25.3 用频率估计概率 教案(表格式)2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案
25.3 用频率估计概率
教学内容 25.3 用频率估计概率 课时 1
核心素养目标 会用数学的眼光观察世界：通过掷硬币活动，经历猜测、试验、收集试验数据、分析试验结果等过程，进一步了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性. 会用数学的思维思考问题：理解并掌握频率的概念，初步学会用频率估计概率. 会用数学的语言表达思想：通过简单的活动，使学生主动参与，做数学实验，增强学生的数学应用意识.
知识目标 理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律. 结合具体情境掌握如何用频率估计概率. 通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系．
教学重点 1.理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律. 2.结合具体情境掌握如何用频率估计概率.
教学难点 结合具体情境掌握如何用频率估计概率.
教学准备 课件、硬币、图钉
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课导入 二、探究新知 当堂练习 一、新课导入 想一想 科比·布莱恩罚进的概率有多大？ 师生活动：点击观看视频(“NBA”某一年赛季，科比·布莱恩罚球片段). 教师追问：罚球的概率有没有规律，或者说有没有其他的办法探求概率呢？ 学生根据视频或平时了解可知：这一年赛季科比·布莱恩罚篮命中率为 90.8%. 引例 科比·布莱恩罚篮命中率是怎么统计出来的？ 若有学生了解可回答，若学生不了解，教师补充说明：这一年赛季的罚中个数与罚球总数的比值. 教师追问：这个比值叫什么？ 预测学生不能正确回答，教师可以此引出后续学习. 二、探究新知 知识点：用频率估计概率 问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，“正面向上”的概率为0.5，这个概率能否利用刚才计算投篮命中率的方法，即统计很多次掷硬币的结果来得到呢？ 学生积极发言，预测学生能回答能，若有不同答案，教师也可针对其中的合理性给予肯定，然后引出后续探究. 活动探究 全班共分10个小组，每小组5人，共抛掷硬币合计50次，推荐组长一名，组长不参与抛掷. (1) 抛掷要求： ① 抛掷时，请将书本、文具收入课桌内； ② 一小组分两人一对，各对完成25次抛掷，一人抛掷硬币，一人画 “正”记数，抛掷一次划记一次，“正面向上”一次划记一次，将结果填入1； ③ 抛的高度要达到自己坐姿时的头顶，请将书本、文具收入课桌内； (2) 组长职责：① 检查组员抛掷是否符合要求； ② 收集本组数据，把数据计算后录入小组抛掷统计表 2. 填写硬币抛掷统计表 3 ：将第一组数据填在第一列，第一二组的数据之和填在第二列，······十组的数据之和填在第十列. 同时在图 1 中描点. 师生活动：学生分小组探究，并按要求做好记录，填写表格、描点. 问题探究： 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在哪个数字的附近摆动？ 师生活动：学生观察小组所得的数据，小组代表发言，预测可能会有高有低，但综合全班来看“正面向上”的频率在 0.5 附近摆动. 若学生结果存在不是0.5附近摆动，教师可先让学生增加试验次数或历史上数学家做的试验. 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在 0.5 附近摆动的幅度有何规律？ 师生活动：学生积极发言，教师对学生言之有理的地方给予肯定，然后引导学生查看历史上数学家做的试验. 当增加试验次数，看看有什么新的发现. 历史上有许多数学家做了如下试验 (3) 观看折线图2，频率在 0.5 附近摆动的幅度有何规律？ 师生活动：学生积极发言，预测学生能答出： 在 0.5 附近摆动的幅度越来越小. 教师追问：与图1 反映的规律为什么不同？ 教师引导学生发现与试验次数有关. (4) 出现的规律与试验次数有什么关系？ 师生活动：学生积极发言，预测学生能答出： 试验次数越多，频率越接近于 0.5，即频率稳定于概率. (5) 当“正面向上”的频率逐渐稳定于 0.5 时，“反面向上”的频率呈现什么规律？ 概率与频率稳定值的关系是什么呢？ 师生活动：学生积极发言，预测学生能答出： 同样频率逐渐稳定于 0.5. 