5.3二元一次方程组的应用同步练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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5.3二元一次方程组的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为奖励在“缤纷节”汇演中表现突出的同学，班主任派小王到文具店为获奖同学购买奖品． 小王发现，购买15 个文具盒和12支钢笔价格一样；如果在上述基础上少购买2个文具盒，多购买2支钢笔，则购买文具盒比钢笔少花36元． 设文具盒单价为x元，钢笔单价为y元，则符合题意的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问木条多少尺？如果设木条长为尺，绳子长为尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻 9：00 10：00 11：30
里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0
则10：00时看到里程碑上的数是（ ）
A．15 B．24 C．42 D．51
4．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列成的方程组为（ ）
A． B． C． D．
5．小李家去年节余5000元，今年可节余9500元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．兔年来临，小兰要做玩偶兔子和福袋作为新年礼物，她去市场买了36米布，每米布可以做兔子25只，或者福袋40个，小兰将1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物，结果发现布没有剩余，恰好配套做成了礼物．若设用x米布做兔子，用y米布做福袋，则可列出方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，则每辆小货车一次可运货（ ）
A．2吨 B．2.5吨 C．3吨 D．3.5吨
8．某生产线现有个工人，一个工人每天可生产6个螺杆或个螺母，1个螺杆和2个螺母为一套，现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套而没有剩余，若设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，则列出正确的二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．一条铁路线A，B，C三个车站的位置如图所示，已知B，C两车站之间相距500千米．火车从B站出发，向C站方向行驶，经过30分钟，距A站130千米；经过2小时，距A站280千米．火车从B站开出多少时间后可到达C站？（ ）
A．4小时 B．5小时 C．6小时 D．7小时
10．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　）
A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42
11．某同学的笔袋中有若干支黑色中性笔和红色中性笔（除笔芯颜色不同外，其他都相同），从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为，则笔袋中的黑色中性笔有（ ）．
A．8支 B．6支 C．4支 D．2支
12．如图，王英家客厅的电视背景墙是由8块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，则每一块长方形墙砖的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫图．将数字，，，，0，1，2，3，4分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是同一个值，则的值是 ．
2
m
n
14．如图，△ABC的三个顶点都在直角坐标系中的格点上，图中△ABC外接圆的圆心坐标是 ．
15．某公司要将一批货物运往某地，打算租用甲、乙两种货车，以前租用这两种货车的信息如下表：
第一次 第二次
甲种货车的辆数 2 5
乙种货车的辆数 3 6
累计运货量/t 15.5 35
现打算租用4辆甲种货车和7辆乙种货车，可一次刚好运完这批货物，则这批货物共有 t．
16．一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶 ．
17．运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，则节火车车厢和辆汽车共装 吨化肥．
三、解答题
18．工作人员从仓库领取如图1中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)下表是工作人员两次领取纸板数的记录：
次数 正方形纸板（张） 长方形纸板（张）
第一次 560 940
第二次 420 1002
①仓库管理员在核查时，发现一次记录有误，请判断第几次的记录有误，并说明理由；
②记录正确的那一次，利用领取的纸板做了竖式和横式纸盒各多少个？
(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1:3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值；
(3)拓展延伸：现在仓库里有张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（ ）
A．2013 B．2014 C．2015 D．2016
19．某校八年级（1）班名学生某次数学测验的成绩统计如表：
成绩分
人数人
(1)若这名学生成绩的平均数为分，求和的值．
(2)在（1）的条件下，求这名学生本次测验成绩的众数和中位数．
20．“预防为主，生命至上”．商场计划购进一批消防器材进行销售，已知购进15个干粉灭火器和20个消防自救呼吸器共需1500元，购进20个干粉灭火器和25个消防自救呼吸器共需1950元．
(1)求一个干粉灭火器和一个消防自救呼吸器的进价分别是多少元；
(2)该商场计划用4800元购进干粉灭火器和消防自救呼吸器共100个，销售时，干粉灭火器在进价的基础上加价进行销售；消防自救呼吸器每件加价10元进行销售，求全部售出后共可获利多少元．
21．对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解．
(1)某村乡村振兴项目计划把黄桃加工成罐头，刚开始每天加工，后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工，前后共用8天完成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？
(2)在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？
22．为了节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯．A车间购买了3盏甲型节能灯和5盏乙型节能灯，共花费50元；B车间购买了12盏甲型节能灯和4盏乙型节能灯，共花费88元．1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
23．七年级书法兴趣小组到文具店购买A，B两种型号的毛笔，文具店的销售方式是：
（1）一次性购买A型毛笔不超过20支时，按零售价销售；超过20支时，超过部分每支的价格比零售价低元．
（2）一次性购买B型毛笔不超过15支时，按零售价销售；超过15支时，超过部分每支的价格比零售价低元．
这个小组共有20名同学，若每人买1支A型毛笔和2支B型毛笔，共需支付325元；若每人买2支A型毛笔和1支B型毛笔，共需支付309元．这家文具店A，B型毛笔的零售价分别是多少？
