第四章一次函数同步练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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第四章一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为（ ）
A．2 B．或 C． D．2或
2．已知正比例函数，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．6
3．下列函数是正比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
5．下列函数中y既不是x的正比例函数，也不是x反比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用（千元）与证书数量（千个）的函数关系图象如图所示，下列三种说法正确的是（ ）
①甲厂的制版费为1千元；
②当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.2元／个；
③当印制证书8千个时，应选择乙厂，可节省费用500元．
A．只有① B．①② C．①③ D．②③
7．下列四个函数中，是一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
A． B．
C． D．
9．有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．函数的图象一定经过点（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知一个正比例函数的图象经过和两点，则n的值是（ ）
A．2 B． C．8 D．
二、填空题
13．一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从布袋中任取一个球记下数字作为点P的横坐标x，不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点P的纵坐标y，那么点落在直线上的概率是 .
14．直线经过第 象限，随增大而 ．
15．按如图所示的程序计算的值，若输入的的值是，输出的值为；若输入的的值是，输出的值为 ．
16．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ．
17．一位卖报人每天从报社固定购买100份报纸，每份进价元，然后以每份1元的价格出售．如果报纸卖不完退回报社时，退回的报纸报社只按进价的退款给他．如果某一天卖报人卖出的报纸为份，所获得的利润为元，则与的关系式为 ．
三、解答题
18．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，且ABO的面积为9．
（1）如图1，求k的值；
（2）如图2，若点P是线段AO上的一动点，过点P作PC∥AB，交y轴于点C，设点P的横坐标为t，线段BC的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图3，在（2）的条件下，点D为线段AB的延长线上一点，连接DO，DO与PC的延长线交于点E，若∠BPC＝2∠BOD，BP﹣PE＝，求点D的坐标．
19．已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求m的取值范围．
（2）若，直线经过点A并与y轴交于点D，且，求抛物线的解析式．
20．已知某一函数的图象所示，根据图象回答下列问题
（1）求当y＝0，x的值是多少？
（2）当﹣2≤x≤1.5时，y随x的增大而怎么样变化？
21．已知直线经过点，求此直线与x轴，y轴的交点坐标．
22．小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买文具，于是又折回到刚经过的某文具店，买到文具后继续骑车去学校，如图是他本次上学所用的时间与离家的距离之间的关系图，根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小明家到学校的距离是 米，文具店到学校的距离是 米；
(2)小明在文具店停留了 分钟，本次上学途中，小明一共行驶了 米；
(3)在整个上学途中，哪个时间段小明骑车速度最快？最快的速度是多少？
(4)如图小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费多长时间？
23．某容器有一根进水管和两根出水管，进水管的进水速度恒定的．从某时刻开始计时，前5分钟内只打开进水管，在第5分钟时，又打开出水管，第13分钟时关掉两根水管．容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．
(1)当时，求y关于x的关系式；
(2)求出水管的出水速度．
24．某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，如图所示是某水库蓄水量V（万立方米）与干旱时间t（天）之间的关系图．
请你根据此图填空．
(1)水库原蓄水量是______万立方米，干旱持续10天，蓄水量为______万立方米；
(2)若水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，则持续干旱______天后，将发出严重干旱预报；按此规律，持续干旱______天时，水库的水将干涸．
《第四章一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C C C D D C B
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，求解即可求得到答案．
【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，
在y=2x+b中，令y=0可得x=-，令x=0可得y=b，
∴A（-，0），B（0，b），
∴OA=|-|，OB=|b|，
∵S△AOB=1，
∴OA OB=1，即×||×|b|=1，
整理可得|b|2=4，
∴b=2或b=-2，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键．根据正比例函数的性质，当比例系数时，函数值随的增大而增大．因此，在区间内，函数的最大值出现在的最大值处．
【详解】解：∵时，函数y随x的增大而增大，
