1.2 提公因式法 课时1 提单项式公因式 课件（共33张PPT） 2025-2026学年数学湘教版（2024）八年级上册

1.2 提公因式法
课时1 提单项式公因式
第1章 因式分解
1.了解公因式和提公因式的概念；
2.掌握找多项式中的公因式的方法；
3.掌握提单项式公因式法进行因式分解.
问题：整数 18，42，60 的最大公因数是什么？
18 = 6×3
42 = 6×7
60 = 6×10
6
思考：多项式 z2 + yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？
每一项中均有因式 z
z2 的因式是 z 和 z
yz 的因式是 y 和 z
说一说
分别说出式子 xy，3xz，xw中次数大于0的因式，其中有相同的因式吗？
可以看出，xy，3xz，xw 有相同的因式 x.
几个多项式的相同因式称为它们的公因式.
xy中次数大于0的因式有x，y；
3xz中次数大于0的因式有x，z；
xw中次数大于0的的因式有x，w.
问题1：如何把多项式xy+xz+xw因式分解？
xy+3xz+xw
提取公因式x
乘法分配律的逆用
=x·y+x·z+x·w
=x(y+z+w)
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法．
找 3 x 2 – 6 x y 的公因式.
系数：不考虑符号，找出最大公因数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指数：
相同字母的最低次数
1
问题2 :如何确定一个多项式的公因式？
问题3 :用自己的话概括正确找出多项式的公因式的步骤.
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即同字母的最低次数.
1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
例1 把 4x2－6x3 因式分解．
分析： 1. 定系数：多项式由 4x? 和 －6x3 这两项组成，它们的系数分别为 4，－6，不考虑其符号，则 4 与 6 的最大公因数是 2；
2. 定字母：这两项都含有字母 x，
3. 定指数： x 的最低次数为 2.
因此，可提出公因式 2x?.
解：4x2－6x3 = 2x?(2－3x).
例2 把 8x?y4－12xy?z 因式分解．
解： 8x?y4－12xy?z＝ 4xy? · 2xy?－4xy? · 3z
＝4xy?(2xy?－3z).
三名同学对多项式 2x?＋4x 进行因式分解，结果如下：
(1) 2x? + 4x = 2(x? + 2x)；(2) 2x? + 4x = x(2x + 4)；
(3) 2x? + 4x = 2x(x + 2).
上述结果正确吗？用提公因式法分解因式时，你认为应注意什么？
注意：公因式要提尽.
(1)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 x.
(2)错误. 理由：公因式没有提尽，还可以提出公因式 2.
(3) 正确.
议一议
解：5x?－3xy＋x＝x(5x－3y＋1).
注意：某项提出莫漏 1.
例3 把多项式 5x?－3xy＋x 因式分解.
分析： 1. 定系数：多项式由 5x?，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1；
2. 定字母：这三项都含有字母 x，
3. 定指数： x 的最低次数为1.
因此，可提出公因式x.
例4 把多项式 －3x?＋6xy－3xz 因式分解.
注意：首项有负常提负.
分析：多项式 －3x?＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解.
解：－3x?＋6xy－3xz = －(3x?－6xy＋3xz)
=－3x(x－2y＋z).
2. 确定公因式的方法：
一看系数，二看字母，三看指数.
1. 提公因式法分解因式步骤 (分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式.
3. 用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏项；
（3）多项式的首项取正号.
1.写出下列多项式各项的公因式
(1)4kx-8y (2)6m4+20m2 (3)a2b-2ab2+ab
ab
4
2m2
2.若对多项式6a-18ax进行因式分解，正确的选项（ ）
　A.6(a-3ax) 　 B.3a(1+3x)
　C.3a(2-6x)　　 D.6a(1-3x)
D
3.-4a3+4a2-16a分解因式是
A.-4a(a2-a+4) B.-a(4a2-4a+16)
C.a(-4a2+4a-16) D.-4(a3-a2+4a)
（ ）
A
4.因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a?－9ab；(3) －5a? + 25a.
解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).
(2) 3a?－9ab = 3a(а－3b).
(3) －5a? + 25a = －5a(a－5).
5.已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值.
解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.
