第二章 有理数及其运算
1 认识有理数
第1课时 有理数
1.会判断一个数是正数还是负数.
2.会用正、负数表示具有相反意义的量，并能用数学知识来表述一些生活中的事件.
重点：掌握有理数的概念及分类.
难点：会用正、负数正确表示生活中具有相反意义的量.
一、情境导入
学校组织足球比赛，猛虎队和蛟龙队展开了一场激烈的对决，豆豆所在的猛虎队踢进4个球，失3个球，你能用数学的方式帮助豆豆表示他们队的进失球情况吗？学了有理数的有关知识后，问题不难解决.
二、合作探究
探究点一：用正、负数表示具有相反意义的量
【类型一】 会用正、负数表示具有相反意义的量
如果某河的水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，那么水位下降0.5m时水位变化记作( )
A.0m B.0.5m
C.－0.8m D.－0.5m
解析：由水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，根据相反意义的量的含义，则水位下降0.5m时水位变化就记作－0.5m，故选D.
方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少.另外通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负.
【类型二】 用正、负数表示误差的范围
某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含义？质检部门对该产品抽查5瓶，容量分别为503 mL，511 mL，489 mL，473 mL，527 mL，问抽查的产品是否合格？
解析：＋30 mL表示比标准容量多30 mL，－30 mL表示比标准容量少30 mL.则合格范围是指容量在470～530(mL)之间.
解：“500±30(mL)”表示470～530(mL)是合格范围，503 mL，511 mL，489 mL，473 mL，527 mL都在合格范围内，故抽查的产品都是合格的.
方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即500是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少.
探究点二：有理数的分类
【类型一】 有理数的分类
把下列各数填到相应的大括号里.
－1，6，－3.14，0，－，8%，2016.
正有理数集：{…}；
负有理数集：{…}；
非负数集：{…}；
整数集：{…}；
分数集：{…}.
解析：根据正、负数的意义可知6，8%，2016都是正有理数；－1，－3.14，－是负有理数；非负数即0和正数，所以6，0，8%，2016是非负数；整数包括正整数、0和负整数，故－1，6，0，2016是整数；分数有－3.14，－，8%.
解：正有理数集：{6，8%，2016…}；
负有理数集：；
非负数集：{6，0，8%，2016…}；
整数集：{－1，6，0，2016…}；
分数集：.
方法总结：以前学过的0以外的数就是正数，正数前面加上“－”号就是负数，再看它们是整数还是分数.
【类型二】 对“0”的理解
下列对“0”的说法正确的有( )
①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0 ℃；④0是正数；⑤0是自然数.
A.3个 B.4个 C.5个 D.0个
解析：0除了表示“无”的意义，还可以表示其他的意义，所以②不正确；0既不是正数也不是负数，所以④不正确；其他的都正确.故选A.
方法总结：“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”，其实“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水混合物的温度就是0 ℃，0是正、负数的分界点等.
【类型三】 和正、负数有关的规律探究问题
观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，并说出第10个数、第105个数、第2048个数.
(1)1，－2，3，－4，5，－6，________，________，________，…；
(2)－1，，－3，，－5，，________，________，________，….
解析：(1)对第n个数，当n为奇数时，此数为n，当n为偶数时，此数为－n；(2)对第n个数，当n为奇数时，此数为－n；当n为偶数时，此数为.
解：(1)7，－8，9；第10个数为－10，第105个数是105，第2048个数是－2048.
(2)－7，，－9；第10个数为，第105个数是－105，第2048个数是.
方法总结：像这样探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数列的特征.
三、板书设计
有理数
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察身边事物，挖掘生活实例，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，培养观察、归纳与概括的能力.第2课时 相反数与绝对值
1.理解相反数的概念，会求一个数的相反数.
2.使学生理解绝对值的概念和表示方法，会求一个数的绝对值.
3.会利用绝对值比较两个有理数的大小.
重点：正确理解相反数和绝对值的概念，会求一个数的相反数和绝对值.
难点：利用绝对值比较两个负数的大小.
一、情境导入
动物王国举行了一场乌龟和兔子的竞走比赛，所走路线和方向如图所示.在同一时间里，兔子向西走了20 m，乌龟向东走了1 m，狐狸宣布乌龟获胜，理由是：规定向西为负，向东为正，根据正数大于负数可知＋1>－20，表明同一时间里乌龟走的路程大于兔子走的路程.你认为狐狸的说法有道理吗？学完了本节内容，你会知道正确的答案.
二、合作探究
探究点一：求一个数的相反数
2345的相反数是( )
A.2345 B.－2345
C. D.－
解析：2345的相反数是－2345.故选B.
