第4课时 利用去分母解一元一次方程
A组·基础达标
知识点1 利用去分母解一元一次方程
1．解方程,去分母时,方程两边都乘最简公分母（ ）
A．10 B．12 C．4 D．6
2．［2024长沙模拟］解方程时，去分母后得到的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．[2024长沙模拟]若和互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．解下列方程:
（1） ;
（2） .
知识点2 去分母解方程的应用
5．从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用，已知步行速度为，公交车的速度为，问甲、乙两地相距多少千米？
6．书正和子轩两人登一座山,书正每分钟登高,并且先出发;子轩每分钟登高,结果两人同时登上山顶，问这座山有多高？
易错点 去分母时,漏乘不含分母的项
7．以下是圆圆解方程的解答过程：
解:去分母,得.
去括号,得.
移项、合并同类项,得.
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误,写出正确的解答过程.
B组·能力提升
8．［2024上海模拟］解方程：．
9．［2024衡阳模拟]已知某铁路桥长.现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用，整列火车完全在桥上的时间是.求这列火车的长度.
10．某人从家里骑自行车到学校.若每小时行，则比预定的时间早到；若每小时行，则比预定的时间晚到.问从家里到学校的路程有多少千米？
C组·核心素养拓展
11．【应用意识】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”. 例如，方程和为“美好方程”.
(1)若关于x的方程 与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解.
第4课时 利用去分母解一元一次方程
A组·基础达标
知识点1 利用去分母解一元一次方程
1．B 2．C 3．A
4．（1） 解:去分母,得.
去括号,得.
移项,得.
合并同类项,得.
系数化为1,得.
（2） 去分母,得.
去括号,得.
移项,得.
合并同类项,得.
系数化为1,得.
知识点2 去分母解方程的应用
5．解：设甲、乙两地相距.
由题意，得，
解得.
答：甲、乙两地相距．
6．解:设这座山高.
由题意,得,
解得.
答:这座山高.
易错点 去分母时,漏乘不含分母的项
7．解:圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下:
去分母,得.
去括号,得.
移项、合并同类项,得.
B组·能力提升
8．解：方程可化为，
即.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得．
9．解：设这列火车的长度为.
由题意，得，
解得.
答：这列火车的长为.
10．解：设从家里到学校的路程为.
由题意，得，
解得.
答：从家里到学校的路程为.
C组·核心素养拓展
11．解:(1)
关于x的方程与方程是“美好方程”，
(2)“美好方程”的两个解和为1,其中一个解为n，
另一个方程的解是1-n .
两个解的差是8，
或，
或.
(3)
关于x的一元一次方程和是“美好方程”，
关于x的一元一次方程的解为.
又关于y的一元一次方程可化为第3课时 利用去括号解一元一次方程
A组·基础达标
知识点1 利用去括号解一元一次方程
1．在解方程时，去括号正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若多项式的值比多项式的值大9,则的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
3．解下列方程:
（1） ；
（2） ［2024新疆］;
（3） .
知识点2 去括号解方程的应用
4．某班学生分两组参加植树活动,甲组有17人,乙组有25人,后来由于需要,从甲组抽调了部分学生去乙组,结果乙组的人数是甲组人数的2倍，则从甲组抽调了_ _ _ _ _ _ _ _ 名学生去乙组.
5．（教材P125例6变式）一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了,从乙码头返回甲码头逆流而行，多用了,已知水流的速度是,求船在静水中的平均速度.
6．将一个长方形纸片的长减少,宽增加,就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片的周长比正方形纸片的周长的2倍少.这个正方形纸片的边长是多少？
易错点 去括号时,漏乘某些项或弄错符号致错
7．解方程:.
解:去括号,得.（第一步）
移项,得.（第二步）
合并同类项,得.（第三步）
系数化为1,得.（第四步）
以上解方程正确吗？若不正确,请指出开始出现错误的步骤,并给出正确的解答过程.
B组·能力提升
8．已知派派的妈妈和派派今年共36岁,再过5年,派派妈妈的年龄比派派年龄的4倍还大1岁.当派派的妈妈40岁时,派派的年龄为_ _ _ _ 岁.
9．解下列方程：
（1） ；
（2） ．
10．（教材P125例6变式）一架飞机在两城市之间飞行，风速为，顺风飞行需要，逆风飞行需要.求无风时飞机的飞行速度和两城市之间的航程．
C组·核心素养拓展
11．【运算能力】计算:.圆圆在做作业时,发现题中有一个数被墨水污染了.
（1） 如果被污染的数是,请计算:;
（2） 如果计算结果等于6,求被污染的数.
12．【创新意识】定义一种新运算“”:.例如，.
（1） 求的值;
（2） 若,求的值.
