必修一第三章函数的概念与性质单元测试卷（常考题）（含解析和试卷分析）

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必修一第三章函数的概念与性质
单元测试卷（常考题）
一、选择题(共8题；共40分)
1．函数的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（　　）
A．或 B． C． D．
3．设函数，则（　　）
A．10 B．9 C．7 D．6
4．已知，，则的表达式是
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则函数的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
7．函数 的部分图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．若定义在区间上的函数满足：对于任意的，都有，且时，有，的最大值、最小值分别为，则的值为(　　)
A．2012 B．2013 C．4024 D．4026
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（　　）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（　　）
A．
B．若，则或
C．的解集为
D．，则
三、填空题(共3题；共15分)
12．若函数是上的偶函数，则的值为　 　.
13．函数的值域是　 　．
14．已知函数 在 是增函数，则实数 的取值范围是　 　.
四、解答题(共5题；共77分)
15．求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
16．设函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求a，b的值；
（2）试判断的单调性，并用定义法证明．
17．已知函数
（1）若，求实数a的值；
（2）若，求实数m的取值范围．
18．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康 减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：），在时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
（1）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是　 　.
①
②
③
④
（2）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片　 　；（填“合格” “不合格”）
（3）记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
19．如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数 的定义域为 .
（Ⅰ）若 ， ，求 的定义域；
（Ⅱ）当 时，若 为“同域函数”，求实数b的值；
（Ⅲ）若存在实数 且 ，使得 为“同域函数”，求实数b的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】要使函数有意义，则有，
解得：且，
所以函数的定义域为，
故答案为：C.
【分析】根据函数的解析式有意义，列出相应的不等式组，求解可得函数的定义域.
2．【答案】D
【解析】【解答】由幂函数的定义知，解得或．
又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义和偶函数的定义，进而得出实数m的值。
3．【答案】C
【解析】【解答】因为，则.
故答案为：C.
【分析】根据题意直接代入计算即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解： ， ，
，
故答案为：B
【分析】根据题意，得到 ，进而求得函数 的表达式 .
5．【答案】D
【解析】【解答】设，则，
因为函数的定义域为，所以当时，有意义，
所以，故当且仅当时，函数有意义，
所以函数的定义域为，
由函数有意义可得，所以，
所以函数的定义域为。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合换元法和定义域求解方法得出函数f(x)的定义域，再结合构造法和定义域求解方法，进而得出函数的定义域。
6．【答案】B
【解析】【解答】令由于，则，
所以，，得；
所以，函数的解析式为；
故答案为：B.
【分析】利用换元法，令从而化简可得，进而求出函数的解析式.
7．【答案】C
【解析】【解答】 ，
故 为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B选项；
当 时， ， ， ，且 ，
故 ，排除A，D选项.
故答案为：C
【分析】先判断函数为奇函数，然后研究当x>0时，f(x)>0即可得出答案。
8．【答案】C
【解析】【解答】令，所以.即.再令.代入可得.设.所以.又因为.所以可得.所以可得函数是递增.所以.又因为.故选C.
9．【答案】A,C
【解析】【解答】对于选项，与，两个函数的定义域为，对应法则也一样，则正确；
对于选项，的定义域为，的定义域为，则这两个函数不是同一个函数，则不选；
对于选项，与，两个函数的定义域为，对应法则也一样，则正确；
对于选项， 的定义域为，的定义域为，则这两个函数不是同一个函数，则不选.
故答案为：AC.
【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】解：函数 满足 “对任意，，且，都有” ，则有函数f(x)在 上单调递增，
函数 在R上单调递减，A不是；
函数 在上单调递增，B是；
函数 在上单调递增，C是；
函数 在上单调递增，D是.
故选：BCD
【分析】根据给定条件，确定函数f(x)的单调性，再逐项判断作答.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】对于A，因为，所以，所以A符合题意；
对于B，当时，由，得，得；
当时，由，得，，得或（舍去）；
综上，或，所以B符合题意；
对于C，当时，由，得，解得；
当时，由，得，解得或(舍去)；
综上，的解集为，所以C不符合题意；
对于D，当时，，当时，，所以的值域为，
因为，，所以，所以D符合题意，
故答案为：ABD.
【分析】根据解析式先求出，再求出可判断A；分和两种情况可判断B；分和两种情况解不等式，可判断C；求出函数的最大值可判断D.
12．【答案】
【解析】【解答】函数是定义在上的偶函数，
，即．
，，
，∴，
故答案为：.
【分析】由奇偶函数的性质即可得出a的取值，然后由偶函数的定义代入验证就得出答案。
13．【答案】[0，2]
【解析】【解答】，且，
，
，
，
，
故函数的值域是[0，2]。
故答案为：[0，2]。
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数定义域求解方法，进而得出函 的定义域，再结合函数的定义域和构造法，进而得出函数 的值域 。
14．【答案】
【解析】【解答】当 时， ，显然在 不是增函数，所以舍去；
当 时，由题得 ，所以 .
所以实数a的取值范围为 .
