2 有理数的加减运算
第1课时 有理数的加法法则
1.理解有理数加法的意义，初步掌握有理数的加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算.
2.能运用有理数的加法解决实际问题.
重点：了解有理数加法的意义，会根据有理数加法法则进行有理数的加法运算.
难点：掌握有理数中异号两数的加法运算.
一、情境导入
动物园举行有奖知识竞赛，评分标准是：答对一题得＋1分，答错一题得－1分，其中三名成员的答题情况如下表所示：
成员 答对题数 答错题数 得分
A 6 2
B 3 5
C 0 6
二、合作探究
探究点一：有理数的加法运算
计算：
(1)(－45)＋(＋55); (2)(－38)＋(－22)；
(3)(－10.8)＋10.8; (4)0＋(－2016).
解析：利用有理数的加法法则进行计算.(1)是异号两数相加；(2)是同号两数相加；(3)是互为相反数的两数相加，和为0；(4)是0加上一个数，结果仍得这个数.
解：(1)(－45)＋(＋55)＝10.
(2)(－38)＋(－22)＝－60.
(3)(－10.8)＋10.8＝0.
(4)0＋(－2016)＝－2016.
方法总结：两数相加时，应先判断两数的类型，然后根据所对应的法则来确定和的符号与绝对值.
探究点二：有理数加法运算的应用
股民小张上星期五以收盘价67元买进某公司股票1000股，下表为本周内每日该股票的涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌/元 4 4.5 －1 －2.5 －6
(2)本周内每股最高价为多少元？最低价为多少元？
解析：(1)用买进的价格加上周一、周二、周三的涨跌价格，然后根据有理数加法运算法则进行计算即可求解；(2)分别求出这五天的价格，然后即可得解.
解：(1)67＋(＋4)＋(＋4.5)＋(－1)＝74.5(元)，故星期三收盘时，每股74.5元.
(2)周一：67＋4＝71(元)，周二：71＋4.5＝75.5(元)，周三：75.5＋(－1)＝74.5(元)，周四：74.5＋(－2.5)＝72(元)，周五：72＋(－6)＝66(元)，所以本周内每股最高价为75.5元，最低价为66元.
方法总结：股票每天的涨跌都是在前一天的基础上进行的，不要理解为每天都是在67元的基础上涨跌.另外熟记运算法则并根据题意准确列出算式也是解题的关键.
三、板书设计
有理数加法法则
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
(2)异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值.
(3)一个数同0相加，仍得这个数.
本课时利用情境教学、解决问题等方法进行教学，使学生在情境中提出问题，并寻找解决问题的途径，在不知不觉地进入学习氛围，把学生从被动学习变为主动想学.在本节教学中，要坚持以学生为主体，教师为主导，充分调动学生的兴趣和积极性，使他们最大限度地参与到课堂活动中.第2课时 有理数加法的运算律
1.理解有理数加法运算律.
2.会运用加法交换律、结合律进行有理数加法简便运算.
3.掌握加法交换律、结合律在实际运算中的运用.
重点：灵活运用加法运算律，并解决实际问题.
难点：灵活运用加法运算律简化运算及解决实际问题.
一、情境导入
学习了有理数的加法运算法则后，爱探索的小明发现，(－3)＋(－6)与(－6)＋(－3)相等，8＋(－3)与(－3)＋8也相等，于是他想：是不是任意的两个加数，交换它们的位置后，和仍然相等呢？同学们，你们认为呢？
二、合作探究
计算：
(1)(－27)＋13＋(－43)＋46；
(2)25.7＋(－7.3)＋(－13.7)＋7.3；
(3)(－2.125)＋(＋3)＋(＋5)＋(－3.2).
解析：(1)将正数和负数分别结合再相加；(2)(3)凑整结合，互为相反数结合.
解：(1)原式＝[(－27)＋(－43)]＋13＋46＝(－70)＋59＝－11.
(2)原式＝25.7＋(－13.7)＋(－7.3)＋7.3＝12＋0＝12.
(3)原式＝(－2.125＋5)＋3＋(－3.2)＝3＋0＝3.
方法总结：进行有理数的加法运算时，要仔细观察各加数的实际特点，灵活选择合适的运算律使运算简便，同时注意结合时不要漏项.
探究点二：利用加法运算律解决实际问题
某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下(单位：km)：
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
(2)若汽车行驶1 km耗油a L，求该天耗油多少升？
解析：(1)首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定B地在A地何方，相距多少千米；(2)首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以a即可求解.