24．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元．
(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？
(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？
《5.3二元一次方程组的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B B C B C B A
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，找到等量关系列出方程组．
【详解】解：设文具盒单价为x元，钢笔单价为y元，
根据购买15 个文具盒和12支钢笔价格一样可列出方程；
根据在上述基础上少购买2个文具盒，多购买2支钢笔，则购买文具盒比钢笔少花36元可列出方程,
符合题意的方程组为,
故选：A．
2．A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：
，
故选：A．
3．D
【分析】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据车的速度不变和12:00时看到的两位数字之和为6，即可列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设小明9:00看到的两位数，十位数为x，个位数为y，由题意列方程组得：，
解得：，
∴9：00时看到的两位数是15．
10：00时看到里程碑上的数是
故选：D
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
4．B
【分析】根据等量关系人出半，盈四；人出少半，不足三列方程组即可．
【详解】解：由题意知，可列方程为：
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于理解题意．
5．B
【分析】根据题意可得等量关系：①去年的收入为元去年的支出元结余5000元；②今年的收入今年的支出今年可节余9500元，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设去年的收入为元，支出为元，根据题意可得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．
6．C
【分析】根据“小兰去市场买了36米布”、“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”即可列出二元一次方程组．
【详解】解：∵“小兰去市场买了36米布”
∴
∵“1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物”
∴福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍
∴
故：
故选：C
【点睛】本题考查配套问题．注意1只玩偶兔子和2个福袋配成一套礼物＝福袋的数量是玩偶兔子数量的2倍．
7．B
【分析】设每辆大货车一次可运货x吨，每辆小货车一次可运货y吨，根据2辆大货车与3辆小货车一次共可运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次共可运货35吨，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每辆大货车一次可运货x吨，每辆小货车一次可运货y吨，依题意得：
，
解得：
．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是找准等量关系．
设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，根据“生产线现有个工人”、“现在要求工人每天生产的螺杆和螺母完整配套而没有剩余”列出方程组即可．
【详解】解：设安排x个工人生产螺杆，y个工人生产螺母，
根据题意得：，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，等量关系式：列车小时行驶的路程站与站的距离千米，列车小时行驶的路程站与站的距离千米，据此列出方程组，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：设火车的速度为千米／小时，站与站相距千米，由题意得
，
解得：，
（小时），
故答案：B．
10．A
【分析】设原来的两个加数分别为和，小明将后多写一个0，即x扩大10倍，得到；小亮将后多写一个0即y扩大10倍，得到，解方程组即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：设原来的两个加数分别为和，
根据题意，得，
解得．
故选：A．
11．C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设原来笔袋中黑色中性笔有支，红色中性笔有支，根据“从中随机取出一支笔，取出的是黑色中性笔的概率，如果再往笔袋中放进6支红色中性笔，这时从中随机取出一支笔是黑色中性笔的概率变为”列出方程组，解方程即可得出答案．
【详解】解：设原来笔袋中黑色中性笔有支，红色中性笔有支，
由题意得：，
整理得：，
解得，
原来笔袋中黑色中性笔有支，
故选：C．
12．A
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解题的关键．
设一块长方形墙砖的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的长为，两条宽分别为，，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组得到的值，再根据长方形面积计算公式即可求出面积，
【详解】解：设一块长方形墙砖的长为，宽为，依题意得，
，
解得，
∴每一块长方形墙砖的面积为：
答：每一块长方形墙砖的面积为．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了代数式求值，解二元一次方程组．由，，可知每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0，如图1，由，解得，，解得，，解得，，解得，，解得，如图2，由题意知，，整理得，，，整理得，，联立，解得，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都是0，
如图1，
a 2
m b c
d e n
∵，解得，
∵，解得，
∵，解得，
∵，解得，
∵，解得，
如图2，
1 2
m
n
由题意知，，整理得，，
，整理得，，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】设三角形的外心为，然后根据外心的性质可以得到关于x、y的方程组，解方程组即可得解．
【详解】解：设三角形的外心为，由题意可得：
，
则，
解方程可得：，
故答案为．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质、二元一次方程组的解法是解题关键．
15．33.5
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键；
设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物，根据表格中所提供的信息列二元一次方程组，
求出两种货车每次的载重吨数，再根据题中所给数据列式计算即可．
【详解】解：设甲种货车可运输货物，乙种货车可运输货物，
由题知，，
解方程组得
用4辆甲种货车和7辆乙种货车可运输货物．
故答案为：33.5．
16．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废，根据通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废，
