第三章 整式及其加减
1 代数式
第1课时 代数式
1.经历探索规律并用字母表示规律的过程.
2.体会字母表示数的意义，形成初步的符号感，初步感受从特殊到一般的思维方式，体验用矛盾转化的观点认识问题.
重点：会列代数式并理解代数式的意义.
难点：会列代数式表示实际问题中的数量关系.
一、情境导入
1.从A地到B地要走3个小时.这里A，B表示什么？
2.用字母表示加法交换律：a＋b＝b＋a.
二、合作探究
探究点一：代数式的定义及书写格式
下列各式中是代数式的是（ ）
A.S＝πr2 B.2a＞b
C.3x＋y D.π≈3.14
答案：C
下列式子中，符合代数式书写格式的有（ ）
①m×n；②3ab；③（x＋y）；
④m＋2天；⑤abc3
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析：①正确的书写格式是mn；②正确的书写格式是ab；③的书写格式是正确的，④正确的书写格式是（m＋2）天；⑤的书写格式是正确的.故选A.
方法总结：书写含字母的式子时应注意：①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；②数与字母相乘时数字在前；③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；⑤后面带单位的式子相加或相减时，式子整体加括号.
探究点二：列代数式及代数式的意义
用含有字母的式子表示下列数量：
（1）练习簿的单价为a元，100本练习簿的总价为 元；
（2）练习簿的单价为b元，a本练习簿的总价是 元；
（3）小明的家离学校s千米，小明骑车上学.若每小时骑行10千米，则需 时；
（4）若每斤苹果3元，则买m斤苹果需 元；
（5）小明个子高，经测量他通常跨一步的距离为1米，若取向前为正，向后为负，则小明向前跨a步为 米，向后跨a步为 米.
答案：（1）100a （2）ab （3） （4）m
（5）a －a
如图所示，搭一个正方形需要4根火柴棒.
（1）按上面的方式，搭2个正方形需要 根火柴，搭3个正方形需要 根火柴；
（2）搭7个这样的正方形需要 根火柴；
（3）搭100个这样的正方形需要多少根火柴？
（4）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴？
解：（1）7 10 （2）22
（3）4＋3×（100－1）＝301.故搭100个这样的正方形需要301根火柴.
（4）4＋3×（x－1）＝3x＋1.故搭x个这样的正方形需要（3x＋1）根火柴.
对代数式a－b2的意义表述正确的是（ ）
A.a与b差的平方
B.a，b平方的差
C.a减去b的平方的差
D.a的平方与b的平方的差
答案：C
方法总结：说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来.叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果.
三、板书设计
代数式
通过本课时的教学要让学生经历在实际问题中列代数式，初步理解代数式的意义，让学生循序渐进的学习本部分内容，可以先用数，然后引入代数式.让学生在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数，发展学生的符号感.在数学教学中，让学生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题，体会其优越性，让学生体验成就感.第2课时 代数式求值
1.会求代数式的值，感受代数式求值是一个转换过程或某种算法.
2.能解释代数式的值的实际意义；根据代数式求值推断代数式所反映的规律.
3.初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
重点：会求代数式的值.
难点：能根据代数式求值推断列代数式和求代数式的值的意义.
一、情境导入
谁说数学学不好，这不，先前数学成绩很差的小胡，经过不断努力，不但成绩直线上升，而且现在还能设计程序计算呢！如图就是小胡设计的一个程序.当输入x的值为3时，你能求出输出的值吗？
二、合作探究
探究点一：直接代入法求代数式的值
当a＝，b＝3时，求代数式2a2＋6b－3ab的值.
解析：直接将a＝，b＝3代入2a2＋6b－3ab中即可求得.
解：原式＝2×（）2＋6×3－3××3＝＋18－＝14.
方法总结：（1）代入时要“对号入座”，避免代错字母；（2）代入后要恢复省略的乘号；（3）分数的立方、平方运算，要用括号括起来.
探究点二：利用程序图求代数式的值
有一数值转换器，原理如图所示.若开始输入的x的值是5，则发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4……则第2345次输出的结果是 .
解析：按如图所示的程序，当输入x＝5时，第1次输出5＋3＝8；当输入x＝8时，第2次输出×8＝4；当输入x＝4时，第3次输出×4＝2；当输入x＝2时，第4次输出×2＝1；当输入x＝1时，第5次输出1＋3＝4；则第6次输出×4＝2，第7次输出×2＝1，……，不难看出，从第2次开始，其运算结果按4，2，1三个数为一周期循环出现.因为（2345－1）÷3＝781……1，所以第2345次输出的结果为4.
方法总结：这种程序运算的特点是程序有多个分支，要先对输入的数据进行判断，再选择适当的某个分支按照指明的程序进行运算.
探究点三：整体代入法求值
已知x－2y＝3，则代数式6－2x＋4y的值为（ ）
A.0 B.－1 C.－3 D.3
解析：此题无法直接求出x，y的值，这时，我们就要考虑特殊的求值方法.根据已知x－2y＝3及所求6－2x＋4y，只要把6－2x＋4y变形后，再整体代入即可求解.因为x－2y＝3，所以6－2x＋4y＝6－2（x－2y）＝6－2×3＝0.故选A.
方法总结：整体代入法是数学中一种重要的方法，同学们应加以关注.
