1.3 课时2 利用完全平方公式进行因式分解 课件（共18张PPT）2025-2026学年数学湘教版（2024）八年级上册

1.3 公式法
课时2 利用完全平方公式进行因式分解
第1章 因式分解
1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活运用完全平方公式把多项式分解因式.
2. 能综合运用不同的方法分解因式，培养观察、比较以及运算能力.
1. 我们已学习过什么因式分解的方法？
提公因式法
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
2. 回顾完全平方公式：
(????+????)2=
(?????????)2 =
?
????2+2????????+????2
?
????2?2????????+????2
?
知识点一：用完全平方公式因式分解的多项式
上述公式中的 x，y，可以分别用任何数或任意多项式代入.
你能将x2＋4x＋4进行因式分解吗？
完全平方公式 (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2；
(x－y)2＝x2－2xy＋y2.
解：在完全平方公式中，将y用2代入得到等式：
????+22=????2+4????+4.
?
把这个等式从右到左使用，就可以把多项式????2+4????+4因式分解：
????2+4????+4=????+22.
?
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
完全平方公式分解因式:
整式乘法
(x±y)2=x2±2xy＋y2
因式分解
注意：公式中的x和y分别可以用数、单项式或多项式代入
例5 把多项式9x2 - 6x + 1因式分解.
分析：9x2 - 6x + 1符合完全平方公式右边的形式，于是把这个公式从右到左使用，就可把 9x2 - 6x +1因式分解.
(3????)2
?
12
2·3????·1
?
解： 9x2－6x＋1= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12
= (3x－1)2.
议一议 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？
可以用完全平方公式分解因式的多项式的特征：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
例6 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2.
知识点二：运用完全平方公式因式分解
这个多项式中的首项的系数是负数，怎么办？
提取负号时，要注意此时放进括号内各项都要改变符号.
解：(1) －4x2＋12xy－9y2
＝－(4x?－12xy＋9y?)
＝－[(2x)?－2·2x·3y＋(3y)?]
＝－(2x－3y)?.
例6 把下列多项式因式分解：
(1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2.
有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解
解：(2) x5＋2x3y＋xy2
＝x(x4＋2x?y＋y?)
＝x[(x?)?＋2·x?·y＋y?]
＝x(x?＋y)?.
例7 把多项式x4 - 2x2 + 1因式分解.
具有平方差公式的特点
解： x4－2x2＋1
＝(x?)?－2·x?·1＋1?
＝(x?－1)?
＝[(x＋1)(x－1)]?
＝(x＋1)?(x－1)?.
注意：因式分解中必须进行到每个因式都不能分解为止.
做一做 可以利用完全平方公式把多项式(????+????)2?4(????+????)+4因式分解吗？试一试.
?
一个整体
整体思想
解：(????+????)2?4(????+????)+4=(????+????)2?2·(????+????)·2+22
?
=(????+?????2)2
?
因式分解的步骤：
一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)；
二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；
三查：检查每个因式是否被分解彻底．
分解因式：
(1) - 3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) ( a2 + 4 )2 - 16a2.
＝( a2 + 4 + 4a )( a2 + 4 - 4a )
解：(1) 原式＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 )
＝ - 3a2( x - 4 )2.
(2) 原式＝( a2 + 4 )2 - ( 4a )2
＝( a + 2 )2( a - 2 )2.
完全平方公式分解因式:
1.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
?????+2????????+??????(????+????)?
??????2????????+??????(?????????)?
?
2.结构特征：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；
(2)有两个同号的数或式的平方；
(3)中间有两底数之积的±2倍.
注意：每个因式要分解到不能继续分解为止.
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( )
A．a2 + 1 B．a2 - 6a + 9
C．x2 + 5y D．x2 - 5y
2. 把多项式 4x2y - 4xy2 - x3 因式分解的结果是 ( )
A．4xy( x - y ) - x3 B． - x( x - 2y )2
C．x( 4xy - 4y2 - x2 ) D． - x( - 4xy + 4y2 + x2 )
B
B
3. 若 m ＝ 2n + 1，则 m2 - 4mn + 4n2 的值是_____．
1
4. 若关于 x 的多项式 x2 - 8x + m2 是完全平方式，则 m 的值为______．
±4
5. 因式分解：(1) 4x2 + 4x + 1； (2)13x2 - 2x + 3.
小聪和小明的解答过程如下：
?
他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来.
(2)原式＝13(x2 - 6x + 9)＝13(x - 3)2.
?
解:(1)原式＝(2x)2 + 2×2x·1 + 1＝(2x + 1)2.
小聪: 小明:
×
×
6. (1) 已知 a - b＝3，求 a(a - 2b) + b2 的值；
(2) 已知 ab＝2，a + b＝5，求 a3b + 2a2b2 + ab3 的值.
解：(1) 原式＝a2 - 2ab + b2＝(a - b)2.
当 a - b＝3 时，原式＝32＝9.
(2) 原式＝ab(a2 + 2ab + b2)＝ab(a + b)2.
当 ab＝2，a + b＝5 时，原式＝2×52＝50.