课件33张PPT。15.3.1 等腰三角形1.等腰三角形及其相关概念 . 2.等腰三角形的性质 .3.等腰三角形的概念及性质的应用.下载图片共同特点等腰三角形你知道什么是等腰三角形吗？有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边AB和AC叫做腰；
另一条边BC叫做底边；
两腰所夹的角∠BAC叫做顶角；
底边与腰的夹角∠ABC和∠ACB叫做底角.如图，△ABC中，AB=AC，那么△ABC就
是等腰三角形.
只有等腰三角形才有底角和底边.如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD，请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？△ABC（AB=AC），△ADB（AD=BD）若将条件改为AB=AC ，AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？△ABC（AB=AC）
△ADB（AD=BD）
△BDC （BD=BC）心灵手巧材料: 剪刀、一张矩形纸方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折；
（2）剪去阴影部分； （3）将剩余部分展开.
大胆猜测 请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形
纸片，它除了两腰相等以外，你还能发
现什么？ABC 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，我们就说这个图形关于这条直线对称，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.互相重合的点是对应点，叫做对称点.返回设问：你发现了什么现象， 猜一猜猜想等腰△ABC有哪些性质？ 角: ① ∠B = ∠C
② ∠BAD=∠CDA
③∠ADC= ∠ADB=900
边: ④BD = CD → 两个底角相等
→ AD为顶角∠BAC的平分线
→ AD为底边BC上的高
→ AD为底边BC上的中线
结论: 等腰三角形是轴对称图形；
等腰三角形性质
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.（可简记为“三线合一”）证明： 取BC的中点D连接AD.
在△BAD和△CAD中，AB=AC ( 已知 )，BD=CD ( 辅助线作法 )，AD=AD (公共边) ，∴ △BAD ≌ △CAD (SSS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.D证明：等腰三角形的两个底角相等作底边中线证明：作顶角的平分线AD. 在△BAD和△CAD中，AB=AC ( 已知 )，∠ 1= ∠ 2 ( 辅助线作法 )，AD=AD (公共边) ，∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.12证明：等腰三角形的两个底角相等作顶角的平分线D证明： 作底边高线AD.
AB=AC ( 已知 )，AD=AD (公共边) ，∴ Rt △BAD ≌ Rt △CAD (HL).∴ ∠ B= ∠C (全等三角形的对应角相等).已知： △ ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.D证明：等腰三角形的两个底角相等作底边的高线在Rt△BAD和△RtCAD中，等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一） 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠B=80° ，则∠C= ___度，∠A=____度？∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵∠B=80° （已知）
∴∠C=80°
又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ）
∴∠A=180°－ ∠B－∠C
∠A=20°等腰三角形的性质
1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）
操练1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且∠ A=50° ，则∠B=——度，∠C=——度？∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）又∵∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和为180° ）
∠A=50° （已知）
∴∠B=65°
∠C=65°
性质应用例2如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：∠A和∠C的度数．解：AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD(等边对等角)．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°．3.已知：如图，∠AOB=15?，并且OA=AB=BC=CD.
求证：∠1的度数.课内练习解：
∵OA=AB=BC=CD，
∴△OAB、△ABC、△BCD是等腰
三角形，
∵∠AOB=15?，∴∠ABO=15?，
∴∠CAB=∠AOB+∠ABO=30?，
∴∠CBD=∠AOB+∠ACB=45?，
∴∠BCD=90?，
∴∠1=180?-30?-90?=60?.4.已知：如图，AB=AC，AB的垂直平分线ED交AC于点D，∠A=40?.
求证：∠DBC的度数.课内练习解：
∵AB=AC，∠A=40?，
∴∠ABC=70?，
∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴∠ABD=∠A=40?，
∴∠DBC=70?- 40?=30?.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.“三线合一”练习1.判断下列语句是否正确.（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（ ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个
内角也为60°. （ ）
（3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）××3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A．30° B．150° C．30°或150° D．120°1．△ABC中，AB=AC，∠A=70°，则∠B=______ 2．等腰三角形一底角的外角为105°，那么它的顶角为______度 C55° 30 2. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD ⊥BC，已知BD=2cm，求DC=___cm， BC=___cm？∵ AB=AC ，AD ⊥BC（已知）
∴BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合）
即（等腰三角形三线合一）
∵BD=2cm（已知）
∴CD=2cm3.已知AD⊥ BC，试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量.∠B=∠C
∠1=∠2
∠BDA=∠CDA=90°
BD=CD1．（2010．江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( )
A． 8 B． 7 C． 4 D． 3．2． (2010．宁波) 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有（ ）
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 AB⒈等腰三角形一个底角为70°，它的顶角为______.⒉等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为
__________________.⒊等腰三角形一个角为110°，它的另外两个角为_______.① 顶角+2×底角=180°② 顶角=180°－2×底角③ 底角=（180°－顶角）÷2④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°结论:在等腰三角形中，40 °35 °，35 °70°，40°或55°，55° 4. 根据等腰三角形的性质，在△ABC中， AB=AC时， (1) ∵AD⊥BC，∴∠_____ = ∠_____，____= ____. (2) ∵AD是中线，∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.(3) ∵AD是角平分线，∴____ ⊥____ ，_____ =_____.BADCADCADBDCDADBCBDBADBCADCD5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等.请说明理由.解：相等，理由如下：
连接AD
在△ABC中，
∵AB=AC，D为ＢC中点
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF通过本节课的学习，你有哪些收获？性质1：等边对等角性质2：“三线合一”常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数．研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线． 等 腰 三 角 形性质应用教材
P123练习第1、2、3题
P136练习1、2、3、4题
P139练习15.3第1题再见《15.3.1等腰三角形》教案
教材分析
本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是对三角形的性质的呈现.教材通过学生对等腰三角形的叠合操作，得出等腰三角形的轴对称性，给出了等腰三角形的性质1，并对性质1进行了证明，从性质1的证明过程中，得出等边三角形性质及等腰三角形性质2，这里“等边对等角是今后证明两角相等常用方法之一，而等腰三角形的“三线合一”是今后证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据.