解：(1)(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)＝(＋18)＋(＋7)＋(＋13)＋(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－8)＝38＋(－37)＝1(km).
故B地在A地正北方，相距1千米.
(2)该天共耗油：(18＋9＋7＋14＋13＋6＋8)a＝75a(L).
答：该天耗油75a L.
方法总结：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过加强数学练习，归纳、总结、积累等思维过程，体验从特殊到一般的数学思想方法，进一步激发学生的学习兴趣和应用数学的意识.第3课时 有理数的减法
1.经历探索有理数减法法则的过程，体会有理数减法与加法的关系.
2.理解并掌握有理数的减法法则.
3.能熟练进行有理数的减法运算.
4.会用转化的数学思想，探索有理数的减法法则.通过师生互动、问题探讨等形式，激发学生的学习兴趣，培养学生学习数学的热情.
重点：掌握有理数减法法则的应用.
难点：能归纳总结有理数的减法法则，并体会其意义.
一、情境导入
下图给出了某市从周六到下周三的天气情况，其中最高温度为6 ℃，最低温度为－8 ℃，那么它的温差怎么算？6－(－8)＝？
二、合作探究
探究点一：有理数的减法运算
计算：
(1)(－3)－(＋7); (2)3.5－(－6.5)；
(3)－； (4)0－(－10).
解析：每个小题均是两个数的差，直接利用有理数的减法法则，先把减法转化为加法，再计算.
解：(1)(－3)－(＋7)＝(－3)＋(－7)＝－10.
(2)3.5－(－6.5)＝3.5＋6.5＝10.
(3)－＝＋(－)＝－.
(4)0－(－10)＝0＋10＝10.
方法总结：进行有理数的减法运算时，将减法转化为加法，再根据有理数加法的法则进行运算.要特别注意减数的符号，这是易错点，同时统一成加法后还应注意选择合适的运算律，使运算简便.
探究点二：有理数减法的应用
在1986～2014年(即第10～17届)的八届亚运会中，我国运动员取得了令人瞩目的成绩.将我国运动员夺得的奖牌数以2002年的308枚为基准，超过的枚数记为正数，不足的枚数记为负数，记录情况如下表：
年份 1986 1990 1994 1998 2002 2006 2010 2014
奖牌变化 －86 33 －42 －26 0 8 108 34
解析：观察表格发现，奖牌最多的是2010年，最少的是1986年，所以108－(－86)＝194(枚).故奖牌数最多的一届比最少的一届多194枚.
解：由题可得108－(－86)＝194(枚)，故奖牌最多的一届比最少的一届多194枚.
方法总结：找出奖牌最多的数量与最少的数量是解题的关键.
探究点三：应用有理数减法法则判定正负性
已知有理数a＜0，b＜0，且|a|＞|b|，试判定a－b的符号.
解析：判断a－b的符号，可能不好理解，不妨把它转化为加法a－b＝a＋(－b)，利用加法法则进行判定.
解：因为a＜0，b＜0，所以－b＞0.又因为a－b＝a＋(－b)，所以a与－b是异号两数相加，那么它们和的符号由绝对值较大的加数的符号决定.因为|a|＞|b|，即|a|＞|－b|，所以取a的符号.而a＜0，因此a－b的符号为负号.
方法总结：此类问题如果是填空或选择题，可以采用“特殊值”法进行判断，若是解答题，可以通过运算法则来解答.
三、板书设计
有理数减法法则：减一个数，等于加这个数的相反数.
本课时在学习了有理数加法法则的基础上，探索有理数的减法法则.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、归纳、积累等思维过程，体验从特殊到一般的数学思想方法，培养学生的转化思想，同时升华学生的情感态度和价值观.第4课时 有理数的加减混合运算
1.熟练掌握有理数的加法和减法运算法则.
2.能进行有理数的加减混合运算，培养学生的计算能力.
3.会从数学的角度理解实际问题，从具体情境中抽象出有理数加减混合运算的问题.
重点：熟练进行有理数的加减混合运算.
难点：会将加减混合运算统一成加法运算.
一、情境导入
甲、乙两队进行拔河比赛，规定标志物向某队方向移动2米，该队即可获胜.比赛开始后，标志物先向乙队方向移动0.2米，又向甲队方向移动0.5米，相持一会儿后，又向乙队方向移动了0.4米，随后又向甲队方向移动了1.3米，在大家欢呼声鼓励中，标志物又向甲队移动了0.9米，请你通过计算判断哪队获胜.就让我们带着这一问题去学习有理数的加减混合运算.
