第四章指数函数与对数函数单元检测卷（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年

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第四章指数函数与对数函数单元检测卷
人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则（ ）
A．14 B．21 C．42 D．48
2．若函数在区间单调递增，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
4．关于的不等式（其中，为自然对数的底数）的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间内只有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．当时， B．在上单调递增
C．的值域为 D．有2个零点
10．若正整数的公约数只有1，则称互质.设为正整数，则函数表示小于或等于且与互质的正整数的个数，例如，.函数以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数.下列关于欧拉函数的命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正实数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
612．若函数，则的值为 ．
13．已知函数是定义域为R的偶函数，则 ．
14．设函数（且）在上是增函数，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分 13分)（1）计算：.
（2）已知，，求的值.
16．(本小题满分 15分)已知函数．
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)判断的单调性，并利用单调性的定义证明你的结论；
(3)任意，求实数的所有整数解.
17．(本小题满分 15分)已知函数是偶函数，是奇函数，且．
(1)求和的解析式；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
18．(本小题满分 17分)已知为奇函数，．
(1)求实数的值；
(2)求函数的值域；
(3)若函数有两个零点，求实数的取值范围．
19．(本小题满分 17分)已知函数．
(1)求方程的解．
(2)记函数．
（i）若有3个零点，求的取值范围；
（ii）若，且，求证：．
参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.
【详解】，
故选:C.
2．D
【分析】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有，即可得.
【详解】令，又在R上单调递减，
所以要使在区间单调递增，
则在区间单调递减，
所以由的开口向上且对称轴为得，解得.
故选：D
3．B
【分析】根据对数运算的性质可得，即可求得答案.
【详解】由已知得，整理得，得或．
，即，
则,
故选：B
4．C
【分析】根据题中式子变形得关于的等式，构造函数，根据函数的单调性解得不等式解集；
【详解】题中式子变形为.
令，则在定义域上单调递增，
且原不等式等价于.
所以，.即
故选：C.
5．C
【分析】根据复合函数的单调性法则，结合图象找出使得函数单调递减以及满足对应的的取值范围即可．
【详解】因为在上为减函数，
所以只要求得的单调递减区间，且即可．
由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是和．
因此，函数的单调递增区间为．
故选：C.
6．C
【分析】画出奇函数的图象，将题意转化为函数的图象与直线的交点的横坐标的和，数形结合可得结果．
【详解】由题意得方程的根是函数的图象与直线的交点的横坐标，
根据分段函数的解析式，以及是定义在上的奇函数，作出函数的图象如图所示：

作出直线，由图可知，与的图象有5个交点，从左到右依次记为，
根据的图象的对称性可得，
根据是奇函数得，，
所以，
由得，
所以，
故选：C
7．C
【分析】方法一：根据函数的零点个数分类讨论，再结合零点存在性定理，解不等式组确定参数取值范围.
方法二：对解析式变形，在统一平面直角坐标系中画出函数图象，利用数形结合法求解.
【详解】解法一：
当函数只有一个零点且在区间内时，
；
当函数有两个零点时，，解得或，
当时，显然在上恒成立，此时无内的零点，
当时，又在内只有一个零点，则或或，
即或或，
解得或或．
综上所述，实数的取值范围是．
故选：C.
解法二：
由，得，又，所以，
所以，
令，，，要使在区间内只有一个零点，
只需直线与的图象在上只有一个交点，作出两函数图象如图所示，
由图可知或，解得或，
所以的取值范围是．
故选：C.
8．B
【分析】将指数式转化为对数式，从而利用对数函数的单调性进行放缩．
【详解】由已知得,, ,
则，即，
又，即，
因此．
故选：B
二、多项选择题
9．BCD
【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出的解析式，再逐项判断即得.
【详解】定义在R上的奇函数，，当时，，
对于A，当时，，则，A错误；
对于B，当时，，则在上单调递增，B正确；
对于C，当时，的取值集合为；；
当时，的取值集合为，因此的值域为，C正确；
对于D，由，得，
当时，，解得；
当时，；
当时，，解得，因此有2个零点，D正确.
故选：BCD
10．AC
【分析】对于AC：利用欧拉函数定义求解判断；对于BD：举反例说明即可.
【详解】因为小于或等于5的正整数中与5互质的正整数为1，2，3，4，
小于或等于的正整数中与互质的正整数为1，3，7，9 ，所以，故A正确；
当时，，故B错误；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的正整数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，
21，23，25，27，29，31，共16个，所以，故C正确；
因为当时，，故D错误，
故选：AC.
