3 有理数的乘除运算
第1课时 有理数的乘法法则
1.理解有理数的乘法法则.
2.能熟练运用乘法法则进行有理数的乘法运算.
3.理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数.
4.经历有理数乘法法则的推导过程，用分类讨论的思想归纳出两数相乘的法则，感悟乘法运算的重要性.
重点：两个有理数相乘的符号法则及运算步骤.
难点：能通过观察给定的乘法算式找出并概括算式的规律.
一、情境导入
1.小学我们学过了数的乘法的意义，比如说2×3，6×……一个数乘整数是求几个相同加数和的运算，一个数乘分数就是求这个数的几分之几.
2.计算下列各题：
(1)5×6； (2)3×； (3)×；
(4)2×2； (5)2×0； (6)0×.
引入负数之后呢，有理数的乘法应该怎么运算？这节课我们就来学习有理数的乘法.
二、合作探究
探究点一：有理数乘法法则的运用
计算：
(1)5×(－9); (2)(－6)×(－9)；
(3)(－6)×0; (4)(－)×.
解析：(1)(4)是异号两数相乘，先确定积的符号为“－”，再把绝对值相乘；(2)是同号两数相乘，先确定积的符号为“＋”，再把绝对值相乘；(3)是任何数与0相乘，都得0.
解：(1)5×(－9)＝－(5×9)＝－45.
(2)(－6)×(－9)＝6×9＝54.
(3)(－6)×0＝0.
(4)(－)×＝－(×)＝－.
方法总结：两数相乘，积的符号由两个乘数的符号决定：同号得正，异号得负；任何数与0相乘，积仍为0.
探究点二：求一个数的倒数
【类型一】 直接求某一个数的倒数
求下列各数的倒数.
(1)5； (2)－； (3)2； (4)－1.25.
解析：根据倒数的定义依次解答.
解：(1)5的倒数是.
(2)－的倒数是－.
(3)2＝，故2的倒数是.
方法总结：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数时，先把小数化为分数再求解.当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便.
【类型二】 与相反数、倒数、绝对值有关的求值问题
已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为6，求－cd＋|m|的值.
解析：根据相反数和倒数的概念，可得a与b，c与d的等量关系，再由m的绝对值为6，可求m的值，把所得的等量关系整体代入可求出代数式的值.
解：由题意得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝6，所以m＝±6.当m＝6时，原式＝－1＋6＝5；当m＝－6时，原式＝－1＋6＝5.故－cd＋|m|的值为5.
方法总结：解答此题的关键是先根据题意得出a＋b＝0，cd＝1及m＝±6，再代入所求代数式进行计算.
探究点三：有理数乘法的应用性问题
小红家春天粉刷房间，雇用了5个工人，干了3天完成.用了某种涂料150升，费用为4800元，粉刷的面积是150m2.最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工100元(1个工人干1天是一个工)；
方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元.
请你帮小红家出主意，选择哪种方案付钱最合算？
解析：根据有理数的乘法的意义列式计算.
解：第一种方案的工钱为100×3×5＝1500(元)；
第二种方案的工钱为4800×30%＝1440(元)；
第三种方案的工钱为150×12＝1800(元).
答：选择方案二付钱最合算.
方法总结：解此题的关键是根据题意列出算式，计算出结果，比较得出最省的付钱方案.
三、板书设计
倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数.
本节课由情景引入，使学生迅速进入角色，很快投入到探究有理数乘法法则中，提高了教学效率.在本节课的教学实施中自始至终引导学生探索、归纳，真正体现了以学生为主体的教学理念.本节课特别注重过程教学，有利于培养学生的分析归纳能力.第2课时 有理数乘法的运算律
1.经历探索有理数乘法运算律的过程，理解有理数乘法运算律.
2.能熟练运用有理数乘法运算律简化运算.
重点：理解有理数的乘法依然满足交换律、结合律、分配律，并会利用它们简化运算.
难点：会用分配律的逆运算来简化计算.
一、情境导入
某栏目有一个“快算二十四”的趣味题，现在给出1～13之间四个自然数，将这四个数(只能用一次)进行加、减、乘、除运算，可加括号，使其结果等于24，如：对1，2，3，4可作运算“(1＋2＋3)×4＝24”或“1×2×3×4＝24”.现有四个有理数3，4，－6，10，你能运用上述规则写出两种不同的算式，使其结果等于24吗？
二、合作探究
探究点一：运用有理数的乘法运算律简化运算
计算：
(1)(－－)×70；
(2)(－2)×(－1)×(－2)×.
