4.4一次函数的应用同步练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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4.4一次函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一次函数与轴相交于点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．无法求解
2．甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程（单位：）与所用的时间（单位：）之间的关系如图所示．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．乙走的路程比甲远
B．甲的平均速度为
C．前，甲的速度比乙快
D．经过，甲、乙都走了
3．在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（ ）
A．小方的速度为米/分钟
B．小圆的速度为300米/分钟
C．线段所在直线函数解析式为
D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米
4．如图，点A的坐标为，点在直线上运动，当线段最短时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，矩形的边在轴上，的中点与原点重合，，过定点和动点的直线与矩形的边有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线与x轴交点的横坐标为1，则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
7．为了保护学生视力，课桌高度与凳子高度按照的关系配套设计，那么高的凳子应配课桌的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，A、B两站相距42千米，甲骑自行车匀速行驶，由A站经P处去B站，上午8时，甲位于距A站18千米处的P处，若再向前行驶15分钟，使可到达距A站22千米处．设甲从P处出发x小时，距A站y千米，则y与x之间的关系可用图象表示为 （ ）
A． B． C． D．
10．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：）之间的关系如图所示，当时，y的值为（ ）
A．40L B．421 C．44L D．46L
11．某兴趣小组成员要设计一个正方形棋盘，通过了解，该正方形棋盘板材的成本y（单位：元）与该正方形的边长x（单位：厘米）成正比．当时，．若该小组成员购买该种类板材的成本为24元，则其边长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．小林骑行从A地到B地，设出发后，小林距离B地路程为，已知y与x之间的函数表达式为，则小林骑行从A地到B地所用时间是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一辆轿车从地驶向地，设出发后，这辆轿车离地路程为，已知与之间的函数解析式为，则轿车从地到达地所用时间是 ．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，4）点C在y轴的负半轴上，若将△CAB沿直线AC折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为 ．
15．如图是张老师复印资料时，剩余张数和工作时间的函数关系图象，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为 分钟．
16．某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元．
17．某商品的定价是每千克5元，元旦期间，该商品推出优惠活动，若一次购买该商品的数量超过2千克，则超过2千克的部分，价格打八折；若一次购买的数量不超过2千克（含2千克），仍按原价付款．若一次购买的数量为x千克，在的条件下，付款金额y（元）与x（千克）之间的关系式为 ．
三、解答题
18．如图（1），在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，且点的坐标为，点为线段的中点．
(1)求点的坐标；
(2)点为直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数解析式；
(3)当点在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．已知一次函数的图象如图所示．
(1)关于x的方程的解是________；
(2)关于x的方程的解是________；
(3)关于x的方程的解是________．
20．周六上午小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇．接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y (千米) 与x (小时)之间的函数图象如图所示，
(1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时；
(2)求线段所表示的函数关系式；
(3)问小明能否在前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出时他离家的路程，
21．某水果经销商以10元/千克的价格向当地果农收购某种水果，该水果的市场销售价为20元/千克，根据市场调查，经销商决定降价销售．已知这种水果日销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0≤x＜10）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x之间的关系式；
