6.3 角
6.3.1 角的概念
A组·基础达标
知识点1 角的定义及表示方法
1．下列说法中,正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫作角
B．有公共端点的两条线段组成的图形叫作角
C．角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
D．角可以看作是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形
2．如图,分别填出下列各角的另一种表示方法: 即_ _ _ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ _ _ ,即_ _ _ _ ,即_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
知识点2 角的度量
3．下列各角中：周角、平角、平角、平角，是钝角的是_ _ _ _ _ _ _ _ .
4．用度表示下列各角：
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3） _ _ _ _ _ _ _ _ .
5．将下列各角用度、分、秒表示：
（1） ;
（2） ;
（3） .
知识点3 方向角
6．如图，根据点，，，，在图中的位置填空．
（1） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（4） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（5） 射线表示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
7．如图,点位于点正北方向,点位于点北偏东 方向,点位于点南偏东 方向,则的度数为_ _ _ _ _ _ .
知识点4 钟面角
8．[［2024衡阳模拟］]自习课上，一名同学抬头看见挂在黑板上方的时钟显示为，此时时针与分针的夹角是_ _ _ _ _ _ .
9．[［2024衡阳模拟］]下午5：15是同学们的阳光体育活动时间，那5：15时的分针与时针的夹角是_ _ _ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升
10．若,, ,则有（ ）
A． B．
C． D．
11．如图,是一条直线,图中小于平角的角的个数是（ ）
A．4 B．8 C．9 D．10
12．在图中画出下列方向的射线．
（1）射线南偏东 ；
（2）射线北偏东 ；
（3）射线西南方向．
13．［2024长沙模拟］如图，以点为顶点的角有几个？把它们表示出来.以点为顶点的小于平角的角有几个？把它们表示出来.
C组·核心素养拓展
14．【模型观念】从12时整开始,至少再过多少分钟,分针与时针再一次重合？
15．【推理能力】有公共端点的两条射线组成的图形叫作角,这个公共端点叫作角的顶点.
（1） 如图①,在角的内部作1条射线,那么图中一共有_ _ _ _ 个角;
（2） 如图②,在角的内部作2条射线,那么图中一共有_ _ _ _ 个角;
（3） 如图③,在角的内部作3条射线,那么图中一共有_ _ _ _ 个角;
（4） 若在角的内部作条射线,那么图中一共有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 个角;
（5） 以直线外一点为端点,向直线上的个点作射线,则以点为顶点,以这些射线为边的角（小于）的个数为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含有的式子表示）.
6.3 角
6.3.1 角的概念
A组·基础达标
知识点1 角的定义及表示方法
1．C
2．； ； ； ； ； 或或
知识点2 角的度量
3．平角
4．（1）
（2）
（3）
5．（1） 解:,,
.
（2） ,.
（3） ,.
知识点3 方向角
6．（1） 东北方向
（2） 北偏西
（3） 南偏西
（4） 正南方向
（5） 南偏东
7．
知识点4 钟面角
8．
9．
B组·能力提升
10．C 11．C
12．解：如答图.
第13题答图
13．解：以点为顶点的角有3个，分别是，，，
以点为顶点的小于平角的角有4个，分别是，，，.
C组·核心素养拓展
14．解:设至少再过，分针与时针再一次重合.
由题意,得,
解得.
从12时整开始,至少再过,分针与时针再一次重合.
15．（1） 3
（2） 6
（3） 10
（4）
（5）6.3.2 角的比较与运算
第1课时 角的比较与角的和差运算
A组·基础达标
知识点1 角的比较
1．［2024西安模拟］用“叠合法”比较与的大小，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图,若,则（ ）
A． B．
C． D．,的大小不确定
3．如图，比较下列各角的大小，用“ ”或“ ”填空：
（1） _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ ；
（3） _ _ _ _ .
知识点2 角的和差运算
4．将一副直角三角尺按如图所示摆放,则图中的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图①,②，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（ ）
A． B． C． D．
6．根据图形填空.