教学目的
1、经历操作、发现、猜想、证明的过程，培养学生的逻辑思维能力；
2、掌握等腰三角形的性质及其两个推论；
3、运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.
教学重难点
重点是等腰三角形的性质定理及其证明；难点是“三线合一”的理解及例1的讲解.
难点是对等腰三角形性质的应用.
教学方法
直观教学发现法和启发诱导教学法，与学生实践操作、合作探究.
教具
长方形纸片、剪刀、自制等腰三角形纸片.
教学过程
一、创设情景，引入新知
活动1：请同学们把一张长方形的纸片对折，剪去(或用刀子裁)一个角，再把它展开，得到的是什么样三角形？
教师示范操作，然后学生跟着动手操作，观察得出结论：“剪刀剪过的两条边是相等的；剪出的图形是等腰三角形”，根据学生回答，板书：等腰三角形.
师生共同回顾：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.
教师提问：剪出的三角形是轴对称图形吗？你能发现这个三角形有哪些特点吗？说一说你的猜想.
学生思考并发表自已的看法，教师提出本节课所要解决的问题.
师生归纳：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴(板书).
教师说明：对称轴是一条直线，而三角形的中线是线段，因此不能说等腰三角形底边上的中线是它的对称轴.
二、交流，探索新知
活动2：教师出示刚才剪下的等腰三角形纸片，标上字母如图所示：
把边AB叠合到边AC上，这时点B与C重合，并出现折痕AD，观察图图形，△ADB与△ADC有什么关系？图中哪些线段或角相等？AD与BC垂直吗？为什么？
学生回答：△ADB与△ADC重合，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠CDA，BD=CD
活动3：由上面的性质我们可以得到等腰三角形如下性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角(板书).
教师提问：这个命题的题设是什么？结论是什么？学生可结合图形回答.
(板书)已知：在△ABC中，AB=AC
求证：∠B=∠C
说明：将等腰三角形写成已知时，通常写成“在△ABC中，AB=AC”而不写成“等腰”两个字.
教师引等学生回答：要证两个角相等可以转化前面所学过的三角形全等，而图形只有一个三角形，如何添加辅助线使它转化为两个三角形？
通过刚才的折叠等腰三角形的实验，很容易得到辅助线，作高AD或作顶角的平分线AD，可由两位学生板演，教师巡视，并给订正.
同学们思考一下，还有没有其它辅助线的作法，教师可作提示：作中线AD，由学生口答，或者指导学生看课本证明.
教师归纳等腰三角形性质1，并指出它的几何符号语言的书写：
如上图：∵ AB=AC(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
教师提出问题：练习1(口答)
1、等腰直角三角形每一个锐角的度数是多少度？
2、如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是多少？
3、如果等腰三角形的顶角是40°，那么它的底角的度数是多少？
4、如果等腰三角形的一个角是40°，那么其它的两个角各是多少度？
5、如果等腰三角形的一个内角是120°，则其它的两个角各是多少度？
6、等边三角形各内角有什么关系？各等于多少度？
要求学生完成教师提出的问题，教师归纳：
(1)等腰三角形中顶角与底角的关系：顶角十2×底角=180°
(2)推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°(板书)
教师与学生合作分析，口述(2)的证明过程.
活动4：提出问题：从性质1的证明过程可以知道，BD=CD，
∠ADB=∠ADC=90°，由此，你能得出等腰三角形还具有什么性质？
让学生运用数学语言表述所发现的规律，师生共同归纳得出：
性质2：等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边(板书).
即：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
三线合一(板书).
活动5：教师出示课本例1(小黑板显示).
例1如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是底边的两点，且BD=AD，CE=AE，求∠DAE的度数.
分析例1，剖析推理方法及依据，提出讨论问题，引导学生思考，根据学生回答教师板书例1过程，解略.