(2)若经销商计划该种水果每日获利440元，那么该种水果每千克应降价多少元进行销售？其相应的日销售量为多少？
22．如图1，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点，与直线l1交于点D（2，t）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图2，若点P在直线l1上，过点P作轴交l2于点Q，交x轴于点G，使，求此时P点的坐标；
（3）将直线向左平移10个单位得到直线l3交x轴于点E，点F是点C关于原点的对称点，过点F作直线轴．在直线l4上是否存在动点M，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为，根据图象提供的信息，解决下列问题：
(1)求乙离开A城的距离y与x的关系式；
(2)求乙出发后几小时追上甲车？
(3)从图象上看，x为何值时，两车之间的路程最大？通过计算说明，最大路程是多少千米？
24．如图，一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，一次函数的图象与直线交于点，且交于轴于点．
(1)求的值及点、的坐标；
(2)求的面积；
(3)若点是轴上的一个动点，当时，求出点的坐标．
《4.4一次函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B D A A A A D
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．一次函数图象与x轴交点的横坐标等于对应方程的解，据此即可解答．
【详解】解：一次函数的图象与轴交于点，
关于的方程的解为，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解函数图象是解题关键．根据函数关系图得出后，甲的路程比乙的路程远，可判断A； 根据图象可知，甲走了，所以甲的平均速度为，即可判断B；观察函数关系图即可得前时，乙的速度比甲快 ，即可判断C； 观察函数关系图经过，甲、乙走的路程，即可判断D．
【详解】解∶ A．后，甲的路程比乙的路程远， 故A不符合题意；
B．根据图象可知， 甲走了，所以甲的平均速度为，故B不符合题意；
C．前，甲走了，乙走了，所以乙比甲的速度快，故C不符合题意；
D．经过，由函数图象可知，甲、乙都走了，故D符合题意．
故选∶ D
3．D
【分析】本题考查一次函数的应用、路程速度时间的关系等知识，利用速度路程时间，找准小方、小圆的路程和时间，可求出小方、小圆的速度；得出点G的坐标，设直线的解析式为：，将F，G的坐标代入，求解方程组即可得线段所在直线函数解析式；两人之间路程相距200米，根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【详解】解：根据题意可知，，
∴小圆的速度为：（米/分钟），
故选项B正确；
∴小圆从B地到C地用时：（分钟），
∴，
∴，
∴小方的速度为（米/分钟），
故选项A正确；
设线段所在直线函数解析式为，
将、代入，
得，
解得，
∴线段所在直线函数解析式为，
故选项C正确；
由题意可知，相距300米，相距900米，
∵，，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
当时，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，即小方、小圆朝相反方向走，
∴令，
解得，
∵当时，小方从处徒步前往处，小圆从处往处骑行，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∵当时，小方从继续徒步前往处，小圆从处往处骑行，
∴或，
解得或．
综上，出发分钟或分钟或分钟后，两人之间的路程相距200米，
故选项D错误．
故选：D．
4．B
【分析】过点B作轴于C，作轴于D，得四边形是正方形，当线段垂直直线时，线段最短，，根据直线是二、四象限角平分线，得，得，根据点A的坐标为，得，即得点B的坐标为．
【详解】当线段垂直直线时，线段最短，,
过点B作轴于C，作轴于D，
则，
∵直线是二、四象限角平分线，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为：．
故选：B．
【点睛】此题考查了正比例函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线判定和性质，正方形的判定和性质．熟练掌握是解题的关键．
5．D
【分析】考查了一次函数的综合题，解题关键是运用数形结合思想．分别求出直线过点D和直线过点C时对应的函数解析式，然后求出点P的坐标即可．
【详解】解：根据题意得：，即，
当直线过点D时，设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
令，得到；
当直线过点C时，设直线的解析式为，
将点代入得：，
解得，
∴直线的解析式为，
令，得，
则过定点和动点的直线与矩形的边有公共点时，a的取值范围是．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了一次函数的性质与一元一次方程，一次函数与轴的交点问题，由直线与x轴交点的横坐标为1，得到，将代入中，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵直线与x轴交点的横坐标为1，
∴，
∴，
将代入中，得：，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，把代入，求出结果即可．
【详解】解：把代入得：
，
