1.2 课时1 提单项式公因式（共18张PPT）2025-2026学年数学湘教版（2024）八年级上册

2.1 代数式的概念
1.2 提公因式法
第1章 因式分解
课时1 提单项式公因式
1.了解公因式和提公因式的概念；
2.掌握找多项式中的公因式的方法；
3.掌握提单项式公因式法进行因式分解.
什么是因式？什么是因式分解？?
因式：如果一个整式能整除另一个整式，那么这个整式就是另一个整式的因式.
因式分解：把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式.
?2.m(a+b)=ma+mb这一变形属于什么运算？运用了什么定律？那么反过来ma+mb=m(a+b)属于什么运算？
多项式的乘法，运用了乘法分配律；
多项式的因式分解.
运用这样的方法来因式分解，有什么特殊之处？
探究一：探索提公因式的概念
活动1 观察下列代数式，并回答问题
xy，3xz，xw
问题1：说出上式中次数大于0的因式，并思考其中有相同的因式吗？
xy中次数大于0的因式有x，y；
3xz中次数大于0的因式有x，z；
xw中次数大于0的的因式有x，w.
有相同的因式 x.
问题2：类比于几个数的公因式，代数式中有相同的因式称为什么？
几个多项式的相同因式称为它们的公因式.
活动2 计算x(y+3z)，并回答问题
问题1：????(????+3????)=????????+3????????这一过程用了什么运算定律？已知????????+3????????，能否写成????(????+3????)的形式？这两个过程有什么联系？?
?
????(????+3????)=????????+3????????
?
逆用乘法分配律，核心公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)
整式乘法
问题2：第二个等式中x的位置发生怎样的变化？尝试用自己的话解释这一因式分解的过程，小组讨论这种方法的本质是什么？
????????+3????????=????(????+3????)
?
公因式x提到括号外面来
因式分解
问题3：如何确定一个多项式 3 x 2 – 6 x y 的公因式？多项式的公因式仅指 “相同字母” 吗？
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法．
系数：不考虑符号，找出最大公因数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指数：
相同字母的最低次数
1
问题4 :用自己的话概括正确找出多项式的公因式的步骤有哪些？
3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即同字母的最低次数.
1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；
2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
1.写出下列多项式各项的公因式
(1)4kx-8y (2)6m4+20m2
(3)a2b-2ab2+ab
ab
4
2m2
活动1 用提公因式法因式分解下列多项式，并回答问题
探究二：掌握多项式因式分解
(1)4x2－6x3
(2) 8x?y4－12xy?z
(1)4x2－6x3
= 2x?· 2x-2x?· 3x
= 2x?(2－3x).
(2)8x?y4－12xy?z
＝ 4xy? · 2xy?－4xy? · 3z
＝4xy?(2xy?－3z).
问题 ：提公因式法的步骤有哪些？以及该如何检验这一过程是正确的？
1.找出公因式；2.提取公因式.用整式的乘法检验结果是否正确.
活动2 判断下列多项式的因式分解是否正确，如果错误，请说明理由.
(1)5x?－3xy＋x＝x(5x－3y);
(2)－3x?＋6xy－3xz = －(3x?－6xy＋3xz)=－3x(x－2y＋z);
(3)3x2?6x+3y3=3x(x-2)+3y3;
×，项x提出漏了 1
×，结果不是乘积的形式
√
(4)x2y + xy2+ x3y2 = xy(x+y+xy) .
×，分解结果错误
(5)2x? + 4x = x(2x + 4)；
×，公因式没有提尽
问题1 ：为什么说 “提公因式必须提尽”？提不尽可能导致什么问题？
“提公因式必须提尽” 的核心是确保分解的彻底性，这是因式分解的基本要求.提不尽可能导致分解不彻底、后续运算出错、结果不规范等问题.
问题3 ：通过解题过程，归纳出提公因式法的注意事项.
问题2 ：当多项式首项系数为负数时，如何处理符号？一定这样做吗？这样做的理由是什么？小组讨论并尝试不同做法.
－3x?＋6xy－3xz = －(3x?－6xy＋3xz)=－3x(x－2y＋z);
先提取“-1”，将括号内首项化为正数，同时括号内各项符号需反向;规范形式、简化计算、避免错误.
公因式提取（提全、提尽、符号正确）；形式规范（结果必须是 “整式的积”）；分解彻底；不要漏项；检验验证（整式乘法反向验证结果正确）.
2.因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a?－9ab；(3) －5a? + 25a.
解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3).
(2) 3a?－9ab = 3a(а－3b).
(3) －5a? + 25a = －5a(a－5).
活动3 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值.
问题1：根据已知条件，如何求出?a和?b的值吗？尝试计算一下，过程是否复杂？?用求出的?a、?b代入方便吗？小组讨论更简便的方法.
复杂；将 a2b＋ab2因式分解成用a+b和ab表示的形式，再整体代入.
问题2：a2b＋ab2 如何通过因式分解将其转化为含?a+b和?ab的式子？
提公因式法，原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28.
方法总结：含 a±b，ab 的求值题，通常将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可.
经过这一过程，有什么启示？
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面
提单项式公因式
定义
步骤
1.定系数
2.定字母
3.定指数
找公因式
提公因式
1. 多项式 15m3n2 + 5m2n - 20m2n3 的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn2
2. 下列多项式的因式分解，正确的是（　　）
A．12xyz - 9x2y2 = 3xyz（4 - 3xyz）
B．3a2y - 3ay + 6y = 3y（a2 - a + 2）
C．- x2 + xy - xz = - x（x2 + y - z）
D．a2b + 5ab - b = b（a2 + 5a）
B
C
3. 把下列各式分解因式：
(1) 8m2n + 2mn = _____________；
(2) 12xyz - 9x2y2 = _____________；
(3) - x3y3 - x2y2 - xy = _________________.
2mn ( 4m + 1)
3xy ( 4z - 3xy)
- xy ( x2y2 + xy + 1)
4. 把 - 24x3 - 12x2 + 28x 分解因式.
解：原式=?(24x3+12x2?28x)=?4x(6x2+3x?7)
?
5. 把下列多项式因式分解：
y(3x-5y+1)
（1）3xy-5y2+y；　
(4)-6m3n2-4m2n3+10m2n2.
-2m2n2(3m+2n-5)
(2) 8a 2c+ 2bc
(3)3x3 -3x2 –9x
(5)-4a 3b3 +6 a2 b-2ab
(6)-2x2 –12xy2 +8xy3
2c(4a2+b)
3x(x2-x-3)
2ab(-2a2b2+3a-1)
2x(-x-6y2+4y3)
或-2ab(2a2b2-3a+1)
或-2x(x+6y2-4y3)
6.已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值.
解：2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12.