如图，某水渠的横断面为梯形，如果水渠的上口宽为a m，水渠的下口宽和深都为b m.
（1）请你用代数式表示水渠的横断面面积；
（2）计算当a＝3，b＝1时，水渠的横断面面积.
解析：（1）根据梯形面积＝（上底＋下底）×高，即可用含有a，b的代数式表示水渠横断面面积；（2）把a＝3，b＝1带入到（1）中求出的代数式中，其结果即为水渠的横断面面积.
解：（1）因为梯形面积＝（上底＋下底）×高，所以水渠的横断面面积为（a＋b）b（m2）.
（2）当a＝3，b＝1时水渠的横断面面积为（3＋1）×1＝2（m2）.
方法总结：解答本题时需搞清下列几个问题：（1）题目中给出的是什么图形？（2）这种图形的面积公式是什么？（3）根据公式求图形的面积需要知道哪几个量？（4）这些量是否已知或能求出？搞清楚了这些问题，求解就水到渠成.
三、板书设计
教学过程中，应通过活动使学生感知代数式运算在判断和推理上的意义，增强学生学习数学的兴趣，培养学生积极的情感和态度，为进一步学习奠定坚实的基础.第3课时 整 式
1.经历观察、分析、交流，概括出单项式、多项式、整式的概念，发展有条理的思考能力及语言表达能力.
2.通过交流研讨活动，培养学生主动与他人合作的意识.
重点：掌握整式及多项式的有关概念.
难点：准确判断多项式的次数.
一、情境导入
方方和圆圆的房间窗帘的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半径都分别相同）.现在方方和圆圆想算出窗帘的装饰物的面积分别是多少，窗户能射进阳光的面积分别是多少（窗框面积不计）.要解决这些问题，我们来学习下面的内容，就会知道答案.
二、合作探究
探究点一：单项式、多项式与整式的识别
指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.
解析：根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断.
解：，的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式.
单项式有：－x，10，m2n，a7；
多项式有：x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有：x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7.
方法总结：（1）分母中含有字母的式子不是整式；（2）单项式和多项式都是整式；（3）单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算.
探究点二：单项式与多项式
【类型一】 确定单项式的系数和次数
分别写出下列单项式的系数和次数.
（1）－ab2； （2）； （3）.
解析：单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这些字母的指数相加即可.
解：（1）单项式的系数是－1，次数是3.
（2）单项式的系数是，次数是6.
（3）单项式的系数是，次数是3.
方法总结：（1）当单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.单项式的系数包括前面的符号.（2）我们把常数项的次数看做0.确定单项式的次数时，单项式中单独一个字母的指数1不能忽略，如－3x3y，它的指数是4而不是3.（3）π是圆周率，是一个确定的数，不是字母.
【类型二】 确定多项式的项和次数
写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式.
（1）x2－3x＋5；
（2）a＋b＋c－d；
（3）－a2＋a2b＋2a2b2.
解：（1）x2－3x＋5的项数为3，次数为2，是二次三项式.
（2）a＋b＋c－d的项数为4，次数为1，是一次四项式.
（3）－a2＋a2b＋2a2b2的项数为3，次数为4，是四次三项式.
方法总结：（1）多项式的项包括它的符号；（2）多项式的次数是多项式里次数最高的项的次数，而不是各项次数的和；（3）几次项是指多项式中次数是几的项.
探究点三：与多项式有关的探究性问题
【类型一】 根据次数确定未知字母的值
已知－5xm＋104xm－4xmy2是关于x，y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式.
解析：根据多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数可得m＋2＝6，解得m＝4，进而可得此多项式.
解：由题意得m＋2＝6，解得m＝4，
此多项式是－5x4＋104x4－4x4y2.
方法总结：此题考查了多项式，解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.
【类型二】 根据不含某项确定未知字母的值
若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，求m，n的值.
解析：多项式不含二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0.
解：因为关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，
所以m＝0，n－1＝0，则m＝0，n＝1.
方法总结：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
探究点四：多项式的应用
如图，某居民小区有一块宽为2a米，长为b米的长方形空地，为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为a米的扇形花台，在花台内种花，其余种草.如果建造花台及种花费用每平方米为100元，种草费用每平方米为50元，那么美化这块空地共需多少元？
解析：四个角围成一个半径为a米的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆面积.
解：花台面积和为πa2平方米，草地面积为（2ab－πa2）平方米.所以需资金为[100πa2＋50（2ab－πa2）]元.
方法总结：用式子表示实际问题中的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序.
探究点五：规律探究问题
如图是由边长为1的等边三角形摆出的一系列图形，按这种方式摆下去，则第n个图形的周长是 Ｗ.
解析：第（1）个图形的周长为3，；第（2）个图形的周长为4＝3＋1；第（3）个图形的周长为5＝3＋1×2；第（4）个图形的周长为6＝3＋1×3.故第（n）个图形的周长为3＋1（n－1）＝2＋n.
方法总结：解答此类问题应采用比较归纳的方法和由特殊到一般的方法.通过探究特例，从中发现一些基本规律，然后推广到一般情况.
三、板书设计
整式
教学过程中，应通过丰富的现实情景，使学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心，培养学生认识从特殊与一般的辩证关系.
