5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 产品配套与工程问题
A组·基础达标
知识点1 产品配套问题
1．某眼镜厂车间有28名工人，每名工人每天生产60个镜架或者90片镜片，1个镜架需要配2片镜片.为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，设安排名工人生产镜片，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．服装厂要生产一批某型号学生服.已知每长的布料可做2件上衣或3条裤子,一件上衣和一条裤子为一套.计划用长的这种布料生产学生服,共能生产_ _ _ _ 套.
3． ［2025长沙模拟］用铝片制作听装易拉饮料瓶，每张铝片可制作瓶身16个或瓶底43个，一个瓶身配两个瓶底.现有150张铝片，用多少张制作瓶身，多少张制作瓶底，可以正好制成成套的饮料瓶？
知识点2 工程问题
4．一项工程,甲队单独完成需要20天,乙队单独完成需要30天.若先由甲队单独做5天,剩下部分由甲、乙两队合作完成,则还需要的天数是（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
5．修一条公路,甲队单独修需要10天完成,乙队单独修需要12天完成,丙队单独修需要15天完成.现在先由甲队单独修2.5天,再由乙队接着修,最后还剩下一段路,由三队合修2天才完成任务.问乙队在整个修路工程中工作了多少天？
6．一个蓄水池有甲、乙两根进水管和丙一根排水管.单独开甲管可注满水池,单独开乙管可注满水池,单独开丙管可将满池水排空.若先将甲、乙两管同时开放,再打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池？
B组·能力提升
7．［2024德城模拟］在“垃圾分类“活动中，实践组有23人，宣传组有16人，应从宣传组调_ _ _ _ 人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍．
8．［2025长沙模拟]某工厂车间有24名工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件10个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套.
（1） 该工厂有多少名工人生产A零件？
（2） 工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，问该工厂每天生产的零件总获利多少元？
9．一项工程，由甲工程队单独做需要20天完成， 由乙工程队单独做需要12天完成.现在由甲队单独做4天，剩下的工程由甲、乙合作完成.
（1） 剩下的部分由甲、乙合作还需要几天完成（列方程解答）？
（2） 若该工程的总费用为240万元，根据实际完成情况，甲、乙两工程队各得多少万元？
C组·核心素养拓展
10．【应用意识】小敏和小强假期到某工厂参加社会实践,该工厂用白纸板做包装盒,设计每张白纸板做盒身2个或者盒盖3个,且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒.为了充分利用材料,要求做成的盒身和盒盖正好配套.
（1） 现有14张白纸板,问最多可做几个包装盒（用一元一次方程的应用解答）？
（2） 现有27张白纸板,问最多可做几个包装盒？
为了解决问题（2）,小敏和小强各设计了一种解决方案:
小敏:把这些白纸板分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖;
小强:先把一张白纸板适当剪裁出一个盒身和一个盒盖,余下白纸板分成两部分,一部分做盒身,一部分做盒盖.
请探究:小敏和小强设计的方案是否可行？若可行,求出最多可做包装盒的个数;若不行,请说明理由.
5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 产品配套与工程问题
A组·基础达标
知识点1 产品配套问题
1．C
2．240
3．解：设用张铝片制作瓶身，则用张铝片制作瓶底.
由题意，得，
解得，
（张）.
答：用86张铝片制作瓶身，用64张铝片制作瓶底.
知识点2 工程问题
4．A
5．解:设乙队单独修了天.由题意,得
,
解得.
.
答:乙队在整个修路工程中工作了5天.
6．解:设打开丙管后可注满水池.
由题意,得,
解得.
答:打开丙管后可注满水池.
B组·能力提升
7．3
8．（1） 解：设该工厂有名工人生产A零件，则共生产A零件个，有名工人生产B零件，共生产B零件个.
由题意，得,
解得.
答：该工厂有6名工人生产A零件.
（2） 由（1），得生产B零件的工人有（名）.
每个A零件可获利8元，每个B零件可获利5元，
（元）.
答：该工厂每天生产的零件总获利1 620元.
9．（1） 解：设剩下的部分由甲、乙合作还需要天完成.
由题意，得，
解得.
答：剩下的部分由甲、乙合作还需要6天完成.
（2） 甲完成的工作量为，
则甲、乙完成的工作量都是，所以报酬应相同，均为120万元.
C组·核心素养拓展
10．（1） 解:设张白纸板做盒身,则有张白纸板做盒盖.
由题意,得,
解得.（个）.
答:最多可做12个包装盒.
（2） 小敏的方案不行.理由如下:
设张白纸板做盒身.
由题意,得,
解得,不符合题意;
小强的方案可行.理由如下:
设余下的纸板张做盒身.
由题意,得,
解得.