即高的凳子应配课桌的高度为，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵一次函数和的图象交于点，
∴根据图象可得，关于x的方程的解为，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了一次函数的应用．首先根据题意，得出、所表示的意义（注意单位），然后再计算出甲1.5小时行驶的路程，结合的初始位置来判断各选项的对错．
【详解】解：由题意，知：甲15分钟即小时行驶了千米，
所以甲的速度为：千米小时；
故甲从行驶1.5小时后，距地的距离为千米，可排除B、D选项；
由于处距地18千米，且甲从处出发，故的初始值应该是18，可排除C选项；
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查了一次函数的应用．依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解．
【详解】解：设当时的直线解析式为：．
图象过、，
可得．解得．
直线解析式为．
令，
．
故选：D．
11．C
【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，理解题意求出正比例函数解析式是解题的关键．
先由题意设，用待定系数法求出k的值，再将代入解析式计算即可得到边长．
【详解】解：根据题意设，
当时，，
，
，
当时，，解得，
因此，边长为4厘米．
故选C．
12．C
【分析】本题考查了一次函数的应用．
根据“小林距离B地路程为”结合求解即可．
【详解】解：∵小林距离B地路程为，
∴当小林骑行从A地到达B地时，，
此时
解得：
故选：C．
13．
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，根据题意将代入解析式，直接求解即可．
【详解】解：根据题意得：当时，时，
解得：，
故答案为：．
14．(0,-6)
【分析】利用勾股定理可得AB=5，由折叠得：AD=AB=5，得出点D的坐标，设点C（0，m），则OC=-m，由勾股定理代入计算即可得出结果．
【详解】解：∵A(3,0)、B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∵∠AOB=90°，
∴AB=，
由折叠得：AD=AB=5，
∴OD=OA+AD=3+5=8，
∴点D（8，0），
设点C（0，m），则OC=-m，
由折叠得：CD=BC=4-m，
在Rt OCD中，
，
∴，
解得：m=-6，
∴C（0，-6），
故答案为：（0，-6）．
【点睛】题目主要考查一次函数的综合应用，解答本题的关键是利用翻折的性质、勾股定理及待定系数法确定函数解析式．
15．20
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．利用待定系数法求出函数解析式，即可求解．
【详解】解：根据题意得：剩余张数和工作时间的函数关系是一次函数关系，
设该函数解析式为，
把点代入得：
，
解得：，
∴该函数解析式为，
当时，，
解得：，
即张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为20分钟．
故答案为：20
16．4
【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案．
此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键．
【详解】解：设这件商品每件的原价为a元，
当购买的件数x超过10件时，所付的款数，
整理得：，
根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上，
，
解得：
答：这件商品每件的原价为4元．
故答案为4．
17．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用知识，掌握以上知识并充分理解题意是解答本题的关键．
本题当时，付款金额由两部分构成，一部分是2千克所花的钱，另一部分是超过2千克所花的钱，然后即可求解．
【详解】解：由题意可列式：当，即．
故答案为：
18．(1)点
(2)
(3)存在，点为或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）S=PQ |xP|，即可求解；
（3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】（1）将点代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴点．
（2）∵点为线段的中点，，，
∴，
设直线OC的表达式为y=px，将代入得：，
∴则直线的表达式为：，
∵点的横坐标为，且点为直线上的点，
将代入，得到，
又∵轴，
∴，
∴，
当点在轴右侧，且在点右侧时，
，
当点在轴右侧，且与点重合时，
当点在轴右侧，且在点左侧时，
，
当点在轴左侧时，，
当点在轴上时，．
综上，
（3）设P（m，-m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）；
①当OB是矩形的边时，
则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）；
②当OB是矩形的对角线时，
由中点公式得：m+s=0且-m+3+t=3+0①，
由矩形的对角线相等得：OB=PN，即（m-s）2+（-m+3-t）2=32②，
联立①②并解得：，
∴，
故点；
综上，点P的坐标为（4，0）或．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到矩形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了一次函数与方程，关键是正确利用数形结合的方法从图象中找到正确答案．
