4.5.1函数的零点与方程的解课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年

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4.5.1函数的零点与方程的解课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．函数的零点为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知函数，则方程的根的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．已知曲线与直线无交点，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知函数，，若曲线与恰有三个交点，则（ ）
A． B．或1 C．1 D．2
8．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数与的图象交点的横坐标为，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若函数有一个零点是1，则函数的零点是 ．
13．若函数在上有两个零点，则参数的取值范围是 ．
14．已知函数若有三个零点，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知关于的方程．
(1)当为何值时，方程的两根都大于0？
(2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？
(3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？
16．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知，且在时恒成立，求的取值范围；
(3)若关于的方程有两个不相等的实数根，且，求的取值范围．
17．已知函数，其中为常数，且．
(1)若是奇函数，求的值；
(2)证明：在上有唯一的零点．
18．已知．
(1)若函数满足，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由；
19．已知函数.
(1)若函数有4个零点，，，（），求与；
(2)是否存在非零实数和闭区间，使得函数在上的值域为？若存在，求出的取值范围.若不存在，请说明理由.
参考答案
一、单项选择题
1．D
【分析】直接解方程即得函数的零点.
【详解】令，即，解得,
所以函数的零点为或.
故选：D
2．B
【分析】利用零点存在性定理即可判断.
【详解】的定义域为．
因为和均在上单调递减，所以也在单调递减．
又，，，则，故零点位于区间内．
故选：B
3．B
【分析】由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．再根据,可知函数有且只有一个零点.
【详解】解：由 和 都在 上连续且单调递增，得 在上连续且单调递增，所以函数 最多有1个零点．
因为 ,,所以函数有且只有一个零点.
故选：B.
4．C
【分析】转化问题为函数和函数的图象在上的交点问题，进而结合图象求解即可.
【详解】原方程即为，变形得，
要求方程根的个数，
即求函数和函数的图象在上的交点个数，
作出两函数的图象如图所示，

由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根．
故选：C.
5．C
【分析】由题意可得无解，分和两种情况讨论可求解.
【详解】因为曲线与直线无交点，所以无解，
所以无解，所以无解，
当时，方程无解，
当时，方程为，解得，
故时，曲线与直线无交点.
故选：C.
6．C
【分析】根据题意，分析每一段零点个数，当时，易得一个零点，当，根据单调性及零点存在定理判断即可.
【详解】当时，令，解得，
当时，，，
，所以在上存在零点，
又因为在上单调递增，所以函数在上有唯一零点．
综上，的零点个数为2.
故选：C.
7．C
【分析】依题意，均为偶函数，两函数恰有三个交点，可知轴左右两侧的交点必然成对出现，要使其有三个交点，，计算，解得.对分类讨论计算交点；
【详解】易知，均为偶函数，若曲线与恰有三个交点，
由，均为偶函数可知两函数在轴左右两侧的交点必然成对出现，要使其有三个交点，
则需在处也相交.所以，即，解得.
当时，，，此时只有一个交点，不符题意；
当时，，，此时有，，三个交点，故.
故选：C.
8．C
【分析】解法一：将问题转化为函数与的图象有2个交点，进而结合图象求解即可；
解法二：设，将问题转化为直线与函数的图象有2个交点，进而结合图象求解即可.
【详解】解法一：由，即，
函数存在2个零点等价于函数与的图象有2个交点，作出图象如图1，
当直线同时过点和时，，
此时直线与的图象有2个交点，
结合图象可知，解得．
解法二：由，即，设，
则，
因为函数都为增函数，
所以在上都单调递增，
画出函数和的大致图像，如图2所示，
可知当直线过点时，，此时直线与函数的图象有2个交点，
结合图像可知，解得．
故选：C.
二、多项选择题
9．BC
【分析】根据题意分析的图像，令，由零点个数可确定有2个不同的实数解，且，再由二次函数零点分布求解即可.
【详解】令，则方程，即，
由题可得，在上单调递减，在上单调递增，
据此作出函数的大致图象，如图1所示，
作直线，则当或时，直线与曲线有1个交点；
当或时，直线与曲线有2个交点；
当时，直线与曲线有3个交点．
作出函数的可能的大致图象，如图2，横轴为轴，纵轴为轴，
所以要使方程有6个不同的解，
则有2个不同的实数解，且，
则，解得.