∴当时，取得最大值，，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查正比例函数的判断，根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意；
B、，不是正比例函数，不符合题意；
C、，是正比例函数，符合题意；
D、，不是正比例函数，不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数解析式判断函数增减性，再结合点的横坐标大小比较对应函数值的大小．
【详解】解：∵直线中，
∴函数值随增大而减小，
∵，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了正比例函数和反比例数的定理，理解正比例函数：（是常数，）及能化为（是常数，）的函数都是反比例函数是解题的关键．
【详解】解：A. y是x的反比例函数，故不符合题意；
B. y是x的反比例函数，故不符合题意；
C. y既不是x的正比例函数，也不是x的反比例函数，故符合题意；
D.y是x的反比例函数，故不符合题意；
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了一次函数应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式等知识，①根据纵轴图象判断即可；②用2到6千个时的费用除以证件个数计算即可得解；③用待定系数法求出乙厂时的函数解析式，再求出时的函数值，再求出甲厂印制1个的费用，然后求出8千个的费用，比较即可得解．
【详解】解：①由图可知，甲厂的制版费为1千元，故①说法正确；
②（元/个），
即当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.25元/个，故②说法错误；
③设乙厂时的函数解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，（千元），
甲厂印制1千个证件的费用为：（千元），
印制8千个的费用为（千元），（千元）（元），
所以，选择乙厂节省费用，节省费用500元，故③说法正确；
故选：C．
7．D
【分析】根据一次函数的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：一次函数的一般形式为：，（、是常数，）
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的识别，一次函数的一般形式为，（、是常数，），掌握一次函数的一般形式是解题关键．
8．D
【分析】先根据计算程序得到，再根据一次函数的图象与坐标轴的交点及一次函数的性质性质判断即可．
【详解】解：根据计算程序易得与之间的函数关系式为，由可知，随的增大而减小，且当时，；当时，．所以符合题意的函数图象是选项D，
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象特征，能根据计算程序得出正确的函数解析式是解答的关键．
9．C
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k，b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．
【详解】解：①，变形为，符合一次函数的定义，
②不符合一次函数的定义，
③符合一次函数的定义，
④，变形为，符合一次函数的定义，
⑤不符合一次函数的定义，
综上，表示y是x的一次函数的有①③④，共3个，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是把点的坐标代入函数解析式看看两边是否相等．把点的坐标代入进行判断即可．
【详解】解：A、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合；
B、把代入函数得，即点在正比例函数的图象上，故本选项符合；
C、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合；
D、把代入函数得，即点不在正比例函数的图象上，故本选项不符合．
故选：B．
11．B
【分析】本题考查了正比例函数的增减性求参数，根据正比例函数的性质可得，解出a的值即可．
【详解】解：∵函数中y随x的增大而减小，
∴，
解得，
故选：B．
12．B
【分析】本题考查正比例函数图象上的点的坐标特征．利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再将点代入求值即可．关键是求出函数解析式．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，将，代入，得：，
∴，
当时，，
∴；
故选B．
13．
【分析】首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=x+1的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表得：
1 2 3
1 （1，2） （1，3）
2 （2，1） （2，3）
3 （3，1） （3，2）
共有6种等可能的结果，其中，点落在直线上的结果有2种，
∴点落在直线上的概率=．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比，还需要注意实验是不放回实验．
14． 一、三 增大
【分析】本题考查了正比例函数图象与性质，根据正比例函数图象与系数的关系即可求解，掌握正比例函数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵中，
∴直线经过第一、三象限，随增大而增大，
故答案为：一、三，增大．
15．
【详解】本题主要考查了求函数值，实数的大小比较；解题关键是理解已知条件中的计算程序．先判断与的大小，然后把代入，求出即可．
【解答】解：，
，
输出的的值为：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的图象与x轴的交点的横坐标为的解，由此可解．
【详解】解：关于x的方程的解为，
一次函数的图象与x轴的交点坐标为．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查一次函数的应用，关键是根据题意列出解析式．
根据题意，结合获得的利润减去退回去报纸的费用即为获得的利润，列出关系式即可．
【详解】解：根据题意得，
，
故答案为：．
18．（1）k＝；（2）d＝t+3；（3）(1，)
【分析】（1）根据题意先求出点A，B的坐标，依据三角形面积列方程求解即可；