概率就是频率稳定值. 教师：所以可以用计算罚篮球命中率的方法来得到硬币“正面向上”的概率. 归纳总结 一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率 (这里 n 是试验总次数，它必须相当大，m 是在这 n 次试验中随机事件 A 发生的次数) 会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即P(A) = p. 练一练 判断正误： (1) 连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1. (2) 小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5 附近. (3) 设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品. 师生活动：教师分别请3名学生回答，并给予恰当评析，肯定学生的成绩，对出现的疑问给予鼓励，帮助他们形成正确认知. 问题2 投一枚图钉，你能根据上面的方法估计出“钉尖朝上”的概率吗？ 师生活动：学生积极发言，预测学生能想到类比掷硬币的方式，大量重复试验. 追问1 动手做试验前，先猜一猜：“钉尖朝上”的可能性大还是“钉尖朝下”的可能性大？“钉尖朝上”的概率大约是多少？ 追问2 如何获得这一概率值？ 师生活动：学生积极发言，预测学生能想到类比掷硬币的方式做试验. (1) 选取 20 名同学，每位学生依次使图钉从高处落下 20次，并根据试验结果填写下表. 师生活动：学生动手试验，将结果填入表中，表中数据为参考数据，教师可更换为学生的数据，若时间不足，也可用参考数据讲解. (2) 根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率. 师生活动：学生根据表格画图，参考如下，然后师生共同推测概率. 追问3 能否用列举法求上述随机试验？为什么？用频率估计概率与用列举法求概率在实用范围上有什么不同？ 师生活动：学生小组讨论，小组代表发言，教师适时评价，引导学生总结： 不能.用列举法求概率仅适用于“各种结果出现的可能性相等”的随机事件，用频率估计概率不受这个条件限制. 问题3 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？ 师生活动：学生积极发言，预测学生能想到类比掷硬币的方式做试验. 然后教师引导学生归纳： 在同样条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，计算成活的频率，随着移植数 n 越来越大，频率 会越来越稳定，于是就可以把频率作为成活率的估计值. 右表是一张模拟的统计表，请补全表中空缺. 师生活动：学生独立思考与计算，教师请学生代表回答，完成表格如下： 教师追问：随着移植数的增加，幼树移植成活的频率有什么趋势？ 学生积极发言，预测学生能正确回答：频率逐渐稳定. 想一想 从上表可以发现，随着移植数的增加，幼树移植成活的频率越来越稳定，当移植总数为 14000 时，成活的频率为 0.902，于是可以估计幼树移植成活的概率为_______. 师生活动：学生积极发言，教师适时评价，预测学生能正确回答：0.9. 问题4 某水果公司以 2 元/ kg 的成本价新进 10 000 kg柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5 000 元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 师生活动： 教师提示：柑橘在运输、储存中会有损坏，公司必须估算出可能损坏的柑橘总数，以便将损坏的柑橘的成本折算到没有损坏的柑橘售价中. 教师引导学生分析： 首先要确认损坏的柑橘有多少，可以通过统计“柑橘损坏率”进行确认. 教师出示表格，学生思考与计算，教师请学生代表回答，完成表格如下： 想一想 填完表后，从上表可以看出，随着柑橘质量的增加，柑橘损坏的频率越来越稳定，于是可以估计柑橘损坏的概率为_________(结果保留小数点后一位). 由此可知，柑橘完好的概率为________. 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价. 教师给时间学生思考每千克大约定价为多少元比较合适，学生独立解答，学生代表板书，教师与其余学生评价与完善板书： 解：根据估计的概率可以知道，在 10 000 kg 柑橘中完好柑橘的质量为10 000×0.9＝9 000(kg)． 