1.1探索勾股定理同步练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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1.1探索勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图是我国古代数学家赵爽为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A．勾股定理 B．三角形内角和定理
C．三角形全等 D．中心对称图形
2．如图，，点为边上的两点，且，连结，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．为了固定垂直于地面的木桩，工人们在木桩离地面高4米的点A拉了一根长5米的钢丝，另一头固定在地面的处（接头处长度不计），则点与木桩底部的距离应为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
5．如图，在中，已知，那么的长为（ ）
A． B． C．4 D．5
6．如图，在中，，D为上一点．若的面积为90，则的长是（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
7．如图，在等腰中，，，则高的长为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．12.5
8．如图，作，，；以A为圆心，以AC长为半径画弧，交斜边AB与点D；以B为圆心，以BD长为半径画弧，交BC与点E．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．李老师家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是，，，那么电梯内能放入下列木条中的最大长度是（ ）
A． B． C． D．
10．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（ ）
A．3 B．2 C．5 D．4
11．池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（ ）
A．3.75尺 B．3.25尺 C．4.25尺 D．3.5尺
12．一根30 m长的绳子，折成三段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长，比较长边短，则它是（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．无法判断
二、填空题
13．如图，已知点是正方形内的一点，连接，若，，，则的长为 ．
14．如图，正方形是边长为的正方形，点在轴上，点，在抛物线的图象上，则的值为 ．
15．如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了 步路，却踩伤了花草（假设2步为1米）．
16．如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中最大的正方形的面积为25，则正方形A，B的面积的和为
17．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米．
三、解答题
18．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”
大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？
19．如图，各边的长如图所示，求的面积．
20．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积．
21．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，示意图如下图所示．已知云梯最多只能伸长到，消防车高．救人时云梯伸长至最长，在完成从高的B处救人后，还要从高的D处救人．求这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离．
22．如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，．
(1)求小凳子的高度；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度．
23．1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．
24．某菜农修建一个塑料大棚（如图），若棚宽，高，长，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．
《1.1探索勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A B D C A C B
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】本题考查对勾股定理的证明，掌握“弦图”的作用是解题的关键．根据“弦图”是解决勾股定理的证明的解答即可．
【详解】解：∵“弦图”是利用面积关系证明勾股定理的，
∴“弦图”解决的数学问题是：勾股定理．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．
利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判断各个结论的正确性即可．
【详解】解： ，，
，
在与中，
，
，故①正确；
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
在中，，
，故③正确；
，
，
，
，
在中，，
，
，故④正确；
由题干条件无法证明出，
综上所述，其中正确的有①③④，共3个．
故选C．
3．C
【分析】过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，根据勾股定理求出AM，根据垂径定理求出AB，进而得到答案．
【详解】解：过点M作AB⊥OM交⊙O于点A、B，连接OA，
则AM＝BM＝AB，
在Rt△AOM中，AM＝＝＝，
∴AB＝2AM＝，
则≤过点M的所有弦≤8，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共三条，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂直于选的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧是解题关键．
4．A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵
∴，
在中，米，米。
∴，
米 ，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了三角形面积公式及勾股定理，根据为中上的高及面积，可得，再利用勾股定理可求得，即可求解．
【详解】解：∵，的面积为90，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，然后在中由勾股定理计算的长即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴在中，