第3课时 利用去括号解一元一次方程
A组·基础达标
知识点1 利用去括号解一元一次方程
1．D 2．D
3．（1） 解:去括号，得.
移项、合并同类项，得.
系数化为1，得.
（2） 去括号，得.
移项,得.
系数化为1,得.
（3） 去括号,得.
移项,得.
合并同类项,得.
系数化为1,得.
知识点2 去括号解方程的应用
4．
[解析]设从甲组抽调了名学生去乙组.由题意,得,
解得.
5．解：设船在静水中的平均速度为，则顺水速度为，逆水速度为.
由题意，得，
解得.
答：船在静水中的平均速度为.
6．解：设这个正方形纸片的边长是,则长方形的长是,宽是.
由题意，得，
解得.
答：这个正方形纸片的边长是.
易错点 去括号时,漏乘某些项或弄错符号致错
7．解:第一步开始出现错误.正确的解答过程如下:
去括号,得.
移项,得.
合并同类项,得.
系数化为1,得.
B组·能力提升
8．12
[解析]设妈妈今年岁,则派派今年岁.
由题意,得,
解得.
,（岁）,（岁）.
当派派的妈妈40岁时,派派的年龄为12岁.
9．（1） 解：去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得．
（2） 去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
10．解：设无风时飞机的飞行速度为，则顺风时的飞行速度为，逆风时的飞行速度为.由题意，得
，解得．
则．
答：无风时飞机的飞行速度为，两城市之间的航程为．
C组·核心素养拓展
11．（1） 解:
.
（2） 设被污染的数为.
由题意,得,
解得.
即被污染的数是3.
12．（1） 解:.
（2） 根据题中的新定义,得
.
去括号,得.
移项、合并同类项,得.
解得.第2课时 利用移项解一元一次方程
A组·基础达标
知识点1 移项的概念
1．［2025长沙模拟］下列解方程的过程中，移项错误的是（ ）
A．方程变形为
B．方程变形为
C．方程变形为
D．方程变形为
知识点2 利用移项解一元一次方程
2．下列是解方程：的过程，请补充完整.
解：，
移项，得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
_ _ _ _ _ _ _ _ ，得_ _ _ _ .
_ _ _ _ _ _ _ _ ，得_ _ _ _ .
3．解下列方程:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
知识点3 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程
4．朵朵幼儿园的阿姨给小朋友分苹果.如果每人分3个，则还差3个；如果每人分2个，则又多2个.小朋友共有（ ）
A．4人 B．5人 C．10人 D．12人
5．［2024长沙模拟］汽车队运送一批货物，若每辆车装货物，还剩下未装；若每辆车装货物，恰好装完，则这个车队共有_ _ _ _ 辆车.
6．一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_ _ _ _ .
7．某礼品制造厂接了一批玩具熊的订单，按计划天数生产，若每天生产20个玩具熊，则最终比订单少生产100个；若每天生产23个玩具熊，则最终比订单多生产20个.问原计划几天完成订单？
易错点 解方程时,移项不变号或误将不移动的项也变号
8．下列选项中,移项正确的是 （ ）
A．方程变形为
B．方程变形为
C．方程变形为
D．方程变形为
B组·能力提升
9．［新趋势·数学文化］明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图）,其大意为:有一群人分银子,若每人分七两,则剩余四两;若每人分九两,则还差八两.所分的银子共有_ _ _ _ 两（注:明代时,1斤两,故有“半斤八两”这个成语）.
10．有甲、乙、丙三个仓库存放货物，已知甲、乙两个仓库存货吨数比为，乙、丙两个仓库存货吨数比为.若甲仓库向丙仓库运货物，则两个仓库货物吨数相同.问甲仓库原来存货多少吨？
11．如图，张新和李明相约到图书大世界去买书，请根据他们的对话内容，求出李明上次购买书籍的原价．
12．（教材P124练习T3变式）小华的妈妈在25岁时生了小华，现在小华妈妈的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄．
C组·核心素养拓展
13．【应用意识】如图,将一个长方形分成六个正方形,其中最小的正方形的面积是,求这个长方形的面积.
第2课时 利用移项解一元一次方程
A组·基础达标
知识点1 移项的概念
1．A
知识点2 利用移项解一元一次方程
2．； ； 合并同类项； 2； 系数化为1； 1
3．（1） 解:移项,得.
合并同类项,得.
系数化为1,得.
（2） 移项,得.
合并同类项,得.
系数化为1,得.
（3） 移项,得.
合并同类项,得.
（4） 移项,得.
合并同类项,得.
系数化为1,得.
知识点3 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程
4．B
5．12
[解析]设这个车队有辆车.
由题意，得,
解得，
这个车队共有12辆车.
6．60
7．解：设原计划用天完成，
，
解得，
答：原计划用40天完成.
