2024-2025学年江西省九江市九江一中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省九江一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知平面向量，，若⊥，则实数λ=（　　）
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为（　　）
A. B. C. D.
3.已知a,b是实数，则“3a＜3b＜1”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.唐山河头老街景区近期持续火爆出圈，甲、乙2人暑假来此地旅游的概率分别为，假定2人的行动相互没有影响，则暑假至少有1人来此地旅游的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.已知（1，2）是角α终边上一点，则tan2α=（　　）
A. - B. C. D.
6.如图，A，B是函数图象上的两个最高点，点C是f（x）图象上的一个对称中心，若△ABC为直角三角形，则φ=（　　）
A. B. C. D.
7.在△ABC中，的平分线交BC于点N，M为BC的中点.若AN=4，BC=6MN，则AM=（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（x）=6，f（5-x）-g（x-3）=2，若g（x）为奇函数，则使成立的n的最小值是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z1=（1-i）（2-i），z2=iz1，则（　　）
A. z1=1-3i B. C. |z1|=|z2| D. z2的虚部为1
10.下列关于函数的相关命题，叙述正确的有（　　）
A. f（x）的最小正周期为π
B. f（x）的一条对称轴为
C. f（x）的单调增区间为
D. 若时，函数g（x）=f（x）-k有两个不同零点，则
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A. 若FP∥平面ABC1D1，则P点运动轨迹长度为
B. 若，则P点运动轨迹长度为
C. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D. 三棱锥F-ABC的外接球表面积为81π
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.某校高一年级的学生共有800人，按性别进行分层，现用分层随机抽样的方法从该年段的学生中按比例分配抽取100人进行肺活量测试，这100人中有60人是女生，则该校高一年级女生共有______人.
13.若向量，满足||=1，||=2，|-|=2，则 =______．
14.已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线与高的夹角为，则此圆台的高为______，圆台的外接球的体积为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
记△ABC的面积为S，内角A，B，C'的对边分别为a,b,c,且顶点A，B，C均在半径为1的圆上.
（1）求的值；
（2）若，求cosAcosB.
16.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D是BC边的中点，∠A1CA=45°.
（1）求直三棱柱ABC-A1B1C1的体积；
（2）求证：A1C∥面AB1D.
（3）一只小虫从点A1沿直三棱柱表面爬到点D，求小虫爬行的最短距离.
17.(本小题12分)
已知向量，，设函数.
（1）写出函数f（x）的对称中心；
（2）若求函数f（x）的最值及对应的x的值；
（3）m∈[0，π]，若f（x+m）为奇函数，求m的值.
18.(本小题12分)
已知甲、乙两个袋子中各装有形状、大小、质地完全相同的3个红球和3个黑球，现设计如下试验：从甲、乙两个袋子中各随机取出1个球，观察两球的颜色，若两球颜色不同，则将两球交换后放回袋子中，并继续上述摸球过程；若两球颜色相同，则停止取球，试验结束.
（1）求第1次摸球取出的两球颜色不同的概率；
（2）我们知道，当事件A与B相互独立时，有P（AB）=P（A）P（B）.那么，当事件A与B不独立时，如何表示积事件AB的概率呢？某数学小组通过研究性学习发现如下命题：P（AB）=P（A）P（B|A），其中P（B|A）表示事件A发生的条件下事件B发生的概率，且对于古典概型中的事件A，B，有.依据上述发现，求“第2次摸球试验即结束”的概率.
19.(本小题12分)
设函数f（x）=cos-1.
（1）求函数y=f（x）在（0，10）上的单调区间；
（2）求证：函数φ（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点x0，并求[h（g（x0））]（[x]表示不超过x的最大整数，如[2.7]=2，[-3.2]=-4）.