故答案为：
【分析】对 分 和 两种情况结合复合函数的单调性讨论得解.
15．【答案】（1）解：因为是一次函数，设，
则，
所以，
则，解得，
所以
（2）解：由函数，
令，则，
所以，
所以
【解析】【分析】(1)首先根据题意设出函数的解析式，再把数值代入计算出a与b的取值，从而即可得出函数的解析式。
(2)根据题意令由此整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质，即可求出函数的值域。
16．【答案】（1）解：∵函数是定义在上的奇函数，
∴由，得．
又∵，
∴，解之得；
所以函数的解析式为：，a=2，b=0；
（2）解：）在上单调递增，理由如下：
设，
则
∵，
∴，即，
所以在上单调递增．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的性质和代入法，进而得出实数a，b的值。
（2）利用a，b的值求出函数的解析式，再利用增函数的定义，进而判断并证出函数的单调性。
17．【答案】（1）解：①当时，，
解得，不合题意，舍去；
②当时，，即，
解得或，
因为，，所以符合题意；
③当时，，
解得，符合题意；
综合①②③知，当时，或；
（2）解：由，
得或或，
解得或，
故所求m的取值范围是.
【解析】【分析】（1）根据，分，和三种情况讨论即可得出答案；
（2） 由，得或或，解不等式即可.
18．【答案】（1）④
（2）合格
（3）解：当时，令，
所以，即，
即，解得或，
即；
当时，令，
则，解得，
即；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间
为
【解析】【解答】（1）解：根据题意，得函数同时满足以下条件：
A.函数在上单调递增，在上单调递减；
B.当时，函数取得最大值；函数的最小值非负；
C.函数是一个连续变化的函数，不会发生骤变.
选择①：，
因为不满足条件B，
所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择②：，
当时，，
当时，函数取得最大值，不满足条件B，
所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择③：，
因为，
，
所以不满足条件C，
所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择④：，
因为，
且当时，，
所以同时满足三个条件，
即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.；
（2）解：由（1）得：函数④：
因为，
即血药浓度的峰值大于0.1，
所以此青蒿素药片合格，
即答案为：合格；
【分析】(1)由已知条件结合分段函数的解析式，由二次函数的图象和性质即可得出函数的最值，结合题意即可得出满足题意的t的取值。
(2)根据题意把数值代入函数的解析式，计算出结果再与标准值进行比较即可得出结论。
(3)由已知条件整理化简不等式，再由二次函数的图象和性质就得出一元二次不等式的解集，结合题意即可得出答案。
19．【答案】解：（Ⅰ）当 ， 时，
由题意，知 得
所以 的定义域为
（Ⅱ）当 时，
（ⅰ）当 ，即 时，
的定义域为 ，值域为
所以， 时， 不是“同域函数”．
（ⅱ）当 ，即 时，
当且仅当 时， 为“同域函数”，
所以
综上所述， 的值为
（Ⅲ）设 的定义域为 ， 的值域为
（ⅰ）当 时，
此时， ， ，从而
所以， 不是“同域函数”．
（ⅱ）当 时，
设 ，则 的定义域
①当 ，即 时， 的值域
若 为“同域函数”，则
从而，
又因为 ，所以， 的取值范围为
②当 ，即 时， 的值域
若 为“同域函数”，则
从而， （*）
此时，由 ， 可知，（*）式不成立
综上所述， 的取值范围为
【解析】【分析】（1）利用a，b的值结合函数 的定义域为 ，从而结合一元二次不等式求解集的方法和交集的运算法则，进而求出函数 的定义域 。
（2）利用a的值结合分类讨论的方法，再结合如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数” ，从而结合已知条件函数 为“同域函数”， 进而求出实数b的值。
（3）设 的定义域为 ， 的值域为 ，再利用分类讨论的方法结合“同域函数”的定义，从而求出实数b的取值范围。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 58.0(38.7%)
主观题（占比） 92.0(61.3%)
题量分布 客观题（占比） 11(57.9%)
主观题（占比） 8(42.1%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (36.8%)
2 容易 (36.8%)
3 困难 (26.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 函数解析式的求解及常用方法 23.0(15.3%) 4,6,15
2 奇函数 15.0(10.0%) 16
3 幂函数的概念与表示 5.0(3.3%) 2
4 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 5.0(3.3%) 2
5 复合函数的单调性 5.0(3.3%) 14
6 同一函数的判定 6.0(4.0%) 9
7 奇函数与偶函数的性质 5.0(3.3%) 12
8 函数的概念及其构成要素 17.0(11.3%) 19
9 一元二次不等式及其解法 17.0(11.3%) 18
10 函数的值域 22.0(14.7%) 13,19
11 函数的图象与图象变化 5.0(3.3%) 7
12 函数单调性的判断与证明 21.0(14.0%) 10,16
13 分段函数的应用 43.0(28.7%) 3,11,17,18
14 函数的定义域及其求法 27.0(18.0%) 1,5,19
15 函数单调性的性质 5.0(3.3%) 8
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