方法总结：求一个数的相反数，只需在这个数的前面添上“－”号即可.
探究点二：绝对值
【类型一】 求一个数的绝对值
绝对值等于3的数是________.
解析：因为±3的绝对值是3，所以绝对值等于3的数是±3.故填±3.
方法总结：绝对值等于正数的数有两个，它们互为相反数，绝对值等于0的数为0，一个数的绝对值不可能是负数.
【类型二】 利用绝对值比较大小
比较大小：－________－(填“＞”“＜”或“＝”).
解析：因为＝，＝，＜，所以－＞－.故填“>”.
方法总结：利用绝对值比较两个负数大小的方法：先分别求出两个负数的绝对值；比较两个绝对值的大小；根据“两个负数，绝对值大的反而小”进行判断.
【类型三】 绝对值的实际应用
检测四个足球，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，则下列最接近标准质量的足球是( )
解析：因为|＋0.9|＝0.9，|－2.6|＝2.6，|＋2.4|＝2.4，|－0.8|＝0.8，0.8<0.9<2.4<2.6，所以最接近标准质量的足球是D.故选D.
方法总结：由绝对值的定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近.将实际问题转化为数学问题，即为与标准质量的差的绝对值越小，越接近标准质量.
【类型四】 绝对值的非负性
已知|x－3|＋|y－2|＝0，求x＋y的值.
解析：一个数的绝对值总是大于或等于0，即为非负数，若两个非负数的和为0，则这两个数同为0.
解：由题意得x－3＝0，y－2＝0，
所以x＝3，y＝2.所以x＋y＝3＋2＝5.
方法总结：几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
三、板书设计
有理数
绝对值这个名词既陌生，又是一个不易理解的数学术语，是本章的重点内容，同时也是一个难点内容.本课时学习了绝对值的代数意义，下课时会进一步学习其几何意义.第3课时 数 轴
1.识记数轴的三要素并会画数轴.
2.能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的数；会用数轴比较有理数的大小.
3.会用数形结合的思想理解在特定的条件下数与形是可以相互转化的.
重点：理解数轴的概念，会在数轴上表示数.
难点：正确的画出数轴，理解有理数和数轴上点的对应关系.
一、情境导入
1.欣欣感冒了，医生用体温计测量了她的体温，并说：“37.8度.”
提出问题：医生怎样通过体温计读出任意一个人的体温？
2.我们再一起去看看中秋节祖国各地的自然风光和温度情况(电脑分别显示嘉峪关、长白山、颐和园三个旅游景点的自然风光，温度分别为－3 ℃，0 ℃，20 ℃).
嘉峪关－3 ℃ 长白山0 ℃ 颐和园20 ℃
提出问题：那么要测量气温所需要的温度计的刻度应该如何安排？
3.请尝试画出你想像中的温度计，并和其他同学交流，注意交流时要发表自己的见解.
提出问题：请找出温度计从外观上看有哪些不可缺少的特征？
二、合作探究
探究点一：数轴的概念
下列图形中是数轴的是( )
A. B.
C. D.
解析：A中没有单位长度，错误；B中没有正方向，错误；C中满足原点，正方向，单位长度，正确；D中没有原点，错误.故选C.
方法总结：判断一条直线是不是数轴，要抓住它的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可.
探究点二：在数轴上表示数
画一条数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点.
0，－3，，－2，2.5，3，－.
解析：先画出数轴，再根据数的正、负及它们到原点的距离标出各数.
解：如图：
方法总结：设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度.表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.
探究点三：利用数轴比较有理数的大小
将有理数－2，＋1，0，－2，3在数轴上表示出来，并用“<”连接各数.
解析：利用数轴上的点来表示相应的数，再利用它们对应点的位置来判断各数的大小.
解：如图：
由数轴可知－2＜－2＜0＜＋1＜3.
方法总结：一般地，数轴上多个数的大小比较，可利用“数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大”这一性质进行比较.探究点四：点在数轴上的移动问题
点A为数轴上表示－2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为( )
A.2 B.－6
C.2或－6 D.以上答案都不对
解析：因为点A为数轴上表示－2的动点，①当点A沿数轴向左移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为－6；②当点A沿数轴向右移动4个单位长度时，点B所表示的有理数为2.故选C.
方法总结：点A在数轴上移动要注意分两种情况：一个向左，一个向右，不要漏掉其中的一种情况.
三、板书设计
数轴
数轴是数形转化、结合的重要桥梁，创设问题情境，激发学生的学习热情，发现生活中的数学.让学生通过观察、思考来体验数轴的形成过程，加深对数轴概念的理解，同时培养学生的概括能力.