易错点 解方程时,移项不变号或误将不移动的项也变号
8．B
B组·能力提升
9．46
10．解： 甲、乙两个仓库存货吨数比为，乙、丙两个仓库存货吨数比为，即甲、乙、丙三个仓库的存货吨数比为，
设甲仓库原来存货，则丙仓库原来的存货为.
由题意，得，解得，
甲仓库原来存货，
答：甲仓库原来存货.
11．解：设李明上次购买书籍的原价为元.由题意，得，解得．
答：李明上次购买书籍的原价是160元．
12．解：设小华现在的年龄为岁，则妈妈现在的年龄为岁.
由题意，得，解得．
答：小华现在的年龄为10岁．
C组·核心素养拓展
13．解:最小的正方形的面积是,
正方形A的边长为.
设正方形的边长为,则正方形的边长为,正方形D的边长为,正方形B的边长为.
根据正方形C的边长相等列方程,得
,解得.
则,.
正方形和的边长为,正方形D的边长为,正方形B的边长为.
长方形的面积为.5.2 解一元一次方程
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
A组·基础达标
知识点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程
1．下列方程直接用合并同类项可解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．补全下列解方程的过程：
（1） .
解：合并同类项，得_ _ _ _ _ _ .
系数化为1，得_ _ _ _ _ _ .
（2） .
解：合并同类项，得 _ _ _ _ _ _ _ _ .
系数化为1，得_ _ _ _ _ _ .
3．解下列方程:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
知识点2 用“总量各部分分量的和”列一元一次方程解决问题
4．学校机房今年和去年共购置了100台计算机,已知今年购置计算机的数量是去年购置计算机数量的3倍,则今年购置计算机的数量是（ ）
A．25台 B．50台 C．75台 D．100台
5．用一根长为的绳子围成一个长方形,使它的长是宽的1.5倍,问长方形的长和宽分别是多少
知识点3 数列问题
6．（1） 有一列数，按一定规律排列成2，，18，，162，， ，其中三个相邻的数的和是，这三个数各是多少？
（2） 有一列数，按一定的规律排列成1，，4，，16，， ，其中三个相邻数的和是，则这三个数中最大的数是_ _ _ _ .
B组·能力提升
7．［新趋势·数学文化］中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载:三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.其大意是:有人要去某关口,路程为378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地.则此人第六天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
8．某商店去年共销售21英寸、25英寸、29英寸的三种彩电共360台,它们的销售数量比是.问这三种型号的彩电各销售了多少台
9．有关数据显示,中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的,中、美两国人均淡水资源占有量之和为,问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少？
C组·核心素养拓展
10．【应用意识】我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道题,原文如下:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问城中家几何？大意为:今有100头鹿进城,每家取1头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取1头,恰好取完,问城中有多少户人家？在这个问题中,城中人家的户数为（ ）
A．25 B．75 C．81 D．90
11．【模型观念，创新意识】观察下面三行数：
，9，，81， ； ①
，，54，， ； ②
，11，，83， . ③
（1） 第一行的第个数是_ _ _ _ _ _ _ _ ，第二行的第个数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，第三行的第个数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含的代数式表示）；
（2） 在第二行中，存在三个连续数的和为378，这三个数分别是_ _ _ _ ，_ _ _ _ _ _ _ _ ，_ _ _ _ ；
（3） 设，，分别为每一行的第2 025个数，求的值．
5.2 解一元一次方程
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
A组·基础达标
知识点1 利用合并同类项解简单的一元一次方程
1．B
2．（1） ；
（2） ；
3．（1） 解:合并同类项,得.
系数化为1,得.
（2） 合并同类项,得.
系数化为1,得.
（3） 合并同类项,得.
系数化为1,得.
（4） 合并同类项,得.
系数化为1,得.
知识点2 用“总量各部分分量的和”列一元一次方程解决问题
4．C
5．解:设长方形的宽为,则长为.
由题意,得,
解得.
.
答:长方形的长为,宽为.
知识点3 数列问题
6．（1） 解：设这三个数分别为，，.
由题意，得，
解得，
则，.
答：这三个数分别为162，，．
（2） 4 096
B组·能力提升
7．C
8．解:设这三种型号的彩电各销售了台、台、台.
由题意,得,解得.
,.
答:销售21英寸彩电30台,25英寸彩电210台,29英寸彩电120台.
9．解:设中国人均淡水资源占有量为,则美国人均淡水资源占有量为.
由题意,得，
解得.
.
答:中国人均淡水资源占有量为,美国人均淡水资源占有量为.
C组·核心素养拓展
10．B
11．（1） ； ；
（2） 54； ； 486
（3） 解：由（1）可知，每一行的第2 025个数分别为，，，
，
即的值为2．