二、合作探究
探究点一：有理数的加减混合运算
计算：＋(－)－(－).
解析：先将减法统一为加法，再按有理数的加法运算法则进行计算.
解：原式＝＋(－)＋(＋)＝－＋＝.
方法总结：有理数加减混合运算的步骤是：(1)用减法法则将减法转化为加法；(2)写成省略加号的和的形式；(3)进行有理数的加法运算.
探究点二：利用加法运算律进行计算
计算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；
(3)－－(－)＋(－).
解析：本题根据有理数加减互为逆运算的关系把减法统一成加法，省略加号后运用加法运算律简化运算，求出结果.其中互为相反数的两数先结合，能凑成整数的各数先结合.另外，同号各数先结合，同分母或易通分的各数先结合.
解：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3＝0＋1－4＋3＝0.
(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)＝－14＋11＋12－14－11＝(－14＋12)＋(11－11)－14＝－2－14＝－16.
(3)－－(－)＋(－)＝－＋－＝(＋)＋(－－)＝1＋(－)＝.
方法总结：(1)为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律.在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换.(2)注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便.(3)当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便.
三、板书设计
有理数的加减混合运算
方法：把有理数加减混合运算统一成加法运算
加法运算律
本课时在学习了有理数加、减法运算的基础上，通过对同一具体情境两种算法的比较，让学生体会加减混合运算可以统一成加法运算，以及加法运算可以写成省略括号及前面加括号的形式，渗透“转化”思想.通过师生、生生之间的交流，培养学生的口头表达能力和计算能力.第5课时 有理数加减混合运算中的简便计算
1.能进行包含分数或小数的有理数的加减混合运算.
2.能适当运用运算律简化有理数的混合运算.
3.经过观察、比较、归纳，增强运算能力，会综合运用有理数及其加、减法的有关知识灵活地解决问题.
重点：依据运算法则和运算律准确地进行有理数的加减混合运算.
难点：利用加法运算律简化运算.
一、情境导入
1.说出－6＋9－8－7＋3两种读法.
2.你能用两种方法计算(－7)－(＋5)＋(－4)－(－10)吗？
二、合作探究
探究点一：课堂5分钟检测
计算：
(1)(＋)＋(－)－(＋)－(－)－(＋1)；
(2)－7－(－8)－(－7)－(＋9)＋(－10)＋11.
解：(1)原式＝－－＋－1＝(＋)－(＋)－1＝1－1－1＝－1.
(2)原式＝－7＋8＋7－9－10＋11＝(－7＋8－9－10)＋(7＋11)＝－18＋19＝1.
方法总结：简便运算的常用策略：1.可以把正数或负数分别结合在一起相加；2.有相反数的先把相反数相加；3.能凑整的先凑整；4.有分母相同的，先把同分母的数相加.
探究点二：有理数加减混合运算中的易错点
你认为有理数的加减混合运算中最容易出现哪些错误？
问题1：小优在计算－＋2＋，下面四种方法中，运算过程正确且比较简便的是( )
A.(＋2)＋(－)
B.(＋)＋(2＋)
C.(－)＋(2－)
D.(＋)＋(2－)
答案：D
问题2：小翼在计算－1＋2＋(－)时，写出以下计算过程：
－1＋2＋(－)
＝－1＋＋2－(第一步)
＝.(第三步)
请帮他指出错误在哪一步，并写出正确的计算过程.
解：第一步出现错误：－1＝－1－.原式＝－1－＋2－＝(－1＋2)＋(－－)＝1＋(－1)＝0.
方法总结：有理数加减混合运算步骤：1.将减法统一成加法；2.写成省略加号的和的形式；3.结合运算律进行计算.
计算：
(1)178－87.21＋43＋53－12.79；
(2)1－5＋(－)－＋(－5).
解：(1)原式＝178－(87.21＋12.79)＋(43＋53)＝178－100＋97＝78＋97＝175.
(2)原式＝1－－5－－5＝1－5－6＝－10.
三、板书设计
有理数加减混合运算确实比较复杂，计算量比较大，学生既要进行变形，还要进行省略，还要进行简便运算；不仅要考虑符号，还要考虑算理和结果，每一步都需要学生用心、细心、耐心.第6课时 有理数加减混合运算的应用
1.掌握运用有理数加减混合运算解决实际问题的方法，培养动态观察、对比、分析实际问题的能力.