（个）.
答:最多做23个包装盒.第4课时 方案选择类问题
A组·基础达标
知识点1 分段计费问题
1．［2024常德模拟］某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表：
档次 月用电量 电价/（元/千瓦时）
第1档 不超过240千瓦时的部分
第2档 超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分 0.65
第3档 超过400千瓦时的部分
已知10月份该市居民老李家用电200千瓦时，支付电费120元；9月份老李家支付电费157元.
（1） 表中的值为_ _ _ _ ；
（2） 求老李家9月份的用电量；
（3） 已知8月份老李家用电的平均电价为0.7元/千瓦时，求老李家8月份的用电量.
知识点2 方案选择问题
2．［2023保定模拟］已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个.该超市酸奶区推出了两种优惠促销方案，如下表所示：
方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠
方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯
现某顾客需要购买40箱酸奶和个玻璃杯．
（1） 请用含的式子分别表示按方案一、方案二购买时所需的费用分别为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元；
（2） 当时，请通过计算说明该顾客按哪种方案购买更省钱；
（3） 当购买多少个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多？
B组·能力提升
3．[2025湘西模拟］某体育用品商店销售足球和篮球，其中篮球的单价比足球多30元，已知购买4个足球和3个篮球的费用相等.
（1）足球、篮球的单价分别是多少元？
（2） 由于“双十二”的来临，商店决定对所售商品进行促销.现有两种促销方案可供选择：
方案一：买5个篮球赠送1个足球；
方案二：所购买的商品均打九折.
当购买6个篮球和多少个足球时，两种促销方案所花费用相等？
（3） 在（2）的条件下，购买10个篮球和5个足球最少费用为_ _ _ _ 元.
C组·核心素养拓展
4．［2024郴州模拟］【应用意识】根据以下素材，完成相应任务.
素材1 1.为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市城区实行居民生活阶梯水价. 2.居民用水费自来水费代征收费（代征收费包括污水处理费、生活垃圾处理费及水资源费），单位：元. 3.代征收费共计1.4元/.
素材2 第一阶梯（用水量）：自来水单价为1.8元/ ； 第二阶梯 用水量：超过第一阶梯用水量的自来水单价为2.8元/ ； 第三阶梯（用水量）：超过第二阶梯用水量的自来水单价为4元/.
计算方法示例 用户某月用水，超过第一阶梯的用水量为，则用户的居民用水费可用两种方法计算.
方法一 方法二
自来 水费 29.8 第一 阶梯
代征 收费 第二 阶梯
居民 用水 费 居民 用水 费
（1） 若用户月用水，则应支付水费_ _ _ _ 元.
（2） 若用户月用水，则应支付水费_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元（用含的代数式表示）.
（3） 若用户12月份所支付水费为117元，小明根据以上信息求得该用户12月份的用水量约为，具体过程如下：
设用户12月份用水量为，由题意，得
，
解得.
答：用户12月份用水约.
你认为小明的求解方法正确吗？如不对，请写出正确的求解过程.
第4课时 方案选择类问题
A组·基础达标
知识点1 分段计费问题
1．（1） 0.6
（2） 解：设老李家9月份的用电量为千瓦时.
（元），，
.
由题意，得，
解得.
答：老李家9月份的用电量为260千瓦时.
（3） 设老李家8月份的用电量为千瓦时.
由题意，得,解得.
答：老李家8月份的用电量为560千瓦时.
知识点2 方案选择问题
2．（1） ；
（2） 解：当时，
（元）；
（元）．
，
该顾客按方案二购买更省钱.
（3） 由题意，得，
解得．
答：当购买240个玻璃杯时，上述两种方案的花费一样多．
B组·能力提升
3．（1） 解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元.
由题意，得，
解得.
，
答：足球的单价是90元，篮球的单价是120元.
（2） 设购买6个篮球和个足球时，两种促销方案所花费用相等.
由题意，得
，
解得.
答：购买6个篮球和2个足球时，两种促销方案所花费用相等.
（3） 1 443
C组·核心素养拓展
4．（1） 16
（2）
（3） 解：小明的求解方法不正确.正确的求解过程如下：
设用户12月份用水量为.
由题意，得，
解得.
答：用户12月份用水量为.第2课时 商品销售的盈亏问题
A组·基础达标
知识点 商品销售问题
1．一件标价为600元的上衣,按七折销售仍可获利20元.设这件上衣的成本价为元,列方程得（ ）
A． B．
C． D．
2．某商品每件标价为150元，若按标价打八折后,再降价10元销售,仍获利10元,则该商品每件的进价为（ ）
A．100元 B．105元
C．110元 D．120元
3．［2024长沙模拟］商店将进价2 400元的彩电标价3 600元出售，为了吸引顾客进行打折出售，售后核算仍可获利，则折扣为（ ）
A．九折 B．八五折 C．八折 D．七五折
4．暑假期间,亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动.某款式眼镜的广告如下,请你为广告牌填上原价.
