5.7三角函数的应用课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年

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5.7三角函数的应用课后提升训练人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．点在平面直角坐标系中位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图，在某个位置A处测得一旗杆ED的仰角为，对着旗杆在平行地面上前进60米到达点B，测得旗杆ED的仰角为原来的2倍.继续在平行地面上前进a米到达点C，测得旗杆ED的仰角为原来的4倍，其中A，B，C，D四点共线.若旗杆ED的高度为30米，则（ ）
A． B． C． D．
3．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（ ）
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
4．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ）
A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是
C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是
5．某同学坐旋转摩天轮时距地面的高度与时间的部分数据如下表：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
6 9 5.9 3 6 9 6.1 3 6
用函数模型近似刻画与之间的对应关系，则该同学在第25秒时距地面的高度约为（ ）
A． B． C．8.5m D．
6．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（ ）
A．12h B．14h C．16h D．18h
7．已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
8．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一平行四边形观赛场地，如图所示.则观赛场地的面积最大值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（ ）
A．
B．点P第一次到达最高点需用时5s
C．点P再次接触水面需用时10s
D．当点P运动2.5s时，距水面的高度为
10．潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中（单位：m）为港口水深，（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h，且中午12点的水深为8m，为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则（ ）
A．
B．最高水位为10m
C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入
D．一天内限制船只出入的时长为4h
11．“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为（其中（单位）为港口水深，（单位）为时间，）.若某轮船当水深大于时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（ ）
时间 1 4 7 10 13 16 19 22
水深 11 12.5 14 12.5 11 12.5 14 12.5
A．
B．
C．该轮船9点可以进出港口
D．该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长不超过4小时
三、填空题
12．已知某地区某天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系，且这天的最大温差为，则 ；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 h．
13．某类导弹的制导是通过导弹上的雷达接收控制方发出的回波信号来控制的，其回波信号由函数实现．我们把函数称为载波，载波的振幅称为回波信号的强度，两个函数解析式相加称为载波的叠加．已知强度相同的两个载波与叠加后，其回波信号的强度不变，则的最小值为 ．
14．某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量（单位：）关于时间单位：h）的关系均近似地满足函数．其图象如图所示：
(1)根据图象求函数解析式；
(2)若甲车间先投产，1h后乙车间再投产，求两车间都投产时的最大污水排放量．
16．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处．
(1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？
(2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．
(3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值．
17．某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上．经过测量，在扇形中，，记，共设计了两个方案．
方案一：如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为；
方案二：如图2，点分别在半径和上，点在扇形弧上，，记此时矩形的面积为．
(1)分别用表示两个方案中矩形的面积；
(2)分别求出两个方案中矩形面积的最大值，若面积越大方案越好，你会选择哪个方案
18．如图，已知墙角处有一根木棍过定点．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值．
19．函数的部分图象如图所示，其中A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且为正三角形．
(1)求实数的值；
(2)已知时，都有，求实数m的取值范围；
(3)若，且，求的值．
参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】根据5弧度和4弧度与π之间的大小关系确定角的终边所在的象限，再通过角的三角函数值的符号判断点的坐标的符号，得出点对应的象限.
【详解】
(第四象限)，(第三象限).
第四象限中：
第三象限中：
点在平面直角坐标系中位于第三象限
故选：C.
2．B
【分析】根据题意，在三角形EBC中，利用余弦定理可求.
【详解】如图，在直角三角形EBD中，，，所以，
在三角形EBC中，由余弦定理得，，解得.
故选：B.
3．A
【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可.
【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期
故选：A.
4．B
【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得.
【详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是.
故选：B
5．A
【分析】由表格中的数据求得函数解析式为，代入计算可得结果.
【详解】根据表格数据可知最大高度为9m，最小高度为3m，
不妨取，因此可得，解得；
数据完成一个周期用时为12秒，因此周期，可得；
因此函数模型为，
代入，可得.
故选：A
6．C
【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解.
【详解】由题知解得所以．
令，即．因为，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得，
所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时．
故选：C
7．D
【分析】根据函数的频率为周期的倒数，结合正弦函数周期的定义即得答案.
【详解】因为小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4，
所以，
则.
故选：D.
8．D
【分析】连接，设，可用的三角函数值表示，，即可得到四边形的面积，再根据三角函数的值域的求法即可求解．
【详解】如图所示：
连接，设，作，，垂足分别为，
由四边形是平行四边形，可知为矩形，又，则，，，
于是，．
因此四边形的面积也为四边形的面积，
即有
，而，则当时，，
所以.