2.经历和体验用所学的知识解决实际生活中问题的乐趣，感受到有理数运算的实用性，增强学生学好数学的信心.
3.会画折线统计图，并能根据折线统计图反映的信息解决实际问题，培养读图表能力，增强学习兴趣.
重点：能综合运用有理数的加减混合运算解决简单的实际问题.
难点：熟练运用有理数的加减法解决简单的实际问题.
一、情境导入
一架飞机进行特技表演，雷达记录起飞后的高度变化如下表：
高度变化 记作
上升4.5千米 ＋4.5千米
下降3.2千米 －3.2千米
上升1.1千米 ＋1.1千米
下降1.4千米 －1.4千米
小组探究此时飞机与起飞点的高度，得出以下两种计算方法：
(1)4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)＝1.3＋1.1＋(－1.4)＝2.4＋(－1.4)＝1(千米).
(2)4.5－3.2＋1.1－1.4＝1.3＋1.1－1.4＝2.4－1.4＝1(千米).
比较以上两种算法，你发现了什么？
二、合作探究
探究点一：水位变化中的加减混合运算
下表是某水位站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位.单位：米).
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化 0.20 0.81 －0.35 0.13 0.28 －0.36 －0.01
(2)与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？
解析：(1)先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.理解表中的正负号表示的含义，根据条件计算出每天的水位即可求解；(2)只要观察星期日的水位是正负即可.
解：(1)前两天的水位是上升的，第1天的水位是＋0.20米；第2天的水位是＋0.20＋0.81＝＋1.01(米)；第3天的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66(米)；第4天的水位是＋0.66＋0.13＝＋0.79(米)；第5天的水位是0.79＋0.28＝＋1.07(米)；第6天的水位是1.07－0.36＝＋0.71(米)；第7天的水位是0.71－0.01＝＋0.7(米).故水位最低的是第一天，高于警戒水位；水位最高的是第5天.
(2)＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7(米)，则本周末河流的水位上升了0.7米.
方法总结：解此题的关键是分析题意列出算式，用的数学思想是转化思想，即把实际问题转化成数学问题.
探究点二：有理数的加减混合运算在生活中的其他应用
某汽车制造厂计划前半年内每月生产汽车20辆，由于另有任务，每月上班人数有变化，1月至6月实际每月生产量和计划每月生产量相比，变化情况如下(增加为正，减少为负，单位：辆)：＋3，－2，－1，＋4，＋2，－5.
(1)生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产多少辆？
(2)前半年的实际总产量是多少？比计划的总产量多了还是少了？相差多少？
解析：(1)生产量最多的是四月份，最少的是六月份；(2)先求实际总产量与计划总产量，再比较.
解：(1)(20＋4)－(20－5)＝9(辆).
故生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产了9辆.
(2)前半年实际总产量为20×6＋[(＋3)＋(－2)＋(－1)＋(－4)＋(＋2)＋(－5)]＝120＋(＋1)＝121(辆).
因为121＞120，所以比计划的总产量多了.
因为121－120＝1(辆)，所以比原计划的总产量多了1辆.
方法总结：仔细读题理解题意，把实际问题转化为数学问题解决.
探究点三：折线统计图与有理数应用的综合
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变 化/m ＋0.38 ＋0.25 ＋0.54 ＋0.13 －0.45 ＋0.36 －0.19
(1)本周那一天水位最高？有多少米？
(2)根据给出的数据，请利用折线统计图分析本周内该水库的水位变化情况(在不放水的情况下).
解析：本周星期一到星期四，水位一直上升，星期五下降，星期六的上升值又低于星期五的下降值，故最高水位出现在星期四.
解：(1)星期四水位最高，(＋0.38＋0.25＋0.54＋0.13)＋15＝16.3(m).
(2)由已知条件，可求出一周内各天相对于警戒水位的变化情况，列表如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变 化/m ＋0.38 ＋0.63 ＋1.17 ＋1.30 ＋0.85 ＋1.21 ＋1.02
方法总结：很多实际问题可以转化为有理数的加减混合运算来解决.利用折线统计图可直观地反映出事物的变化情况.
三、板书设计
有理数加减混合运算的应用→
教学过程中，强调解决简单的实际问题，让学生进一步理解所学知识，并提高解决实际问题的能力，体会数学与现实生活的联系，培养学生的数学应用意识，增强学习数学的意识，提高学习的兴趣.