原价:_ _ _ _ 元 暑假八折优惠,现价:160元
5．“元旦”期间,某商店单价为130元的书包按八折出售,可获利,则该书包的进价是_ _ _ _ _ _ _ _ 元.
6．［2024长沙模拟］某商场购进一批服装，进价为每件200元，提价后标价，由于换季滞销，商场决定将这种服装打折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装是按几折销售的？
7．［2024连云港］连云港市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如表所示：
邮购数量/把 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，则两次邮购的折扇各多少把？
B组·能力提升
8．某商店剩有两个进价不同的计算器，处理时都卖了70元，其中一个赢利，另一个亏本，针对这两个计算器，这家商店（ ）
A．赚了 B．赚了10元 C．亏了 D．亏了10元
9．[2024株洲模拟］某超市用6 800元购进甲、乙两种商品共120件，这两种商品的进价、标价如表：
甲 乙
进价/（元/件） 30 70
标价/（元/件） 50 100
（1） 甲、乙两种商品各购进多少件？
（2） 若甲种商品按标价的出售，乙种商品按标价下降元出售，则这批商品全部售出后，该超市共获利2 000元，求的值.
10．［2025长沙模拟］某商店销售A，B两种商品，其中A商品每件的进价为50元，售价为70元；B商品每件的售价为90元，利润率为.
（1） A商品每件的利润为_ _ _ _ 元，B商品每件的进价为_ _ _ _ 元.
（2） 若该商店同时购进A，B两种商品共100件，总进价为5 400元.
① 商店购进A，B两种商品各多少件？
② 商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中A商品打九折，B商品打折，若销售完A，B两种商品，A商品的总利润比B商品的总利润多300元，求的值.
C组·核心素养拓展
11．［2025贵阳模拟］【应用意识】【市场调研】某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：
信息一 《哪吒2》票房大卖以后，商场从厂家购进哪吒、敖丙图案的两款书包，其中哪吒图案书包6个，敖丙图案书包5个，共付款650元，已知每个敖丙图案书包的进价比每个哪吒图案书包贵20元.
信息二 商场将哪吒图案书包按信息一中的进价提高后标价，实际销售时再打折出售，此时每个哪吒图案书包仍可获利.
【问题解决】
（1）每个哪吒和敖丙图案书包的进价分别为多少元？
（2） 在信息二中，哪吒图案书包实际销售时打多少折出售？
第2课时 商品销售的盈亏问题
A组·基础达标
知识点 商品销售问题
1．A 2．A 3．C
4．200
[解析]设广告牌上的原价为元.
由题意,得,
解得.
故该广告牌上的原价为200元.
5．
[解析]设该书包的进价是元.
由题意,得,
解得.
故该书包的进价是80元.
6．解：设该服装是按折销售的.由题意，得
，
解得.
答：该服装是按八折销售的.
7．解：如果每次邮购的折扇都是100把，
那么（元）（元），
一次邮购的折扇多于100把，另一次邮购的折扇少于100把.
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把.
由题意，得，解得，
.
答：两次邮购的折扇分别是160把和40把.
B组·能力提升
8．D
9．（1） 解：设购进甲种商品件，则购进甲乙种商品件，
由题意，得，
解得，
，
答：甲、乙两种商品各购进40件，80件.
（2） 由题意，得，
解得.
的值为10.
10．（1） 20； 60
（2） ① 解：设商店购进件A商品，则购进件B商品.
由题意，得，
解得，.
答：商店购进60件A商品，40件B商品.
② 由题意，得
，
解得.
答：的值为8.
C组·核心素养拓展
11．（1） 解：设每个哪吒图案书包的进价为元，则每个敖丙图案书包的进价为元.
由题意，得，解得，
.
答：每个哪吒图案书包的进价为50元，每个敖丙图案书包的进价为70元.
（2） 每个哪吒图案书包的标价为（元）.
每个哪吒图案书包实际售价为（元）.
设打折出售，由题意，得，
解得.
答：哪吒图案书包实际销售时打八折出售.第3课时 球赛积分表问题
A组·基础达标
知识点1 球赛积分表问题
1．篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分.若某队14场比赛得到23分,则该队胜了_ _ _ _ 场.
2．某次篮球联赛初赛阶段,每队有10场比赛,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,积分达到15分才能获得参加决赛资格.