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ ;
（3） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
7．如图，是一个平角，如果，，则_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
8．计算:
（1） ;
（2） .
易错点 无图问题的角度计算中忽视分类讨论
9．已知 ,过点作射线,使得 ,则的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升
10．［2024杭州模拟］如图，方格纸中的和的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，与都是直角，如果 ，则_ _ _ _ .
12．［2024广州模拟]如图，射线在的内部.
（1） 如图①，若 ，，求的度数；
（2） 如图②，若射线在的内部， ， ，求的度数.
C组·核心素养拓展
13．【推理能力】【动手实践】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式.
请利用一副含有 角的直角三角板和含有 角的直角三角板尝试完成探究.
【实验操作】
（1） 若边和边重合摆成图①的形状，则_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图②，保持三角板不动，将 角的顶点与三角板的 角的顶点重合，然后摆动三角板，求当 时，的度数；
【拓展延伸】
如图③，保持三角板不动，将 角的顶点与三角板的 角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的2倍，请直接写出所有满足题意的的度数.
6.3.2 角的比较与运算
第1课时 角的比较与角的和差运算
A组·基础达标
知识点1 角的比较
1．D 2．C
3．（1）
（2）
（3）
知识点2 角的和差运算
4．B 5．C
6．（1） ； ；
（2）
（3）
7．
8．（1） 解:原式.
（2） 原式.
易错点 无图问题的角度计算中忽视分类讨论
9． 或
B组·能力提升
10．D
11．150
12．（1） 解：，，
，即 ，
.
（2） ，
.
，
，
， ，
.
C组·核心素养拓展
13．（1）
（2） 解：当三角板如答图①时，
第13题答图①
， ，
.
当三角板如答图②时，
， ，
第13题答图②
.
当 时，的度数为 或 .
（3） 设 ，满足题意的情况有四种：
如答图③,
第13题答图③
则有，解得;
如答图④，
则有，解得；
第13题答图④
如答图⑤，
第13题答图⑤
则有，解得；
如答图⑥，
则有，解得.
综上所述，的度数为 ， ， 或 .
第13题答图⑥6.3.3 余角和补角
A组·基础达标
知识点1 余角和补角的定义
1．如果 , ,那么是的（ ）
A．直角 B．余角 C．补角 D．平角
2．已知，则它的余角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（1） 若 ,则 的补角的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ , 的余角的度数为_ _ _ _ _ _ , 的补角与余角的度数差为_ _ _ _ _ _ ;
（2） 若一个角是,则它的余角的度数是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
4．［2023赣州模拟］按如图所示放置三角尺和直尺．
（1） 与的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 若的补角比的2倍多 ，求的度数．
知识点2 余角、补角的性质
5．如图，如果 ，那么，这是根据（ ）
A．直角都相等 B．等角的余角相等
C．同角的余角相等 D．同角的补角相等
6．若 ，且 ， ，则与的大小关系是_ _ _ _ ，理由是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
7．［2023平顶山模拟］如图， ．
（1） 与相等吗？请说明理由.
（2） 若 ，射线平分，则的度数为_ _ _ _ _ _ .
易错点1 混淆互余和互补的概念而致错
8．下列说法正确的有_ _ _ _ （填序号）.
①钝角与锐角互补;
② 的余角是 ;
③的补角是 ;
④若 ,则,,互余.
易错点2 找余角或补角时漏解
9．如图,直线与相交于点,且 ，则与互余的角有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
B组·能力提升
10．［2025清远模拟］如图，一副三角尺按图中的位置摆放，其中 和 具有互余关系的位置是（ ）
A． B．
C． D．
11．如果 和 互补，且 ，则下列表示 的余角的式子： ； ；；.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．［2024永州模拟]如图，是直线上一点，平分，，平分，与互余，则_ _ _ _ _ _ .