11．AD
【分析】由题意得，对于AB，，由基本不等式即可判断；对于CD，，利用两次基本不等式即可判断.
【详解】由得．
因为，所以，
故，
当且仅当，即时，等号成立，A正确，B错误；
由得，故，当且仅当，即时，等号成立．
又，当且仅当，即时，等号成立，
故，即，C错误，D正确．
故选：AD.
三、填空题
12．
【分析】方法一：根据整体换元，结合指数运算，可得答案.
方法二：用换元法求得的解析式，再结合对数恒等式可得答案.
【详解】方法一：令，得，
则．
方法二：令，则，
所以，即，
则．
故答案为：.
13．
【分析】法一：由偶函数性质有恒成立，求参数值，进而求函数值；法二：由偶函数得求参数值，注意验证，进而求函数值.
【详解】法一：由函数是定义域为R的偶函数，得恒成立，
即恒成立，即恒成立，
又不恒为0，所以，则；
法二：，，因为函数是定义域为R的偶函数，
所以，即，解得，
经检验，此时为偶函数，故，
所以．
故答案为：
14．
【分析】根据对数函数的单调性结合分段函数的单调性列不等式组计算求参.
【详解】因为函数（且）在上是增函数，
所以解得．
故答案为：
四、解答题
15．（1）；（2）8
【分析】（1）根据分数指数幂的定义，任何非零数的0次幂为1，以及负指数幂的运算法则对原式进行化简计算.（2）根据对数运算法则，将指数式转化为对数式，再利用换底公式计算求出的值.
【详解】（1）原式
.
（2） 由，，
可得，.
所以.
16．(1)奇函数，证明见解析
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用奇偶性的定义结合对数的运算证明即可；
（2）利用单调性的定义任取满足，结合对数的运算判断的符号证明即可；
（3）由在上的单调性求出的最值，解不等式即可.
【详解】（1）函数是奇函数，证明如下：
，所以，解得函数定义域,
因为任意，都有，
又，所以函数是奇函数.
（2）在上单调递减，证明如下：
法一：任取满足，
因为
＝，
因为，，且单调递增，
所以，，
依据同向不等式的可加性，
所以，
即，所以在上单调递减．
法二：任取满足，因为，
所以，
因为，，
所以，即，
所以，即，所以在上单调递减．
（3）由第（2）问知在上单调递减，
所以，
因为，
所以，
所以，即得，解得，
因为，所以或．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的奇偶性，列出方程组，即可求得答案；
（2）分离参数，可得在区间上恒成立，继而构造函数，将问题转化为求解函数最值问题，即可求得答案.
【详解】（1）因为函数是偶函数，是奇函数，且，
故，即，
故可得，解得，
即.
（2）由，可得，
结合题意可知在区间上恒成立；
由于均为R上单调递减函数，故在区间上单调递减，
故，
故在区间上恒成立；
设，则，
由于在上单调递增，故在上单调递减，
则在上单调递增，
故，
故实数的取值范围为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质求得，然后检验满足即可得解；
（2）根据，结合不等式性质求解函数的值域；
（3）先判断为增函数，令，然后将函数有两个零点转化为在上有两不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可.
【详解】（1）函数定义域为，
因为为奇函数，所以
当时，，所以，故，
则，经检验，满足条件，故．
（2）因为，所以，
所以，即，所以，
所以函数的值域．
（3）因为为增函数，所以为增函数，为减函数，
所以为增函数．令，则．
由（2）可知，当时，仅一根，
所以在上有两不等根，
所以，解得，所以．
19．(1)，；
(2)（i）；（ii）证明见解析.
【分析】（1）由题设，解方程并结合指对数关系求解即可；
（2）（i）令，分类讨论解及零点个数确定参数范围；
（ii）方程有两个正根，，且，设有 ，即可证.
【详解】（1）因为，所以，
解得或，即或，方程的解为，．
（2）（i）函数，
令，方程转化为：．
分情况讨论的符号：
当：方程化为，解为，只需，存在唯一解；
当：方程化为，对于，
有，则，只需，存在唯一解；
当：方程化为，解为，只需，存在唯一解；
当：方程化为，对于，
有，则，只需，存在唯一解．
综上，当时方程在三个区间各有一个解，共3个零点，故的取值范围为．
（ii）由题意，，，设，
等价于方程有两个正根，，且，
，则，
，解得，
．
设，则，故，
所以．
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