（1） 已知甲队在初赛阶段的积分为18分,则甲队在初赛阶段胜、负各多少场
（2） 如果乙队要获得参加决赛资格,那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
知识点2 其他统计类问题
3．为了增强学生的安全防范意识,某校七（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛.抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一题得5分,每答错或不答一题扣1分.已知小红一共得70分,则小红答对的题数为（ ）
A．14 B．15
C．16 D．17
4．［2024长沙模拟］12月4日为全国法制宣传日，学校组织4名学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答错或不答均扣分.如表记录了其中2名参赛学生的得分情况.
参赛者 答对题数 答错或不答题数 得分
小王 20 0 100
小李 16 4 72
根据以上信息，请你解答下列问题：
（1） 答对一题得_ _ _ _ 分，答错一题得_ _ _ _ _ _ 分；
（2） 若参赛学生小刘得了65分，则他答对了几道题？
5．［2024西城模拟］随着民众健康意识逐步增强，全民健身逐渐成为“健康中国”新时尚.下表是甲、乙两人某月参与游泳和瑜伽项目的运动次数及时间的统计表，其中同一健身项目每人每次运动的时间相同，且甲、乙两人每次游泳的时间为.
人员 游泳次数 瑜伽次数 两项运动的总时长/
甲 18 10 51
乙 41
（1） 结合表中数据，直接写出两人每次参与瑜伽运动的时间为_ _ _ _ ；
（2） 若乙参与两项运动的总次数是24，利用你所学的方程知识，求乙该月分别参与游泳和瑜伽项目的次数．
B组·能力提升
6．某市足球协会举办了一次足球赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖金/（元/人） 1 500 700 0
当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场．
（1） 试判断A队胜、平各几场？
（2） 若每赛一场每名队员均得出场费500元，那么A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是多少元？
7．某小组8名同学参加一次知识竞赛,共答10道题,每题分值相同.每题答对得分,答错或不答扣分.各同学的得分情况如表所示:
学号 答对题数 答错题数 得分
1 8 2 70
2 9 1 85
3 9 1 85
4 5 5 25
5 7 3 55
6 10 0 100
7 4 6 10
8 8 2 70
（1） 如果答对的题数为（在1到10之间,且为整数）,用含的式子表示得分为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 在什么情况下得分为零分？在什么情况下得分为负分？
C组·核心素养拓展
8．［2024衡阳模拟］【应用意识】某中学举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，五个队，这五个队要进行单循环比赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜，每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如或的积分不同），积分均为正整数.
第一组 A B C D 获胜场数 总积分
A 9
B 1
C 2
D 3 12
4 13
（注∶圈中的“”表示在队与B队的这场比赛中队赢两局，输一局，队以的比分战胜B队.）
根据上表回答问题:
（1） 当B队的总积分时，上表中处应填_ _ _ _ _ _ ；
（2） 写出C队总积分的所有可能值为_ _ _ _ _ _ .
第3课时 球赛积分表问题
A组·基础达标
知识点1 球赛积分表问题
1．9
2．（1） 解:设甲队在初赛阶段胜了场,则负了场.
由题意,得,
解得.
则.
答:甲队在初赛阶段胜了8场,负了2场.
（2） 设乙队在初赛阶段至少要胜场.
由题意,得,
解得.
答:乙队在初赛阶段至少要胜5场.
知识点2 其他统计类问题
3．B
4．（1） 5；
（2） 解：设小刘答对了道题，则答错或不答了道题.
由题意，得，
解得.
答：他答对了15道题.
5．（1） 1.5
（2） 解：设乙参与游泳项目次，则参与瑜伽项目次.
由题意，得，
解得，
（次）．
答：乙参与游泳项目10次，参与瑜伽项目14次．
B组·能力提升
6．（1） 解：设A队胜场，则平场.
由题意，得，
解得，
.
答：A队胜4场，平8场.
（2） 每场比赛出场费500元，
场比赛出场费共（元）.
胜4场，每名队员奖金为（元）；
平8场，每名队员奖金为（元），
奖金与出场费每名队员一共（元）.
答：A队的某一名队员所得奖金与出场费的和是17 600元．
7．（1）
（2） 解:如果得分为零分,那么,解得.因为答对题目数不可能是,所以在任何情况下都不可能得零分.
因为答对题数越少得分越少,所以当答对题数小于,即答对题数为0,1,2,3时,得分为负分.
C组·核心素养拓展
8．（1）
[解析]每场比赛的结果有四种：，，，，
设以上四种得分分别为,,,,且,
则队的得分为.
积分均为正整数，
，，，
则队的得分为，即，
.
设对应的积分为,
则，
解得，
即为.
（2） 10或11
[解析]队获胜2场，
分两种情况:
当，队的结果为时，；
当，队的结果为时，；
队总积分的所有可能值为10或11.