设每千克柑橘售价为 x 元，则 　　 9 000x - 2×10 000＝5 000． 解得 x ≈ 2.8 (元)． 因此，出售柑橘时，每千克定价大约 2.8 元可获利润5 000元． 然后教师引导学生总结. 归纳总结 链接中考 1. (辽宁) 一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在10%、15%，则估计箱子里蓝球有_____个. 师生活动：学生独立思考，学生代表发言，教师适当评价. 三、当堂练习 1. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里约有鲤鱼 尾，鲢鱼 尾. 2. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： (1) 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到 0.1）； (2) 假如你摸一次，估计你摸到白球的概率P (白球) = . 3. 某池塘里养了鱼苗10万尾，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出40尾，称得平均每尾鱼重2.5千克，第二网捞出25尾，称得平均每尾鱼重2.2千克，第三网捞出35尾，称得平均每尾鱼重2.8千克，试估计这池塘中鱼的总质量. 设计意图：通过篮球比赛视频导入课堂，增加学生学习兴趣，使学生意识到频率与概率在生活中的广泛应用. 设计意图：将频率引入讨论范围，为后面的探究做铺垫. 设计意图：将导入与掷硬币实验联系，起到承上启下的作用. 设计意图：让学生动手试验，提升探索意识，发展求证品质，感悟大量实验能减少偶然性，使频率更区域稳定的特点. 设计意图：对上述实验的总结，感受和认识频率的稳定性. 设计意图：借助数学家的实验数据，帮助学生进一步认识在“掷硬币”的试验中，频率的稳定性. 设计意图：通过观察折线统计图，学生能更直观的体会频率与概率的关系. 设计意图：进一步了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性. 体会在“掷硬币”的试验中，正面朝上和正面朝下的可能性是相同的. 设计意图：进一步帮助学生掌握频率和概率的意义，初步学习用频率估计概率. 设计意图：通过判断巩固学生对用频率估计概率试验的理解，帮助学生进一步了解频率与概率的意义，以及大量重复试验的必要性. 设计意图：首先，可以纠正学生的一些错误观念，例如，一次试验，可能出现两种结果，那么这两种结果发生的可能性一定是相同的，都是；又如，所有事件的概率都可以通过理论计算得到. 其次，不论试验有没有理论概率，事件发生的频率都具有稳定性，从而用事件发生的频率来估计该事件发生的概率具有普遍性. 设计意图：学生经过试验对这一不确定事件发生的频率有了全面地认识，通过试验进一步使学生明确钉尖朝上和钉尖朝下的频率大小，在动手操作的过程中认识到频率的稳定性，也培养了学生的小组合作能力，动手能力和思维水平. 设计意图：初步培养学生以科学数据为依据分析问题、解决问题的良好习惯. 设计意图：通过对上述实验的总结，进一步感受和认识频率的稳定性. 设计意图：经历实验操作、收集数据、填表绘图等过程，初步发展统计观念和数据数据意识. 设计意图：考查学生对频率的概念的掌握，锻炼计算能力. 设计意图：巩固学习用频率估计概率，锻炼应用能力和发展数据思维. 设计意图：在计算的过程中认识到频率的稳定性，提高计算与分析能力. 设计意图：巩固学习用频率估计概率，锻炼应用能力和发展数据思维. 设计意图：回到题目初始，让学生学会用概率分析计算生活中的问题，提高应用意识. 设计意图：巩固学习用频率估计概率，锻炼应用能力和发展数据思维. 设计意图:考查学生对频率的概念的掌握，锻炼应用能力和计算能力.
板书设计 用频率估计概率 大量重复试验 用频率估计概率
课后小结 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
教学反思 从两个试验入手，使学生经历“猜测一试验和收集试验数据一分析试验结果一验证猜测”的过程，初步了解在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性. 在教授本节课时，要留充分的时间给学生参与试验，观察交流；而对于频率稳定性的总结，只要求学生能用自己的语言描述即可. 需要说明的是，虽然多次试验的频率渐趋稳定于其理论概率，但也不排斥无论做多少次试验，试验概率仍然是理论概率的一个近似值，两者存在着一定的偏差，而且偏差的存在是正常的、经常的.