第三章函数的概念与性质单元检测卷（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年

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第三章函数的概念与性质单元检测卷人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．下列四组函数中，能表示同一个函数的一组是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数则的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．1
5．函数在上的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．5
6．已知正实数满足则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
8．已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，若，则实数的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的定义域为，则（ ）
A．
B．
C．是偶函数
D．若对于任意的，有，则在上单调递增
11．已知，函数则以下说法正确的是（ ）
A．若有最小值，则
B．存在正实数，使得是上的减函数
C．存在实数，使得的值域为
D．若，则存在，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数是奇函数，则实数 ．
13．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数，若，则实数的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分 13分)（1），求的解析式；
（2）已知，求；
（3）已知为二次函数，且，求；
（4）已知且，求．
16．(本小题满分 15分)已知定义在上的函数图象关于原点对称．
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)解不等式．
17．(本小题满分 15分)已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，．
(1)证明：；
(2)判断函数的奇偶性，并给予证明；
(3)当时，求不等式的解集．
18．(本小题满分 17分)某科研小组研究发现：一颗梨树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过6百元时，；投入的肥料费用超过6百元且不超过10百元时，．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种梨的市场售价为18百元／百千克，且市场需求始终供不应求．记该棵梨树获得的利润为（单位：百元）．
(1)求利润的函数解析式；
(2)当投入的肥料费用为多少时，该梨树获得的利润最大？最大利润是多少？
19．(本小题满分 17分)已知幂函数在定义域上不单调．
(1)求函数的解析式；
(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若，求实数的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．B
【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可.
【详解】由题可得且，则且，
故函数的定义域为.
故选：B.
2．A
【分析】利用两函数的定义域相同，对应法则相同即可为同一个函数，分析判断即可.
【详解】A项：和的定义域均为，对应法则也相同，所以和是同一个函数；
B项：的定义域为的定义域为，所以和不是同一个函数；
C项：，其中，即，其中0，即，
所以和的定义域不同，故和不是同一个函数；
D项：和的定义域均为，但，
而对应关系不同，所以和不是同一个函数．
故选：A
3．C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】因为幂函数的定义域为，且在上单调递增，又为奇函数，
故在上单调递增，则由可推出，故充分性成立；
由也可推出，故必要性成立，所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．C
【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解.
【详解】根据题意，画出函数的图象如下：
由图可知，的最小值是.
故选：C
5．B
【分析】由对勾函数的单调性求解.
【详解】由对勾函数的单调性知,
函数在上单调递增，
所以．
故选：B
6．C
【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值.
【详解】设，则，
因为，
所以，即：，
所以，
解得：，
又因为，为正实数，
所以，
所以的最大值为.
故选：C.
7．D
【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的定义逐项判断.
【详解】在函数中，2023，
当时，，解得，
若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，B错误；
当时，，解得，
无法得到，A错误；
在函数中，由上可知，，且不一定恒为零，
因此是奇函数，C错误，D正确.
故选：D
8．B
【分析】首先根据偶函数性质判断函数的区间单调性，再将问题化为对任意恒成立，法一：应用特殊值及排除法，即可得；法二：进一步化为恒成立，结合已知区间确定左右两侧的最值，即可得范围.
【详解】定义在R上的偶函数在上是增函数，则在上是减函数，
若不等式对任意恒成立，
必有对任意恒成立，
法一：当时，对任意恒成立，排除A；
当时，对任意不恒成立，排除C，D；
法二：，
又，所以，，即.
故选：B
二、多项选择题
9．CD
【分析】分、、三种情况讨论，验证能否成立，即可得出合适的选项.
【详解】当时，，，，不合乎题意；
当时，，，，不合乎题意；
当时，，，，合乎题意.
故选：CD.
10．ABC
【分析】令、代入关系式求值判断A、B；令得，令求得判断C；令得，结合已知有判断D.
【详解】A：令，对；
B：令，则，对；
C：令，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，对；
D：令，则，所以，
又对于任意的，有，则所以，
所以在上不可能单调递增，错.
故选：ABC
11．AC
【分析】根据幂函数的性质可知在上单调递增，由函数有最小值可得在上的单调性和分段处函数值的大小关系，从而解不等式组求得的范围，知A正确；由幂函数的性质知B错误；假设的值域为，结合单调性和分段处函数值的大小关系可得的范围，知C正确；将代入，分别求出的表达式，比较可得二者值域没有交集，则D错误．
【详解】对于A，当时，在上单调递增，若有最小值，则，解得，故A正确；
对于B，当时，，由幂函数的性质知，当时，单调递增．故B错误；
对于C，在上单调递增，当时，；若的值域为，则，解得，故C正确；
对于D，若，则，当时，，则，，恒成立，不存在，使得，故D不正确；
故选：AC
三、填空题
12．2
【分析】根据奇函数的性质有求参数，注意验证即可得.
【详解】由题设，可得，即函数定义域为，
由函数为奇函数，则，故，
所以，满足题设.
所以.
故答案为：2
13．
【分析】由题意可得，从而有为偶函数，上单调递增，据此可解不等式.
【详解】函数的定义域为，关于原点对称，
当时，则，，
当时，则，，
综上所述：对，都有，
所以为偶函数，又时，，所以在上单调递增，
由，可得，
所以，平方得，
令，可得，整理得，解得或，
又，所以或，即或，
解得或或或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
14．
【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得.
【详解】①当，即时，，由解得（舍），
②当，即时，，
（Ⅰ）若，即时，有，解得；
（Ⅱ）若时，即时，有方程无解.
综上，．
故答案为：
四、解答题
15．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）将代入即可求解；
（2）解法1令，利用换元法即可求解；解法2配凑法由进而求解；
（3）设，利用待定系数法即可求解；
（4）利用方程组法即可求解.
【详解】（1）．
（2）解法1 换元法．令，则，
所以，所以．
解法2配凑法，
所以．
（3）设，
则，
所以，解得，
所以．
（4）由题意可得，解方程组，可得．
16．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合关于原点对称，计算即可；
（2）借助定义法证明即可得；
（3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得.
【详解】（1）由题意可得，
即，，故，
即，此时有，
故关于原点对称，故，
即的解析式为；
（2）在上单调递增；证明如下：
令，则
，
由，则，，，
故，即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，则有，
又因为在上单调递增，则有，解得，
所以原不等式的解集为．
17．(1)证明见解析；
(2)函数为偶函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）令，得到，令，得，结合已知得，即可证；
（2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证；
（3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式．
【详解】（1）令，则有，
由，得，即，所以．
令，，则，即，
因为，所以，所以；
（2）函数为偶函数，证明如下：
由（1）知，，令．则，
所以，所以，
所以函数为偶函数；
（3）令，则，
所以，所以．
因为，所以，
所以，即，即，
又，，所以．
当时，在区间上单调递减，
由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增，
所以，所以，解得．
所以当时，不等式的解集为.
18．(1)
(2)当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元
【分析】（1）结合题意，利用分段函数模型求出解析式即可；
（2）当时，由基本不等式求解；当时，由二次函数的性质求解，综合可得答案.
【详解】（1）由题意，，
即；
（2）当时，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最大值52；
当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为，
所以当投入的肥料费用为2百元时，该梨树获得的利润最大，最大利润是52百元．
19．(1)；
(2)奇函数，理由见解析；
(3).
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解.
（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）由幂函数，得，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；
所以函数的解析式为.
（2）函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
（3）由及为奇函数，
得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.
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