故选：C
8．A
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据圆的定义可求得AD=AC，BE=BD即可求解．
【详解】解：∵，，
∴AC=3，
在中，，由勾股定理得：
，
由题意，AD=AC=3，BE=BD=AB－AD=－3，
∴CE=BC－BE=6－（－3）=9－，
故选：A．
【点睛】本题考查圆的定义、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答的关键．
9．C
【分析】本题考查了勾股定理．电梯是个长方体，电梯中能放下的最大长度就是长方体对角线的长度，连接、构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如下图所示，
电梯中能放下的最大长度就是线段的长度，
，
，
，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理．
直接利用勾股定理求解．
【详解】解：正方形A的边长为，
故选：B．
11．A
【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，设水深为x尺，则荷花茎长为尺，根据题意，利用勾股定理列方程解答即可．
【详解】设池塘深为尺，
则，
解得，
故选：A．
12．B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、勾股定理等知识点，根据题意列出方程、求出三边是解题的关键．
设“其中一条边”的长为，再根据意义列一元一次方程，进而求得三边，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：设“其中一条边”的长为，则有，
解得：．
故三边长分别为5，12，13，
∵，
∴它为直角三角形．
故选B．
13．
【分析】根据题意，将绕点顺时针旋转得，可得是等腰直角三角形，再根据，可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，正方形，，
∴将绕点顺时针旋转，则与重合，得，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，，
∴，即，且，
∴在中，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，掌握旋转的性质，正方形的性质，直角三角形的勾股定理是解题的关键．
14．//
【分析】连接AC，交y轴于点D，先根据正方形的性质可证得CD＝OD，∠ODC＝90°，进而设CD＝OD＝x，利用勾股定理可求得点C的坐标，再将点C坐标代入即可求得答案．
【详解】解：如图，连接AC，交y轴于点D，
∵四边形OABC是边长为的正方形，
∴CD＝AC，OD＝BD，AC＝BD，AC⊥BD，
∴CD＝OD，∠ODC＝90°，
∴设CD＝OD＝x，
又∵OC＝2，
∴在RtODC中，，
即：，
解得：（舍负），
∴CD＝OD＝，
又∵点C在第四象限，
∴点C的坐标为（，－），
将点C（，－）代入，
得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用以及待定系数法求二次函数解析式，根据正方形的性质求得点C的坐标是解决本题的关键．
15．
【分析】根据勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意得，“路”的长度，即步，
是步，是步，共步，
∴少走了步，
故答案为：步．
【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．
16．25
【分析】本题主要考查了勾股定理弦图，熟练掌握勾股定理的几何意义是解题的关键．
根据勾股定理的几何意义即可解答．
【详解】解：根据勾股定理的几何意义可得：
正方形A，B的面积的和=最大正方形的面积=25．
故答案为：25．
17．540
【分析】本题考查了勾股定理在实际问题中的运用，由勾股定理计算过了秒，飞机飞行的水平距离，再用速度路程时间解答即可．
【详解】解：飞机飞行的距离为：米，
∴飞行的速度为千米/时，
故答案为：540．
18．门的高为9尺6寸，宽为2尺8寸
【分析】设门高x尺，则宽为尺，根据勾股定理列方程解答．
【详解】解：设门高x尺，则宽为尺，
根据题意，得．
整理，得．
解得（不合题意，舍去）．
【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理，正确理解题意利用勾股定理列出方程是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了勾股定理；先利用勾股定理列方程求出，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，
解得，
所以的面积．
20．
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理可求出正方形F和正方形G的边长，进而可求出正方形E的边长，再根据正方形面积计算公式可得答案．
【详解】解：如图所示，∵正方形A，B的边长分别为12，16，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴正方形F的边长为20，
同理可得正方形G的边长为，
∴正方形E的边长为，
∴正方形E的面积为．
21．消防车从处向着火的楼房靠近的距离为
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，根据勾股定理得到和，于是得到结论．
【详解】解：在中，因为，
所以，
所以．
在中，因为，
所以，
所以，
所以．
故消防车从处向着火的楼房靠近的距离为．
22．(1)．
(2)
【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可；
（2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）解：过A作垂直于墙面，垂足M，
根据题意可得，，
在中，，
即凳子的高度为．
（2）解：延长交墙面于点N，可得，
设cm，则，，，
在中，，即，
解得，则．
【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答．
23．．
【分析】利用勾股定理和垂径定理解答．
【详解】解：如图，∵,拱桥的跨度AB＝37.4m，拱高CD＝7.2m，
∴AD＝AB＝18.7m，
∴AD2＝OA2 （OC CD）2，即18.72＝AO2 （AO 7.2）2，
解得AO≈27.9m．即圆弧半径为27.9m．
答：桥拱所在圆的半径为27.9m．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，注意数形结合思想与方程思想的应用．
24．
【分析】本题考查勾股定理的应用，首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即是长方形的宽，再根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】解：米，
∴塑料薄膜的面积为．
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