解析：(1)可用乘法对加法的分配律来简化计算；(2)可以利用乘法的交换律和结合律来简化计算.
解：(1)原式＝×70－×70－×70＝35－50－28＝－43.
(2)原式＝－(2×××)＝－5.
方法总结：运用乘法交换律或结合律时要考虑能约分的、凑整的和互为倒数的数，要尽可能地把它们结合在一起；利用乘法分配律计算时，要注意符号，以免发生错误.
探究点二：逆用乘法对加法的分配律
计算：3.94×(－)＋2.41×(－)－6.35×(－).
解析：逆用乘法对加法的分配律可简化计算.
解：原式＝(－)×(3.94＋2.41－6.35)＝(－)×0＝0.
方法总结：如果按照先算乘法，再算加减，则运算较繁琐，且符号容易出错，但如果逆用乘法对加法的分配律，则可使运算简便.
探究点三：有理数乘法的运算律的实际应用
甲、乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的，再行驶多少千米就可以到达中点？
解析：把两地间的距离看作单位“1”，中点即全程处，根据题意用乘法分别求出480千米的和，再求差.
解：480×－480×＝480×(－)＝80(千米).
答：再行80千米就可以到达中点.
方法总结：解答本题的关键是根据题意列出算式，然后根据乘法的分配律进行简便计算.
三、板书设计
有理数的乘法
在本节课的教学中，不要直接将结论告诉学生，而是引导学生从大量的实例中寻找解决问题的规律.学生经历积极探索知识的形成过程，最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与，独立思考和合作探究相结合，教师适当点评，以达到预期的教学效果.第3课时 有理数的除法
1.理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算.
2.经历有理数除法法则的探索过程，会进行有理数的除法运算.
3.通过有理数除法法则的导出及运用，让学生体会转化思想，培养学生运用数学思想指导数学思维活动的能力.
重点：能正确运用法则进行有理数的除法运算.
难点：理解商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系.
一、情境导入
1.计算：（1）×0.2＝ ；
（2）12×（－3）＝ ；
（3）（－1.2）×（－2）＝ ；
（4）（－1）×0＝ Ｗ.
2.由（－3）×4＝ ，再由除法是乘法的逆运算，可得（－12）÷（－3）＝4，（－12）÷4＝ Ｗ.
同理，（－3）×（－4）＝ ，12÷（－4）＝ ，12÷（－3）＝ Ｗ.
观察上面的算式及计算结果，你有什么发现？换一些算式再试一试.
二、合作探究
探究点一：有理数的除法
计算：
（1）（－36）÷（－6）； （2）（－3）÷5.
解析：（1）中的两数能整除，可以确定商的符号后直接相除；（2）中两数不能整除，需利用“除以一个数，等于乘以这个数的倒数”进行计算.
解：（1）（－36）÷（－6）＝＋（36÷6）＝6；
（2）（－3）÷5＝－×＝－.
方法总结：两数相除，如果能够整除，可以在确定商的符号后直接相除；不能整除时，可以将之转化为乘法进行计算.
探究点二：有理数的乘除混合运算
计算：
（1）（－24）÷[（－）×]；
（2）（－81）÷2×÷（－16）.
解析：（1）中有括号，应先算括号里面的，再把除法转化为乘法；（2）中应先将除法统一为乘法，再确定符号，需将带分数化为假分数.
解：（1）原式＝（－24）÷（－）＝24×＝36；
（2）原式＝（－81）×××（－）＝81×××＝1.
方法总结：解乘除混合运算的顺序是从左到右依次计算，有括号的先算括号里的，计算时不能将运算顺序颠倒.
探究点三：根据，a＋b的符号，判断a和b的符号
如果两个有理数a，b满足a＋b＜0，＞0，那么这两个数（ ）
A.都是正数 B.符号无法确定
C.一正一负 D.都是负数
解析：因为＞0，根据“两数相除，同号得正”可知，a，b同号，又因为a＋b＜0，所以可以判断a，b均为负数.故选D.
方法总结：此题考查了有理数乘法和加法法则，将二者综合考查是考试中常见的题型，此题的侧重点在于考查学生的逻辑推理能力.
三、板书设计
有理数的除法
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用.教学设计可以采用课本的引例作为探究除法法则的过程.让学生自己探索并总结除法法则，同时也让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象.并讲清楚除法的两种运算方法：（1）在除式的项和数字不复杂的情况下直接运用除法法则求解；（2）在多个有理数进行除法运算，或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法，然后统一用乘法的运算律解决问题.