1.2 提公因式法
课时2 提多项式公因式
第1章 因式分解
1.能准确找出多项式中的多项式公因式，并利用提公因式法把多项式因式分解.
2.经历提公因式法分解因式，培养分析、类比的思想，体会因式分解的应用价值.
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=___（a－2）； （2）y－x=___（x－y）；
（3）b+a=___（a+b）； （4）-m－n=___（m+n）；
（5）(a-b)3 = (-a+b)3
－
－
+
－
－
做一做 把下列多项式因式分解：
（1）????(?????2)?????(?????2)； （2）????(?????2)?????(2?????).
?
(2)????(?????2)?????(2?????)
=????(?????2)?????[??????2]
=?????????2+????(?????2)
=?????2(????+????)
?
第（2）题各项的公因式是多少呢？你发现式子有什么特点？
解：(1) ????(?????2)?????(?????2)=(?????2)(?????????)
?
?????????=?(?????????)
?
因式分解：
(1) 2a(b＋c)－3(b＋c)； (2) (a＋b)(a－b)－a－b.
(2) 原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b)
＝(a＋b)(a－b－1).
解：(1) 原式＝(2a－3)(b＋c).
例5 把多项式12????????2?????????2?18????2?????????????2因式分解.
?
解： 12????????2?????????2?18????2?????????????2
= 12????????2?????????2?18????2?????????????2
= 6?????????????????2?2?????6?????????????????2?3????
= 6?????????????????2?(2?????3????)
?
?????????2和?????????2有什么关系？
?
?????????????????=??????????????????
?????????????????2=?????????????????2
?????????????????3=??????????????????3
?????????????????4=?????????????????4
??
?????????????????2????=___________________________
?????????????????2????+1=___________________________
?
?????????????????2????
?
??????????????????2????+1
?
常用的恒等变形
例6 把多项式23x3 y - 103xy2因式分解.
?
分析：23=2×3，103=10×3，所以公因式的系数为23 .
?
解：23????3?????103????????2
= 23?????????????2?23?????????5????
= 23????????(????2?5????)
?
提公因式法步骤
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
整体思想是数学中一种重要且常用的思想方法.
议一议 将多项式 49 x3y2- 23 x2y3 因式分解，对比其他同学的答案，你们的结果一样吗？
?
解：49????3????2?23????2????3
=19(4????3????2?6????2????3)
=19????2????2(4?????6????)
?
化分为整：先提出一个分数因式，将各系数化为正整数
提多项式公因式法
注意
1. 分解因式是一种恒等变形；
2. 公因式要提尽；
3. 整项提出莫漏 1；
4. 提负号，要注意变号
公因式为多项式时：
1. 定系数：找多项式各项系数的最大公约数．
2. 定字母：找多项式各项相同的式子．
3. 定指数：相同式子的最低的次数.
1. 把多项式(x+2)(x-2)+(x-2)提取公因式(x-2)后，余下的部分是( )
A．x + 1 B．2x
C．x + 2 D．x + 3
D
2. 若9a2(x-y)2 -3a(y - x)3 ＝M · (3a+x-y)，则M等于___________.
3a( x - y )2
解：(1) a(m - 6) + b(m - 6)
3. 把下列各式因式分解：
(1) a(m - 6) + b(m - 6)； (2) 3(a - b) + a(b - a)；
= (m - 6)(a + b).
(2) 3(a - b) + a(b - a)
= 3(a - b) - a(a - b)
= (a - b)(3 - a).
(3) 4????2????(?????????)?6????????2(?????????)；
(4) 43????3 ???? ? 23????2 ????2；
?
解：原式= 2????????(?????????)·2?????2????????(?????????)·3????
?
= 2????????(?????????)(2?????3????).
?
解：原式=23????2 ????·2?????23????2 ????·????
?
= 23????2 ????(2?????????)
?
4.已知a－b－c=2，求a(a－b－c)+b(c－a+b)+ c(b+c－a)的值.
解：a(a－b－c)+b(c－a+b)+c(b+c－a)
=a(a－b－c)－b(a－b－c)－c(a－b－c)
=(a－b－c)2
因为a－b－c=2，所以原式=22=4.