1.2一定是直角三角形吗同步练习（含解析）北师大版数学八年级上册

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1.2一定是直角三角形吗
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，求的最小值为（ ）
A．5 B．4.8 C．2.4 D．4
2．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图4，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）．
A．、、 B．、、 C．、、 D．、、
4．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．7，12，13 B．3，4，5 C．1，2，3 D．5，12，14
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．5，12，11 B．6，8，10
C．， 2， D．15，17，18
6．已知是的弦，若，，则所对的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．1，1，2 B．3，4，5
C．5，12，13 D．7，24，25
8．下列给出的四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，，
9．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．6，8，10 B．6，8，12 C．5，6，11 D．5，12，14
10．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上，则（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
12．由下列各组线段组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．2，3，5
二、填空题
13．一个三角形花坛的三边长分别为，，，则这个花坛的面积是 .
14．如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则 ．
15．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，于，则的长为 ．
16．如图，△ABC的顶点是正方形的格点，则sin∠BAC的值为
17．如图，分别以的三边为直径向三角形外作半圆，图中有阴影的三个半圆的面积的关系为，则是 三角形．
三、解答题
18．如果三条线段长a，b，c满足，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
19．已知a，b，c是的三边长，，且，试判断的形状．
20．已知⊙O的半径为2，弦，，求的度数．
21．如图，在四边形中，时，，．
(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．
22．如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A，B ( -1，0 ) 两点，交y轴于点D．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标，
(2)判断△ACD的形状，并求出△ACD的面积．
23．在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积．
24．如图1，在的正方形方格中，的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．

(1)的值为____________；的度数为____________；
(2)请在图2的两个的正方形方格中分别画出与不全等的和，要求所画的三角形各顶点都在小正方形的格点上，且．
《1.2一定是直角三角形吗》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B B D A D A C
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】本题考查勾股定理逆定理，垂线段最短，矩形的判定和性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．连接，利用勾股定理逆定理推出，证明四边形为矩形，进而得到，结合垂线段最短得到当于点时，最小，即最小，再结合等面积法求解，即可解题．
【详解】解：连接，
在中，，，，
又，即，
，
于E，于F，
，
四边形为矩形，
，
当于点时，最小，即最小，
有，
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：D．
3．B
【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
【详解】解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知每条边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
根据勾股定理逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A．最长边为13，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意；
B．最长边为5，，，，故能构成直角三角形，符合题意；
C．最长边为3，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D．最长边为14，，，，故不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：B．
5．B
【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．
根据勾股数的定义，三个正整数满足两个较小数的平方和等于最大数的平方，即为勾股数．逐一验证各选项即可．
【详解】解：A．，而 ，故不是勾股数，不符合题意；
B．，而 ，故是勾股数，符合题意；
C．，均非正整数，故不是勾股数，不符合题意；
D． ，而 ，故不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查的是圆的有关性质及勾股定理，由题意得，，根据勾股定理求得，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，
，
所对的圆心角的度数为
故选：D
7．A
【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、，故不是勾股数，符合题意；
B、，故是勾股数，不符合题意；
C、，故是勾股数，不符合题意；
D、，故是勾股数，不符合题意；
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了勾股数的定义，准确理解其定义是解题的关键．
根据勾股数的定义，需满足三个正整数且满足（为最大数）．
【详解】解：A：，，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；
B：三个数必须为正整数，不符合要求，故该选项不合题意；
C：，，均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；
D：，，满足勾股数的定义，故该选项符合题意．
故选：D．
9．A
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【详解】解：A. 62+82=102，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B.62+82≠122，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C.52+62≠112，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D.52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
10．C
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，根据正弦的定义计算即可．
【详解】连接，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴△BCD是直角三角形，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
11．C
【分析】连接AC，根据勾股定理可求AC，BC，AB，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是等腰直角三角形，从而可求∠ABC．
【详解】解：连接AC，如图所示：
根据勾股定理可得：AC＝BC＝，AB＝，
∵，即AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是得到△ABC是等腰直角三角形．
12．B
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴长为3，4，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为3，4，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为2，3，5的三条线段不可以组成三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
13．84
【分析】根据得到三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式解答即可.
本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的面积，熟练掌握定理是解题的关键.
【详解】解：由，
故该三角形是直角三角形，
故直角三角形的面积为，
故答案为：84.
14．90°
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，然后在△ACD中，根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD是直角三角形，进而求出∠ACD的度数．
【详解】∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，
∴在Rt△ABC中，
由勾股定理得：cm，
在△ACD中，
∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
即：∠ACD=90°．
故答案为：90°．
【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15．4
【分析】根据勾股定理计算BC的长，再利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】由勾股定理得：，，，
，
是直角三角形，，，，，
，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查勾股定理和直角三角形斜边高的求法，掌握这些是本题关键．
16．
【分析】找到方格点D，连接CD，由直角三角形逆定理得出三角形ADC为直角三角形，然后根据正弦函数的定义求解即可．
【详解】：找到方格点D，连接CD，
根据题意可得：AD2=12+12=2，，
AC2=12+32=10，，
CD2=22+22=8，，
∴AD2+ CD2=AC2，
∴∠ADC=90°，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查勾股定理及其逆定理，求角的正弦等，理解题意，找准直角三角形求解是解题关键．
17．直角
【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据圆的面积公式，结合题意求出是解题关键．分别求出，再结合，即可得出，说明是直角三角形．
【详解】解：∵，，，
又∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角．
18．是，见解析
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】由，可得，
根据勾股定理的逆定理可判定是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
19．直角三角形
【分析】本题主要考查的就是比例的性质以及直角三角形的判定．设，可以根据求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状，
【详解】解：设，
则，，．
因为，
所以．解得．
所以，，．
因为，，
所以．
所以为直角三角形．
20．的度数为或
【分析】本题考查等边三角形和等腰直角三角形．解题的关键是根据题意作出图形，利用等边三角形的判定和性质得到，然后根据狗狗股定理的逆定理得到，进而得到即可解题．
【详解】①如答图①，连接，，．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
②如答图②，同理得，，
∴．
综上，的度数为或．
21．(1)
(2)33
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，三角形面积，利用勾股定理的逆定理证明是解题的关键．
（1）连接，利用勾股定理求出，得到，再结合勾股定理逆定理，推出，即可解题；
（2）根据三角形面积公式求解，即可解题．
【详解】（1）解：连接，在Rt中，，
根据勾股定理，得，
，
，
为直角三角形，
即，
则；
（2）解：根据题意，得．
22．(1)，D点坐标为（0，3）
(2)△ACD是以AC为斜边的直角三角形，3
【分析】（1）先把抛物线解析式设为顶点式，代入点B坐标求出解析式即可求出点D的坐标；
（2）先求出点A的坐标，然后利用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，据此求解即可；
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为，
∵与轴交于点B（-1，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
∵抛物线交y轴于点D，
∴D点坐标为（0，3）；
（2）解：由顶点C坐标(1，4)可知对称轴是直线x=1，点B(-1，0)和点A是对称点，
∴点A(3，0)，
，
∴△ACD是以AC为斜边的直角三角形．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与y轴的交点，勾股定理的逆定理，两点距离公式，三角形面积等等，正确求出抛物线解析式是解题的关键．
23．114
【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．
直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定，然后再求面积即可．
【详解】解： ，即，
在中，，
又在中，，
是直角三角形，且，
的面积为：，的面积为：，
四边形的面积为．
24．(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查了网格作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题即可；
（2）构造直角边的比是的直角三角形即可．
【详解】（1）解：，，，
，，
．
故答案为：，；
（2）解：如图，和即为所求．

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