故选：D
二、多项选择题
9．BC
【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【详解】函数中，所以，
时，，解得，因为，所以，
所以，A错误；
令得，则，解得，
所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确；
由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确；
当时，，点P距水面的高度为2米，D错误．
故选：BC
10．ABC
【分析】根据余弦函数的图象和性质解出判断AB，解不等式判断CD即可.
【详解】依题意，解得，A正确；
当时，，解得，所以最高水位为10m，B正确；
由上可知，令，即，
解得或，
所以从上午8点开始首次限制船只出入，一天内限制出入时长为8h，C正确，D错误，
故选：ABC
11．BC
【分析】根据表中数据求出可判断A B C；求出时，轮船从0点到12点在港口可停留的时间，结合的单调性可判断时停留的时间比时停留的时间长可判断D.
【详解】对于A，由表格数据可得，故A错误；
对于B，由表格数据可得，解得，，
所以，因为点在函数图象上，
所以，即，又因为，
所以，故B正确；
对于C，当时，，故C正确；
对于D，由，得，
由得，
即，当时，，，
因为得该轮船从0点到12点，在港口可停留的时间最长超过4小时，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12． 4 6
【分析】根据题意结合正弦函数的图象和性质求解即可.
【详解】对于，其最小正周期，
故这天的最大温差即为的最大值与最小值的差，
又，故，解得，
令，即，，
由，得，
所以或，解得，
则一天中需要降温的时长为，
故答案为：4；6
13．
【分析】两式子相加然后按照两角和的正弦公式展开并使用辅助角公式可知，最后计算即可.
【详解】
，
叠加后强度为，
则，即，故的最小值为．
故答案为：
14．
【分析】整理可得，分析可知最大温差为，由题意得，再利用基本不等式运算求解.
【详解】因为，
且的最小正周期为，即正好为一个满周期，
可知的最大值为，最小值为，
所以最大温差为，
由题意得，即
又因为为正实数，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用图象可得，再将点代入即可求；
（2）构造时刻的污水排放量，利用两角和差的余弦公式以及辅助角公式化简即可；
【详解】（1）由图可得．
最小正周期，
将代入，得
又，
所求函数的解析式为．
（2）设乙车间投产甲、乙两车间污水排放量之和为，
此时甲车间污水排放量为，乙车间污水排放量为，
故，
．
故两车间都投产时的最大污水排放量为．
16．(1)，2
(2)图象见解析
(3)5
【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解；
（2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可；
（3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值.
【详解】（1）由题意可知，
又，所以，
所以，
因为，所以每8秒钟点往复运动2次．
（2）由取值列表如下，
0 4
2 0 －2 0
图象如图所示：
（3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标，
由，得，
则或，
解得或，
将方程的正根从小到大排列得，所以．
17．(1)，；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据给定条件用表示出相关线段，再应用矩形面积公式求的表达式，注意自变量范围；
（2）应用三角恒等变换化简，再应用正弦型函数的性质求面积的最大值，并比较大小，即可得结论.
【详解】（1）如下图，在中，，
所以，
在中，，
则，
如下图，过点作于点，过点作的垂线，交弧于点，
在中，，所以，
由扇形和矩形的对称性得，，
在中，，则，
，
则；
（2）方案一：，
由，得，
当，即时，取最大值，为．
方案二：，
由，得，
当，即时，取最大值，为，
因为，
所以，故选方案一.
18．(1)4．
(2)．
【分析】（1）设，用表示出和，利用三角函数的取值范围得到的最小值；
（2）令，利用，得到，利用均值不等式得到最值.
【详解】（1）设，
则，，，
所以，
因为，，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4．
（2）令，
则
，
即的最小值为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式降幂后化积，由为正三角形求得函数的半周期，从而求得周期，则的值可求；
（2）求出函数的单调递增，即可求出实数m的取值范围，
（3）根据题干先求出，进而求出，利用和差角公式即可求出结果.
【详解】（1）由得：，
又正三角形的高为，从而;所以函数的周期
（2）因为，都有，故须在单调递减区间内，
由（1）得，由，解得：，令,得单调减区间为
故函数在区间上单调递减，故；
（3）由，所以，
整理得：，因为，所以，
所以，
所以
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