（1）一次函数的图象与轴交点横坐标的值即为方程的解；
（2）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解；
（3）根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，进而得到方程的解．
【详解】（1）解： 一次函数的图象与轴相交于点，
关于的方程的解是．
故答案为：；
（2）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点，
因此关于的方程的解，
故答案为：；
（3）解：根据图象可得，一次函数的图象经过点，
因此关于的方程的解，
故答案为：．
20．(1)30，56
(2)线段的表达式：
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题．
（1）仔细观察图象，结合题意即可得出答案；
（2）先设一次函数的解析式，然后将两点坐标代入解析式即可得出线段所表示的函数关系式；
（3）根据图象和解析式可知小明从出发到回家一共需要4.2小时，故前不能回到家．
【详解】（1）解：仔细观察图象可知：小明去基地乘车1小时后离基地的距离为30千米，
因此小明去基地乘车的平均速度是30千米小时，
在返回时小明以4千米时的平均速度步行，行驶2千米后遇到爸爸，
因两个人同时走，小明走了0.5小时，即爸爸也走了0.5小时
他爸爸在0.5小时内行驶了28千米，
故爸爸开车的平均速度应是56千米小时；
故答案为：30，56；
（2）解：线段所表示的函数关系式为；
点的横坐标为：，
，
点横坐标是：，
；
将两点代入函数解析式即可得线段的表达式：；
（3）解：不能．
小明从家出发到回家一共需要时间：（小时），
从经过4.2小时已经过了，
不能在前回到家，此时离家的距离：（千米）．
21．(1)
(2)6元，110千克
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）每日利润＝每千克销售利润×日销售量，由此可得关于x的一元二次方程，求出x的值，代入y与x之间的关系式即可求出相应的日销售量．
【详解】（1）解：设y与x之间的关系式为，
观察图象，将，代入得，
解得，
故y与x之间的关系式为；
（2）解：依题意，降价x元后，每千克销售利润为元，日销量为千克，
则，
整理得，
解得或（不合题意，舍去）
当时，，
故该种水果每千克应降价6元进行销售，其相应的日销售量为110千克．
【点睛】本题考查一次函数和一元二次方程的实际应用，第1问需要掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，关键是从图象中找出有用信息；第2问关键是根据题意找出等量关系列方程并正确求解．
22．（1），（2）；（3）或，或
【分析】（1）把点D坐标代入直线求出t的值，运用待定系数法求出l2即可；
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）设 则，分，，三种情况列式求解即可．
【详解】解：（1）∵D（2，t）在直线
∴，
∴D（2，3）
设直线的解析式为，
将点C，D代入得，
解得，
所以，线的解析式为
（2）设
∵PQ//x轴，
∴G(a,0)，Q(a，2a-1)
∵，且
∴
∴
解得，，（舍去）
∴
（3）存在，理由如下：
对于直线
当时，；当时，
∴,
∴
如图，
∵
∴
又∵
∴
∴的解析式为:
设 则
当为等腰三角形，有：
①时，
解得，，即
②时，
解得：或
即，
③时，
解得，或（舍去）
即
综上，点M的坐标为：或，或．
【点睛】本题为一次函数综合运用题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质等知识，其中（3）要注意分类求解，避免遗漏．
23．(1)
(2)乙车出发后1.5小时追上甲车
(3)相遇前、相遇后时两车之间的路程最大,最大路程60千米
【分析】（1）设乙对应的函数关系式为，利用待定系数法求解即可确定函数解析式；
（2）联立甲乙两车对应的函数解析式求解即可；
（3）结合图象，相遇前、相遇后时两车之间的路程最大，代入求解即可．
【详解】（1）解：设乙对应的函数关系式为
将点（4，300），（1，0）代入得：
解得：
∴乙对应的函数关系式；
（2）联立两个函数得：
解得：
（小时）
∴乙车出发后1．5小时追上甲车；
（3）从图上看，相遇前、相遇后时两车之间的路程最大
当时，两车之间的路程是（千米）
当时，两车之间的路程是（60千米）．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，从函数图象获取相关信息，求函数值等，理解题意，从函数图象获取相关信息是解题关键．
24．(1)，，；
(2)2
(3)点的坐标为或
【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据自变量的值，可得相应的函数值；
（2）根据待定系数法，可得的解析式，根据函数值为零，可得点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（3）设，可得，然后根据时，即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，
得，
解得，
一次函数的图象分别与轴，轴的正半轴交于点、，
当时，，
解得，即，
当时，，即，
，，；
（2）解：把点一次函数，得，解得，
，
当时，，即．
，
；
（3）解：点是轴上的一个动点，设，
，
，
，
或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，（1）利用了自变量与函数值的对应关系，（2）利用了三角形的面积公式，（3）利用了分类讨论的方法，掌握一次函数的性质是解题关键．
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