必修一第四章指数函数与对数函数单元测试卷（培优卷）（含解析）

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必修一第四章指数函数与对数函数
单元测试卷（培优卷）
一、选择题(共8题；共40分)
1．已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．设，，，则（　　）
A． B． C． D．
5．设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知且恒成立，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．给出定义：若 （其中 为整数），则 叫做离实数 最近的整数，记作 ，即 .设函数 ，二次函数 ，若函数 与 的图象有且只有一个公共点，则 的取值不可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数 ， ，若正实数 互不相等，且 ，则 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题(共3题；共18分)
9．若指数函数 在区间 上的最大值和最小值的和为 ，则 的值可能是（　　）.
A． B． C． D．
10．下列说法正确的是（　　）
A．函数的增区间是
B．函数是偶函数
C．函数的减区间是
D．幂函数图象必过原点
11．已知函数 （ 且 ）的图象过定点 ，正数 、 满足 ，则（　　）
A． B． C． D．
三、填空题(共3题；共15分)
12．　 　.（请用数字作答）
13．若，则　 　．
14．已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为　 　．
四、解答题(共5题；共77分)
15．已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
16．已知函数 ，其中 是不为零的常数．
（1）若 ，求使得 的实数 的取值范围；
（2）若 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值．
17．已知函数．
（1）若的定义域为，求a的取值范围；
（2）若的值域为，求a的取值范围：
（3）若，求的值域：
18．已知定义在上的函数为奇函数.
（1）求的值，试判断的单调性，并用定义证明；
（2）若，求的取值范围.
19．设函数 .
（1）当 时，求 的值域；
（2）若 有且只有一个零点，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】由可得，，即，
由得，，
根据对数运算法则可知，
即.
故答案为：D
【分析】根据对、指数运算求出a、b，再根据对数运算法则可得出a、b的关系.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：对于A：，A符合题意；
对于B：，B不符合题意；
对于C：，C不符合题意；
对于D：，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】A.，A不符合题意；B.，B不符合题意；
C.，C不符合题意；D. ，D符合题意.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合根式与分数指数幂的互化公式，进而得出正确的选项。
4．【答案】C
【解析】【解答】，
，即
所以
故答案为：C
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解，可得答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】函数的图象如图所示，
关于x的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交点，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再结合分段函数的图象结合两函数的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而找出实数a的取值范围。
6．【答案】C
【解析】【解答】因为，则且、均为正数，
由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，的最小值为，所以，，即，解得.
故答案为：C.
【分析】由对数运算性质得，由基本不等式可得，所以，解不等式即可.
7．【答案】C
【解析】【解答】当 时， ， 为整数，
只需考虑当 时， 与 的图象交点个数，
由 得 ，
时 0；此时 与 有一个交点（0，0），
时 ， 与 有一个交点（0，0），
时 ； 与 有两个交点（0，0）， ；
时 与 有一个交点（0，0），
故答案为：C.
【分析】本题利用函数f(x）与g(x）的图象有一个公共点的关系求出a和b的值，再利用分类讨论的芳法找出满足要求的a和b的值。
8．【答案】A
【解析】【解答】
函数 ，若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，如图，不妨a由已知条件可知：0∵ lna=lnb，∴ab=1
∵lnb=2 1nc∴bc=e2，
∴ ，(1【分析】大致绘制出f(x)的图像，结合图像可知，得到a，b，c的关系，进而可以求解出，即可得出答案。
9．【答案】A,B
【解析】【解答】当 时，指数函数 单调递增，所以在区间 上的最大值 ，最小值 。所以 ，求得 或者 （舍）；
当 时，指数函数 单调递减，所以在区间 上的最大值 ，
，所以所以 ，求得 （舍）或者 .
综上所述： 或者 .
故答案为：AB
【分析】分别讨论 单增和 单减两种不同的情况即可较易求解
10．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A，由解得或，
∴定义域为，
令，则当时，单调递增，
令，其图象为开口向上，对称轴为直线的抛物线，当时，单调递减，当时，单调递增，
又∵定义域为，
∴由复合函数的单调性知，的增区间是，A不符合题意；
对于B，令，定义域为，，都有，
且，∴是偶函数，B符合题意；
对于C，定义域为，
令，则当时，单调递减，
令，由A选项的判断过程，当时，单调递减，当时，单调递增，
∴由复合函数的单调性知，的减区间是，C符合题意；
对于D，幂函数的定义域为，其图象不过原点，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性可判断A；根据函数的奇偶性的定义可判断B；根据指数函数的单调性结合复合函数的单调性可判断C；根据幂函数的图象和性质可判断D.
11．【答案】A,B,D
【解析】【解答】在函数 的解析式中，令 可得 ，且 ，
所以，函数 的图象过定点 ， ，所以 ，所以A符合题意；
由重要不等式 ，可得 ，故 ，
当且仅当 时取等号，所以B符合题意；
由基本不等式可得， ，当且仅当 时取等号，C不符合题意；
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合对数函数图象恒过定点的性质，进而求出函数 （ 且 ）的图象过的定点坐标，从而结合 ， 进而求出m+n的值；再利用均值不等式求最值的方法，进而求出 ，当且仅当 时取等号；再利用基本不等式求最值的方法得出 ，当且仅当 时取等号；再利用基本不等式求最值的方法得出，即 时取等号，从而选出正确答案。
12．【答案】2
【解析】【解答】
，
故答案为：2
【分析】利用分数指数幂及对数运算性质求解即可.
