理方面.
知识目标 1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明． 2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念． 3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．
教学重点 掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明
教学难点 掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 1. 直线和圆有哪些位置关系？ 预设：相离、相交、相切. 师生活动：让学生自主回答. （学生积极踊跃发言，问答提出的问题.） 2. 如何判断直线和圆相切？(常用方法) (1) 数量关系法(证明 d = r)；(2) 判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 师生活动： 学生在老师带领下，不仅对上节课的知识点进行复习，同时对学习过的方法、过程进行自我总结和升华. 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：切线长定理的判定 探究一：已知⊙O 和⊙O 外一点 P，你能过点 P 画出 ⊙O 的切线吗？这样的直线能画几条？ 学生迅速抢答：过圆外一点可以作一条、两条，还有的学生认为可以作无数条圆的切线. 教师要求学生动手操作，教师巡视发现问题. 过圆外一点能画出两条圆的切线. 知识要点 切线长的定义： 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长( PA 和 PB ). 师提问：说说切线与切线长有什么区别. 预设：① 切线是直线，不能度量. ② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 合作探究 思考1 图中的线段 PA 与 PB 有什么关系？ 预设：猜想：PA = PB 思考2 图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？ 预设：猜想：∠APO = ∠BPO 如何验证我们的猜想是否正确？ 预设：测量，翻折. 师提问：请证明你的猜想. 已知：如图 PA 与 PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点. 求证：PA = PB，∠APO =∠BPO. 证明：连接 OA、OB. ∵PA，PB 与 ⊙O 相切，点 A，B 是切点. ∴ OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ OA = OB，OP = OP， ∴ Rt△AOP≌Rt△BOP(HL). ∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB. 师提问：试用文字语言叙述你所发现的结论. 切线长定理： 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 几何语言： ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB. 思考3 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 又能得出什么新的结论 结论：OP 垂直平分 AB. 证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线，点 A，B 是切点， ∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB. ∴△PAB 是等腰三角形，PM 为顶角的平分线. ∴ OP 垂直平分 AB. 思考4 若延长 PO 交☉O 于点 C，连接 CA、CB，还能得出什么新的结论 结论：CA = CB. 证明：∵ PA，PB 是☉O 的切线， 点 A，B 是切点， ∴ PA = PB ，∠OPA =∠OPB. ∴ PC = PC. ∴ △PCA≌△PCB. ∴ AC = BC. 链接中考 1.(西宁)如图，PA，PB 与☉O 分别相切于点 A，B，PA＝2，∠P＝60°，则 AB＝( ) 知识点 2：三角形的内切圆 探究二：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能最大化利用三角形废料呢？ 如图，已知△ABC.求作：和△ABC 的各边都相切的圆 I. 师生活动：让学生在练习本上画草图进行分析，要明确此圆需在三角形的内部，且与三角形三边相切，然后重点探究确定圆心和半径的方法，并尝试画图，同时能口述画图过程，还要让学生说明这样做的道理. 作法： 1. 分别作∠B，∠C 的平分线 BE 和 CF，交点为 I . 2. 过 I 作 BC 的垂线，垂足为D . 3. 以 I 为圆心，以 ID 的长为半径作⊙I . ⊙I 就是所求的圆. 定义总结： 1. 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心. 3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形. ☉I 是△ABC 的内切圆， 点 I 是△ABC 的内心， △ABC 是☉I 的外切三角形. 请类比三角形的外心，填一填. 典例精析 例1 如图，△ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D，E，F，且 AB = 9，BC = 14，CA = 13，求 AF、BD、CE 的长. 解：设 AF = x ，则 AE = x . ∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x， BF = BD = AB - AF = 13 - x. 由 BD + CD = BC，可得 (13 - x) + (9 - x) = 14，解得 x = 4. ∴ AF = 4 ，BD = 9 ，CE = 5 . 总结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解. 三、当堂练习，巩固所学 1. (随州)设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h、r、R，则下列结论不正确的是 ( ) 2. 如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______. 3. (湖州)如图，已知 △ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连接 OB，OD. 若∠ABC = 40°，求∠BOD 的度数. 设计意图：现温故旧知并且提高的目的，同时为“知新”打下基础. 设计意图： 通过切线长概念的探究过程，使学生了解切线长的定义，并能在具体的图形中把它们识别出来。 设计意图：对话式的定理教学的方式有利于激发学生的自主探索，加深对定义的理解。 设计意图：学生通过猜想、验证，经历了一个自主探究的过程，从而激发学生的学习兴趣，发现切线长定理. 证明定理是为了培养学生的数学思维能力，“知其然并知其所以然”. 培养学生合情推理能力、语言表达能力. 设计意图：通过这两个，使学生对切线长定理有了更深刻的理解，同时利用切线长定理的拓展也提高了学生分析问题、解决问题的综合能力. 设计意图：通过习题，加强对切线长定理的理解和运用. 设计意图：创设问题情境，吸引学生的注意，激发学生的学习兴趣．以问题的形式引导学生发现图片中三角形的内切圆，从而引出知识点. 设计意图：学生已有了作外接圆的经验，让学生自主类比作外接圆的过程进行分析，一是提高学生的自主分析能力，二是培养学生的小组合作意识.学生通过作图还可以提高动手操作的能力和说理能力. 设计意图：学生类比外接圆和外心的概念，总结内切圆和内心的概念，一是提高学生的归纳能力，二是让学生体会类比思想. 设计意图：通过习题，加强对三角形的外心的理解和对切线长定理的运用. 设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
板书设计 第 3 课时 切线长定理及三角形的内切圆 切线长定理： 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 几何语言： ∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B， ∴ PA = PB，∠OPA = ∠OPB.
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图。
教学反思 在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.