2024-2025学年河北省秦皇岛市安丰县高二（下）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省秦皇岛市安丰县高二（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机事件A，B，C中，A与B相互独立，B与C对立，且P（A）=0.3，P（C）=0.6，则P（A∪B）=（　　）
A. 0.4 B. 0.58 C. 0.7 D. 0.72
2.已知数据4x1+1，4x2+1，…，4x10+1的平均数和方差分别为4，10，那么数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为（　　）
A. -1， B. 1， C. 1， D. ，
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为，若△ABC有两解，则b的取值范围是（　　）
A. （3，6） B. C. D.
4.已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）
A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π
5.点（0，-1）到直线y=k（x+1）距离的最大值为（　　）
A. 1 B. C. D. 2
6.若直线l1：y=kx-与l2：2x+3y-6=0的交点M在第一象限，则l1的倾斜角的取值范围是（　　）
A. （30°，60°） B. （30°，90°） C. （45°，75°） D. （60°，90°）
7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
8.△ABC的顶点A（4，3），AC边上的中线所在的直线为4x+13y-10=0，∠ABC的平分线所在直线方程为x+2y-5=0，求AC边所在直线的方程（　　）
A. 2x-3y+1=0 B. x-8y+20=0 C. 3x-5y+3=0 D. x-y+1=0
9.已知A(2，3)，B(-1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则最大值为 （ ）
A. 1 B. C. D. -3
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.已知直线l1：x+ay-a=0和直线l2：ax-（2a-3）y-1=0，下列说法正确的是（　　）
A. 直线l1始终过定点（0，1） B. 若l1∥l2，则a=1或a=-3
C. 若l1⊥l2，则a=2 D. 当a＞0时，l1始终不过第三象限
11.给出下列命题正确的是（　　）
A. 直线l的方向向量为=（3，-1，2），平面α的法向量为，则l与α平行
B. 直线（m-1）x+（2m-1）y=m-3（m∈R）恒过定点（5，-2）
C. 已知直线（a+2）x+2ay-1=0与直线3ax-y+2=0垂直，则实数a的值是
D. 已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
12.如图，棱长为2的正方体.ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有 （　　）
A. 动点F轨迹的长度为
B. 三棱锥B1-D1EF体积的最小值为
C. B1F与A1B不可能垂直
D. 当三棱锥B1-D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共2小题，每小题3分，共6分。
13.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围为______.
14.在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知.
（1）求角C的大小；
（2）若，且ab=8，求AB边上中线CT的长.
16.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E，F分别为CC1，BC的中点.
（1）求异面直线A1B与EF所成角的余弦值；
（2）求点B1到平面AEF的距离；
（3）求平面AEF与平面A1EB夹角的余弦值.
17.(本小题12分)
已知直线l：（a-1）y=（2a-3）x+1.
（1）求直线l所过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
（3）若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程.
18.(本小题12分)
2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求该样本的第75百分位数；
（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40，50），[50，60）各一人的概率.

19.(本小题12分)
如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，F为CD中点，点E在AB上，EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°.
（1）证明：A′B∥平面CD′F；
（2）求面BCD′与面EFD′A′所成二面角的正弦值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】AD
11.【答案】BD
12.【答案】ABD
13.【答案】
14.【答案】（-，+）
15.【答案】；
．
16.【答案】解：（1）由题意可知AB、AC、AA1两两垂直，
如图所示建立空间直角坐标系，
则A1（0，0，2），B（2，0，0），E（0，2，1），F（1，1，0），
即，
所以=，
即异面直线A1B与EF所成角的余弦值为；
（2）由（1）知：，
设面AEF的一个法向量为，
则由，，有，
取y=-1，可得x=1，z=2，即，
所以点B1到平面AEF的距离为；
（3）由（1）知：，
设面A1EB的一个法向量为，
则由，，有，
取c=2，可得b=1，a=2，即，
设平面AEF与平面A1EB夹角为α，
则cosα==，
即平面AEF与平面A1EB夹角的余弦值．
17.【答案】（1，2）；
；
2 x+y-4=0．
18.【答案】解：（1）根据频率分布直方图可得：
（0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10=1，解得：a=0.030；
∵0.1+0.15+0.15+0.3＜0.75，
0.1+0.15+0.15+0.3+0.25＞0.75
∴该样本的第75百分位数在区间[80，90）内，
∴设该样本的第75百分位数为x，
则可得方程：
0.1+0.15+0.15+0.3+（x-80）×0.025=0.75，
解得：x=82，
∴该样本的第75百分位数为82；
（2）∵45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3
+85×0.25+95×0.05=71，
∴估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为71；
（3）
采用分层抽样从[40，50）和[50，60）抽取5名同学，
∵0.1：0.15=2：3，
则应在成绩为[40，50）的学生中抽取2人，记为a，b，在成绩为[50，60）的学生中抽取3人，记为A，B，C，
再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学有如下（a,b），（a,A），（a,B），（a,C），（b,A），（b,B），（b,C），（A，B），（A，C），（B，C）共10种可能结果，其中在[40，50），[50，60）各一人的共6种；
∴所求概率，
则这2名同学分数在[40，50），[50，60）各一人的概率为．
19.【答案】证明过程见解析；
．
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