13．【答案】3
【解析】【解答】因为，所以，，
此时，化简得，
所以，，
所以3.
故答案为：3.
【分析】根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到a. b之间等量关系，代入到a，b，c三者关系中，找到b， c的关系，即可求解出的值.
14．【答案】
【解析】【解答】由题意知： 定义域为 ，且
等价于
即：
在 上单调递增； 在 上单调递增
在 上单调递增 ，解得：
本题正确结果：
【分析】由函数解析式可知定义域为 ，可验证得 ，从而将不等式等价转化为 ；判断出 的单调性后，可将函数值的比较转化为自变量的比较，得到不等式，进而求得结果.
15．【答案】（1）解：，所以
（2）解：，所以；
，所以
【解析】【分析】（1）把两边同时平方，即可求解；
（2）由（1）得，两边同时平方可得，再结合完全平方差公式，即可求解.
16．【答案】（1）
；
（2）结合复合函数同增异减性质可知，
当 时， 在 上单调递增，此时，
当 时， 在 上单调递减，此时，
综上所述， 或 -14．
【解析】【分析】(1)根据题意把数值代入计算出a的取值，由此得出函数的解析式，然后由指数函数的单调性即可得出关于x的不等式，求解出x的取值范围。
(2)由复合函数的单调性结合指数函数和一次函数的单调性，整理化简计算出函数的最值，由此计算出a的取值。
17．【答案】（1）解：的定义域为等价于恒成立，
则，解得；
（2）解：的值域为等价于是值域的子集，
即存在，使得成立，
则，解得；
（3）解：时，，
，又是递增函数，
故，故的值域为.
【解析】【分析】（1）的定义域为等价于恒成立， 进而求解；
（2） 的值域为 ，等价于存在，使得成立， 进而求解即可；
（3） 时，先计算得，再借助的单调性进行求解.
18．【答案】（1）解：因为函数为上的奇函数，则，即，
即，解得，
所以，，则函数为上的减函数，证明如下：
任取、且，则，
所以，，
则，所以，函数为上的减函数；
（2）解：由且函数为上的减函数，
则，解得，
因此，满足不等式的的取值范围是.
【解析】【分析】（1） 由函数为上的奇函数，求得，得到，结合函数的单调性的定义和判定方法，即可求解；
（2） 由，根据函数的单调性，得到不等式，即可求解.
19．【答案】（1）解：当 时， ，
令 ， ， .
当 时， ，
所以 的值域为 .
即 的值域为
（2）解：因为 ，
设 ，则 有且只有一个零点等价于方程 有且只有一个正实根.
①若 有一根为0时，则 ，即 ，
则 ，所以 ，不合题意，舍去；
②若 有一正实根和一负实根时，则 ，即 ；
③若 有两相等正实根时，则 ，无解.
综上，实数 的取值范围是 .
【解析】【分析】（1）利用m的值求出函数的解析式，再利用换元法将函数转化为二次函数，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出函数f(x)的值域。
（2）利用 ，设 ，再利用函数的零点与方程的根的等价关系，则 有且只有一个零点等价于方程 有且只有一个正实根，再利用分类讨论的方法结合韦达定理和判别式法，从而求出实数 的取值范围 。
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：150分
分值分布 客观题（占比） 68.0(45.3%)
主观题（占比） 82.0(54.7%)
题量分布 客观题（占比） 13(68.4%)
主观题（占比） 6(31.6%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 8(42.1%) 40.0(26.7%)
填空题 3(15.8%) 15.0(10.0%)
解答题 5(26.3%) 77.0(51.3%)
多项选择题 3(15.8%) 18.0(12.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (31.6%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (26.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 对数函数的图象与性质 11.0(7.3%) 8,11
2 函数解析式的求解及常用方法 14.0(9.3%) 16
3 对数函数的概念与表示 26.0(17.3%) 14,17
4 幂函数的图象与性质 6.0(4.0%) 10
5 指数函数单调性的应用 34.0(22.7%) 9,16,18
6 根式与有理数指数幂的互化 5.0(3.3%) 3
7 复合函数的单调性 20.0(13.3%) 10,16
8 函数的奇偶性 6.0(4.0%) 10
9 函数的最大（小）值 14.0(9.3%) 16
10 基本不等式在最值问题中的应用 6.0(4.0%) 11
11 对数函数的单调性与特殊点 16.0(10.7%) 4,10,14
12 有理数指数幂的运算性质 24.0(16.0%) 12,13,15
13 一元二次不等式及其解法 5.0(3.3%) 6
14 对数函数的值域与最值 21.0(14.0%) 17
15 函数的值域 14.0(9.3%) 19
16 指数式与对数式的互化 5.0(3.3%) 13
17 对数的性质与运算法则 20.0(13.3%) 1,2,6,12
18 指数函数的单调性与特殊点 11.0(7.3%) 4,10
19 函数的零点与方程根的关系 24.0(16.0%) 5,7,19
20 基本不等式 5.0(3.3%) 6
21 函数单调性的判断与证明 14.0(9.3%) 18
22 函数的零点 5.0(3.3%) 7
23 函数单调性的性质 14.0(9.3%) 18
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