13．如图，是直线上的一点， ，．
（1） 的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 图中有哪几对角互为余角？
（3） 图中有哪几对角互为补角？
C组·核心素养拓展
14．［2025长沙模拟］【推理能力】已知 ，与互余，平分.
（1） 在图①中，若 ，求的度数.
（2） 在图①中，设 ， ，请探索 与 之间的数量关系.
（3） 已知条件不变，当绕点逆时针转动到如图②的位置时，（2）中 与 的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请探索 与 之间的数量关系.
6.3.3 余角和补角
A组·基础达标
知识点1 余角和补角的定义
1．C 2．B
3．（1） ； ；
（2）
4．（1）
（2） 解：设 ，则 .
由题意，得，
解得.
的度数是 ．
知识点2 余角、补角的性质
5．C
6．； 等角的补角相等
7．（1） 解：.理由如下：
，
，
即.
（2）
易错点1 混淆互余和互补的概念而致错
8．③
易错点2 找余角或补角时漏解
9．,
B组·能力提升
10．D 11．C
12．
13．（1）
（2） 解：互余的角有：与，与，与，与．
（3） 互补的角有：与，与，与，与，与，与，与．
C组·核心素养拓展
14．（1） 解：与互余，
.
平分，
.
，
.
（2） 与互余，
.
平分，
.
， ，
，
.
（3） 不成立.
与互余，
.
平分，
.
， ，
，
.第2课时 角的平分线与角的乘除运算
A组·基础达标
知识点1 角的平分线
1．［2024无锡模拟］如图， ， ，是的平分线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．［2024沈阳模拟］如图，点在直线上，射线平分.若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．按图①～图④的步骤作图，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图,,为内的两条射线,平分,.若 ,则的度数是_ _ _ _ _ _ .
5．如图，平分，平分.
（1） 若 ， ，则的度数为_ _ _ _ _ _ ；
（2） 若 ， ，求的度数.
知识点2 等分角
6．如图，将一个圆形的蛋糕等分成六份，则每一份中的角的度数为_ _ _ _ _ _ .
知识点3 角的乘除运算
7．计算：
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） _ _ _ _ _ _ _ _ .
易错点 角平分线的概念理解不透导致的错误
8．已知是内的一条射线，下列条件中不能确定是的平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，若有，，则下列结论错误的是（ ）
A．是的平分线 B．是的平分线
C． D．是的平分线
B组·能力提升
10．如图，已知是的平分线，是的平分线.如果 ，比的2倍还多 ，那么的度数为_ _ _ _ _ _ .
11．计算：
（1） ；
（2） .
12．如图，是直线上的一点， ，是的平分线， ，求和的度数．
13．如图,直线,相交于点, ,平分,设 .
（1） 求和的度数（用含的式子表示）;
（2） 当为何值时,
C组·核心素养拓展
14．【推理能力】已知在同一平面内, , .
（1） _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2） 若平分,平分,则的度数为_ _ _ _ _ _ .
（3） 在（2）的条件下,将题目中的 改成,其他条件不变,你能求出的度数吗？若能,请写出求解过程;若不能,说明理由.
第2课时 角的平分线与角的乘除运算
A组·基础达标
知识点1 角的平分线
1．A 2．A 3．D
4．
5．（1）
（2） 解：平分，平分，
.
又 ,
.
知识点2 等分角
6．
知识点3 角的乘除运算
7．（1）
（2）
易错点 角平分线的概念理解不透导致的错误
8．C 9．D
B组·能力提升
10．
11．（1） 解：原式
.
（2） 原式
.
12．解： ， ，
.
是的平分线，
，
．
13．（1） 解: , , .
.
平分,
.
（2） , ,
令,则,
解得.
当的值为54时,.
C组·核心素养拓展
14．（1） 或
（2）
（3） 解:分两种情况讨论:
当在内部时,如答图①.
平分,平分,
,.
;
当在外部时,如答图②.
平分,平分,
,.
.
综上所述,的度数为 .
第14题答图