根据题意得：，
解得：，
∴（），
∴这对新轮胎一共能支持自行车行驶．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设节火车车厢装吨化肥，辆汽车装吨化肥，根据运输吨化肥，装载了节火车车厢和辆汽车；运输吨化肥，袋载了节火车车厢和辆汽车，可列方程组，把方程组中的两个方程相加可得：，所以可得节火车车厢和辆汽车共装吨化肥．
【详解】解：设节火车车厢装吨化肥，辆汽车装吨化肥，
根据题意可得：，
得：，
方程两边同时除以得：，
节火车车厢和辆汽车共装吨化肥．
故答案为：．
18．(1)①第二次，见解析；②做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒
(2)3
(3)C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找到正确的数量关系是本题的关键．
（1）①设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，由领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和应该是5的倍数，可判断第二次记录错误；
②由第一次记录，列出方程组，可求解；
（2）由正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，可得，可求解；
（3）设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，然后根据所需长方形纸板和正方形纸板的张数列出方程组，再根据x、y的系数表示出并判断为5的倍数，然后选择答案即可．
【详解】（1）解：①第二次记录错误，
理由如下：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板张，需要长方形的纸板张，
∴领取的正方形的纸板和长方形的纸板之和为，应该是5的倍数，
而，，1422不能被5整除，
∴第二次记录有误；
②由题意可得：，
解得：，
答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；
（2）解：由题意可得：，
解得：，
∴，
答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．
（3）解：设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，
根据题意得：，
两式相加得，，
∵x、y都是正整数，
∴是5的倍数，
∵2013、2014、2015、2016四个数中只有2015是5的倍数，
∴的值可能是2015．
故选：C．
19．(1)5；7；
(2)90；80
【分析】（1）根据题意可以得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求得x、y的值；
（2）根据众数和中位数的定义求出答案即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，
∴x的值为5，y的值为7；
（2）解：由（1）得，分的人数最多，故众数为分，
中位数为从低到高第和第位同学成绩的平均值为分，
∴众数为，中位数为．
【点睛】本题考查了平均数、众数与中位数的知识以及解二元一次方程组，掌握各知识点的概念及方法是解答本题的关键．
20．(1)一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元
(2)全部售出后共可获利1480元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，根据题意列出方程组，解出的值即可解答；
（2）设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，根据题意列出方程组，解出的值，再计算获利即可解答．
【详解】（1）解：设一个干粉灭火器的进价为元，一个消防自救呼吸器的进价为元，
由题意得，，
解得：，
答：一个干粉灭火器的进价为60元，一个消防自救呼吸器的进价为30元．
（2）解：设购进干粉灭火器个，购进消防自救呼吸器个，
由题意得，，
解得：，
购进干粉灭火器60个，购进消防自救呼吸器40个，
全部售出后共可获利（元），
答：全部售出后共可获利1480元．
21．(1)这个项目改进加工方法前、后各用了2天、6天．
(2)这个队的胜、负场数分别是6场和4场．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组成为解题的关键．
（1）设这个项目改进加工方法前、后各用了x、y天，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设这个队的胜、负场数分别是m、n场，然后根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】（1）解：设这个项目改进加工方法前、后各用了x天和y天，
由题意可得：，解得：．
答：这个项目改进加工方法前、后各用了2天和6天．
（2）解：设这个队的胜、负场数分别是m场和n场，
由题意可得：，解得：．
答：这个队的胜、负场数分别是6场和4场．
22．1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元
【分析】本题考查了二元一次方程解决实际问题，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设出两种型号的节能灯的价格，然后算出各自花费的金额，其和等于54元，可列出方程求解．
【详解】解：设1盏甲型节能灯售价为x元，1盏乙型节能灯的售价为y元，根据题意得：
，
解得，
答：1盏甲型节能灯售价为5元，1盏乙型节能灯的售价为7元．
23．这家文具店A型毛笔的零售价为5元，B型毛笔的零售价为6元
【分析】设这家文具店A型毛笔的零售价为元，B型毛笔的零售价为元，
根据题意列出方程组解答即可．
本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设这家文具店A型毛笔的零售价为元，B型毛笔的零售价为元，
根据题意得：
，
解得，
答：这家文具店A型毛笔的零售价为5元，B型毛笔的零售价为6元．
24．(1)甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元
(2)购进甲型机器人4台，乙型机器人2台时，分拣量最大
【分析】（1）设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，根据“购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（2）设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台，根据“该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设6台机器人每小时的分拣量为w，利用总分拣量=每台机器人的分拣量×购买该型机器人的数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设甲型机器人的单价是x万元，乙型机器人的单价是y万元，
依题意，得
解得
答：甲型机器人的单价是3万元，乙型机器人的单价是2万元．
（2）解：设购买甲型机器人m台，则购买乙型机器人台．
依题意，得，
解得．
设6台机器人每小时的分拣量为w，则．
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
∴购买甲型机器人4台，乙型机器人2台时，才能使每小时的分拣量最大．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
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