故选：BC.
10．BCD
【分析】由题可知即可确定A，再利用基本不等式可得得到B；根据立方和公式得即可判断C；根据求解即可确定D.
【详解】易知，因为，所以，两边同时取对数得，A错误；
因为，易知在上恒成立，故等号不成立，所以，B正确；
因为，同上等号不成立，故，故C正确；
因为，所以，D正确．
故选：BCD.
11．CD
【分析】作出函数的图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项.
【详解】作出的图象，设，
则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，
函数的图象如图所示，
对于A，因为的图象关于直线对称，所以．A错误；
对于B，因为，由图象可得，
所以，解得．B错误；
对于C，由图象可得，所以．C正确；
对于D，由图象可知，又，，
所以．D正确.
故选：CD.
三、填空题
12．，0，1
【分析】根据函数的零点可得，再令可得答案.
【详解】由题意可得，可得．可得，
令，得，解得或或．
因此函数的零点是，0，1．
故答案为：，0，1．
13．
【分析】由题进行参数分离得，令，即有两个交点，根据函数图像求解即可.
【详解】因为在上有两个零点，
所以，
令，
则有两个交点，
由图象可得，
即.
故答案为：.
14．
【分析】数形结合法：先对解析式分析函数单调性，求得端点值和最小值，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解即可
【详解】当时，在单调递减，在单调递增，
则，；
当时，在单调递增.
如图，作出的大致图象，
只需函数与的图象有三个交点，结合图象得的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．(1)
(2)
(3)
【分析】结合图象与轴交点的位置讨论方程根的情况．
【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为．
两根都大于0，如图1所示，则，解得．
（2）一个根大于1，另一个根小于1，如图2所示，则，解得．
（3）一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，如图3所示，则，解得．
16．(1)或．
(2)．
(3)．
【分析】（1）利用因式分解法和数形结合法易得；
（2）在时，判断，利用参变分离法将不等式化成，求出的最大值即得；
（3）利用求得，根据韦达定理化简所求式，结合的范围即可求得所求式范围.
【详解】（1）当时，，即，
解得或．故不等式的解集为或．
（2）由①，因时，，
将①式分离参数得，因，所以．
（3）由题意可知，且解得或，
又，可得，故，
因，
由可得，则有，
故的取值范围是．
17．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由奇函数的性质有，求解即可；
（2）根据指数函数、分式型函数的单调性判断的单调性，再应用零点存在性判断区间零点个数，即可证.
【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，
由是奇函数，得
，
解得；
（2）函数，因为函数在上单调递增，
所以在上单调递增，又在上单调递增，
因此在上单调递增，
而，，
所以在上有唯一的零点.
18．(1)．
(2)在上有唯一的零点0，理由见解析
【分析】（1）由题意整理函数表示，整理方程组，可得答案；
（2）利用分离参数化简函数解析式，根据复合函数单调性，结合零点存在性定理，可得答案.
【详解】（1）因为，
所以．而，
所以，解得．
（2）由（1）可得，．
因为在上为减函数，
所以在上为减函数，
所以在上为增函数，
所以在上为增函数．
又，
所以在上有唯一的零点0．
19．(1)，
(2)存在，实数的取值范围是
【分析】（1）由题意得到方程有4个不同的解，即方程各有两个实数根，根据韦达定理即可得解；
（2）由题意在上单调递减，在上单调递增，对的范围进行讨论，利用根的分布情况求解即可.
【详解】（1）因为函数有4个零点，
所以方程有4个不同的解，
于是方程都各有两个不同的解，
即方程各有两个实数根，
所以，；
（2）因为函数在上都是增函数，
所以函数在是增函数，
又当时，，
则当时，，当时，，
故，
所以在上单调递减，在上单调递增，
①函数在上不单调，则有，且，
由于，所以，与假设矛盾；
②时，则函数在上单调递增，
有，即，
所以，
所以是一元二次方程的两个不相等的实数根，
记，
有，所以；
③当时，则函数在上单调递减，
应有，即，
两式相减整理得，所以；
两式相加得，
整理得，
又，
所以
所以，
所以，
所以，与矛盾，满足条件的实数不存在.
综上所述，实数的取值范围是，
所以存在，实数的取值范围是.
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