（2）先根据两直线平行时，其解析式一次项系数相等，求出直线PC的解析式，进而求出点C的坐标，即可得到答案；
（3）在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，过点B作BHPF交OD于H，证明△BHD和△FGO，过点D作DT⊥y轴于T，设D（m，m+3），根据题意建立方程求解．
【详解】解：（1）∵直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点A、点B，
∴A（﹣，0），B（0，3），
∴OA＝|﹣|，OB＝3，
∴S△ABO＝ OA OB＝×|﹣|×3＝||，
∵S△ABO＝9，
∴||＝9，
解得：k＝±，
∵由题图知k＞0，
∴k＝；
（2）∵PCAB，P（t，0），
设直线PC的解析式为y＝x+n，
则0=t+n，
∴n=-t，
∴直线PC的解析式为y＝x﹣t，
令x＝0，得y＝﹣t，
∴C（0，﹣t），
∴BC＝3﹣（﹣t）＝t+3，
∵线段BC的长为d，
∴d＝t+3；
（3）如图3，在y轴的负半轴上取一点F，使FO＝BO＝3，连接PF，延长DO交PF于点G，
∵BF⊥PO，FO＝BO，
∴BP＝PF，
设∠BOD＝α，∠PBO＝β，
∵∠BPC＝2∠BOD，
∴∠BPC＝2α，∠OFG＝∠PBO＝β，∠GOF＝∠BOD＝α，
∠PGE＝∠PFO+∠GOF＝α+β，
∵∠BCE＝∠PBO+∠BPC＝∠BOD+∠PEO，
∴β+2α＝α+∠PEO，
∴∠PEO＝α+β，
∴∠PEO＝∠PGE，
∴PE＝PG，
过点B作BHPF交OD于H，
∴∠BHD＝∠PGE，∠BHO＝∠FGO，
∵PCAB，
∴∠BHD＝∠PEO，
∴∠BHD＝∠BDH，
∴BD＝BH，
在△BHO和△FGO中，
，
∴△BHO和△FGO（AAS），
∴GF＝BH＝BD，
∵BP﹣PE＝，BP＝PF，PE＝PG，
∴PF﹣PG＝，
即GF＝，
∴BD＝，
过点D作DT⊥y轴于T，设D（m，m+3），且m＞0，则TD＝m，
TB＝TO﹣BO＝m+3﹣3＝m，
在Rt△BTD中，TD2+BT2＝BD2，
即m2+（m）2＝（）2，
解得：m1＝1，m2＝﹣1，
当m＝1时，m+3＝×1+3＝，
∴D(1，)．
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于A，B两点，则可得，求解即可；
（2）首先解方程，利用表示出和的长，根据，列方程求得m的值，进而得出解析式．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，
∴，即，
整理得：，
解得：；
（2）∵直线经过点A并与y轴交于点D，
令，则，
∵，
∴抛物线的两个交点为：，
∵，m＜0
∴，
解得：（舍）或，
∴抛物线的解析式为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程以及一次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数与轴的交点的横坐标就是对应方程的根．
20．（1）-3、-1或4；（2）y随x的增大而增大．
【分析】（1）根据函数图像与x轴交点坐标可得；
（2）观察图像可得增减性．
【详解】解：（1）由图示知，当y=0时，x=-3、-1或4．
（2）由图示知，
当-2≤x≤1.5时，y随x的增大而增大．
【点睛】此题主要考查了函数的图象，利用图象得出正确信息是解题关键．
21．
【分析】将点M的坐标代入直线的解析式求得k的值，从而得到直线的解析式，然后分别令x＝0和y＝0，从而可求得对应的y值与x的值．
【详解】解：∵直线y＝kx 3经过点M（ 2，1），
∴ 2k 3＝1，解得：k＝ 2，
∴y＝ 2x 3，
当x＝0时，y＝ 3，
∴直线与y轴的交点坐标为（0， 3）．
当y＝0时， 2x 3＝0，解得：x＝，
∴直线与x轴的交点坐标为（，0）．
【点睛】本题主要考查的是一次函数图象上交点的坐标特征，掌握坐标轴上点的坐标特点是解题的关键．
22．(1)1500 ，900
(2)4，2700
(3)在整个上学途中，第12分钟到第14分钟这一时间段小明骑车速度最快，最快的速度是450米/分
(4)小明不买文具，以往常的速度去学校，需要花费7.5分钟时间
【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达文具店时间，离开文具店时间，根据有理数的减法，可得答案，根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度；
（4）根据路程、速度，即可得到时间．
【详解】（1）由题意可知，小明家到学校的距离是1500米，
1500-600=900（米）．
即文具店到学校的距离是900米．
故答案为：1500；900；
（2）12-8=4（分钟）．
故小明在文具店停留了4分钟．
1200+（1200-600）+（1500-600）=2700（米）．
故本次上学途中，小明一共行驶了2700米，
故答案为：4；2700；
（3）根据题中图象，可知第12分钟至第14分钟这一时间段的线段最陡，所以小明在第12分钟至第14分钟这一时间段的骑车速度最快，
此时速度为（米/分）；
（4）小明往常的速度为1200÷6=200（米/分），
去学校需要花费的时间为1500÷200=7.5（分钟）．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的应用，根据题意，能正确分析函数图象是解题关键．
（1）由图可设当时，y关于x的关系式为，根据待定系数法即可求解；
（2）根据图象可求出进水速度，同时打开一根进水管和一根出水管的速度，再用进水速度减去同时打开一根进水管和一根出水管的速度即可得到出水速度．
【详解】（1）解：设，
由图可知点在该段函数图象上，
，
，
∴当时，y关于x的关系式为；
（2）解：根据图象可得，进水速度为，
同时打开一根进水管和一根出水管的速度为：，
则出水速度为．
24．(1)1000，800
(2)30，50
【分析】本题考查一次函数的应用，从图形中获取信息是解题关键．
（1）直接从图中得出答案；
（2）结合图形，需要先求出此函数解析式，再求为零时的值．
【详解】（1）解：根据图象可得，水库原蓄水量是1000万立方米；
干旱持续10天，蓄水量为800万立方米，
故答案为：1000，800；
（2）解：根据图象可得持续干旱30天后，将发出严重干旱预报；
设与的关系式为，
由题意可得，
解得，
所以函数解析式为．
当时，，
解得．
持续干旱50天时，水库的水将干涸．
故答案为：30，50．
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