参考数据：≈0.223.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】ACD
11.【答案】CD
12.【答案】480
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】；
．
16.【答案】解：（1）因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D是BC边的中点，∠A1CA=45°．
所以BC=10，，
所以直三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC AA1=144．
（2）证明：连接A1B∩AB1=E，连接DE，由矩形ABB1A1，得E是A1B的中点，而D是BC边的中点，
则DE∥A1C，又A1C 平面AB1D，DE 平面AB1D，
所以A1C∥平面AB1D．
（3）当小虫从点A1沿△A1B1C1爬到点D，把矩形ABB1A1与△A1B1C1置于同一平面内，如图，
连接A1D，过A1作A1F⊥BC于F，交B1C1于点O，
由BC∥B1C1，得A1O⊥B1C1，，，
，则，
因此；
当小虫从点A1沿正方形ACC1A1爬到点D，把正方形ACC1A1与△ABC置于同一平面内，
或把正方形ACC1A1与矩形BCC1B1置于同一平面内，如图，
在左图中，取AB中点G，连DG，显然B，A，A1共线，则DG∥AG，DG=AC=3，DG⊥AB，
而A1G=AA1+AG=10，因此，
在右图中，AD=AC+CD=11，；
当小虫从点A1沿矩形ABB1A1爬到点D，把矩形ABB1A1与△ABC置于同一平面内，
或把矩形ABB1A1与矩形BCC1B1置于同一平面内，如图，
在左图中，取AC中点H，连DH，显然C，A，A1共线，则DH∥AB，DH=AB=4，DH⊥AC，
而A1H=AA1+AH=9，因此，
在右图中，AD=AB+BD=13，，
显然，
所以小虫爬行的最短距离．
17.【答案】；
时，f（x）取得最大值1；时，f（x）取得最小值；
或．
18.【答案】解：设甲袋中的三个红球为1,2,3,三个黑球为a,b,c；
乙袋中的三个红球为4,5,6, 三个黑球为d,e,f.
(1)设第1次摸球对应的样本空间为，则n()=66=36.
设事件A="第1次摸球取出的两球颜色不同"，
则事件A={(1,d),(1,e),(1,f),(2,d),(2,e),(2,f),(3,d),(3,e),(3,f),(a,4),(a,5),(a,6),(b,4),(b,5),(b,6),(c,4),(c,5),(c,6)}, n(A)=18.
所以P(A)===.
(2)设两次摸球试验的样本空间为，则n()=3636.
在样本空间中,
设事件A="第1次摸球取出的两球颜色不同", 事件B="第2次摸球取出的两球颜色相同".
首先计算n(A)的值.
由(1)知,第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果, 且每个可能的结果对应的"第2次摸球中从甲、乙两袋中各一个球"均有36种可能取法，
所以n(A)=1836.
再计算n(AB)的值.
由(1)知,第1次摸球取出的两球颜色不同共有18个可能的结果.
不妨设第1次摸球中甲取出1、乙取出d(其余情况,同理可得)，
则第1次摸球结束后,甲袋中红球2个、黑球4个，乙袋中红球4个、黑球2个，
在接下来的第2次摸球中,当甲、乙两袋取出的球颜色相同时,共有24+42=16种取法,
故n(AB)=1816.
所以P(B|A)===.
因此P(AB)=P(A)P(B|A)==.
19.【答案】解：（1）令，解得-3+6k≤x≤6k,k∈Z，
令，解得6k≤x≤3+6k,k∈Z，
∴函数y=f（x）在（0，10）上的单调增区间是[3，6]和[9，10），单调减区间是（0，3]和[6，9]；
证明：（2）由（1）知y=f（x）在（0，3）上是减函数，y=g（x）在（0，3）上是增函数，
所以在（0，3）上是减函数，
又，
则y=φ （x）在（0，3）上有唯一零点，
当x＞3时，f（x）≤1，g（x）＞1，
所以，即y=φ（x）在（3，+∞）上无零点，
综上，y=φ（x）在（0，+∞）上有且只有一个零点x0．
∵，
∴，
∴，
∴[h（g（x0））]=0．φ
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