例2如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：∠A和∠C的度数．
根据等边对等角的性质，我们可以得到
∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，
再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A．
再由三角形内角和为180°，就可求出△ABC的三个内角．
如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．
解：因为AB=AC，BD=BC=AD，
所以∠ABC=∠C=∠BDC．
∠A=∠ABD(等边对等角)．
设∠A=x，则
∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x．
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，
解得x=36°．
在△ABC中，∠A=35°，∠ABC=∠C=72°．
三、强化练习，巩固新知
练习2：课本练习第3(出示小黑板)
如图，在ABC中，AB=AC
(1)∵AD⊥BD，∴∠______ = ∠_____； ______ = ______(等腰三角形底边上的高与______、______重合)
(2)∵AD是中线∴_____ ⊥_____；∠_____= ∠_____(等腰三角形底边上的中线与_____、_____重合)
(3)∵AD是角平分线∴____ ⊥ ____；____= ____(等腰三角形顶角的平分线与______、_____重合)
四、师生互动，总结新知
请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
师生活动：学生思考后，用自己语言归纳，教师适时点评，并关注以下几个问题：1、等边对等角；2、等腰三角形三线合一；3、等边三角形性质；4、等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线).
五、作业设计，强化新知
课本P134练习第2题，P136练习1、2、3、4题
习题15.3第1题.
《15.3.2等腰三角形的判定》习题
1、如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D，E，若∠BAC+∠DAE=150°，
则∠BAC的度数是( ).
A.105° B.110°
C.115° D. 120°
2、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是 .
3、一个等腰三角形的周长是12，且三长边长都是整数，则三角形的腰长是 .
4、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
5、Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是( )
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
《15.3.1等腰三角形》习题
1．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，
(1)∵AD平分∠BAC ∴ ＝ ； ⊥ ；
(2)∵AD是中线 ∴∠ ＝∠ ； ⊥ ；
(3)∵AD⊥BC ∴ ＝ ；∠ ＝∠
2．在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论不正确的是( )
(A)∠ACD=∠B (B)CH＝CE＝EF (C)CH＝HD (D)AC＝AF
3、已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AD＝AC，AD与BC相交于E，∠CAD＝30°，
求∠BCD和∠DBC的度数.
4、△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝AE，BC=BF，求∠ECF的度数.
5．已知：如图：△ABC中，AB=AC，在AB上取一点D，在AC延长线上取一点E，连结DE交BC于点F，若F 是DE中点，求证：BD=CE.
课件14张PPT。等腰三角形1.等腰三角形的两腰相等；2.等腰三角形的两个底角相等，（简称“在同一个三角形中，等边对等角”）
3.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）4.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的中垂线.思考 : 1.如图:ΔABC中，已知AB=AC∠ B= ∠ C（在同一个三角形中，等边对等角）．２、反过来：在ΔABC中，∠ B= ∠ C，AB=AC成立吗？ABC已知：⊿ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：∴ ⊿ADB≌ ⊿ADC（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边
相等）过A作ADBC，D为垂足，
∠ADB= ∠ADC=90 °.
在⊿ADB和⊿ADC中
∴∠B= ∠C
∠ADB= ∠ADC
AD= AD
已知在一个三角形中，等角对等边 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形. 在△ABC中， ∵∠B=∠C ( ) ∴ AC=AB. ( )用符号语言表示为：这又是一个判定两条线段相等根据之一.
推论1:证明已知：如图，⊿ABC中， ∠ A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC
证明：在⊿ABC中
∵ ∠ A=∠B（已知）
∴BC=CA（等角对等边）
同理CA=AB
∴BC=CA=AB
推论1.三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：证明问题：如果一个等腰三角形中有一个角是60°，那么这个三角形是什么三角形？第一种情况：当顶角是60度时.
第二种情况：当底角是60度时.已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠ A=600.
求证：AB=AC=BC证明： ⊿ABC中
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ ∠ A=600
∴ ∠B=∠C = 600
∴AB=AC=BC
已知： ⊿ABC中，AB=AC， ∠B=600.
求证：AB=AC=BC证明： ⊿ABC中
∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C （等边对等角）
∵ ∠ B=600
∴ ∠C = 600
∴∠ A=600
∴AB=AC=BC
推论2.
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形 如图：△ABC是直角三角形，其中，∠C＝90°∠A＝30°，若延长BC到点D，使BC＝DC，则△ABD是等边三角形.则AB＝BD＝AD＝2BC. ABDC30°推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
300 问：如图，下列推理正确吗？ （等角对等边）（等角对等边）错，因为都不是在同一个三角形中.有两边相等的三角形是等腰三角形.2.等边对等角，3. 三线合一.4.是轴对称图形.2.等角对等边，1.两边相等.1.两腰相等. 作业
1、练习1、2、3
2、习题15.3的2、3、4题课件2张PPT。已知：如图，点D，E在△ABC的底边BC上，AB=AC，AD=AE.
求证：BD=CE.解：
∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE.课件2张PPT。已知：如图，∠AOB=15°，并且OA=AB=BC=CD.求证：∠1的度数.解：
∵OA=AB=BC=CD，
∴△OAB、△ABC、△BCD是等腰三角形，
∵∠AOB=15，∴∠ABO=15°，
∴∠CAB=∠AOB+∠ABO=30°，
∴∠CBD=∠AOB+∠ACB=45°，
∴∠BCD=90°，
∴∠1=180°－30°－90°=60°.
