4.4.2对数函数的图象和性质课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年

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4.4.2对数函数的图象和性质课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．三个数的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．函数与的图象只可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
3．若是奇函数，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．函数（且）的图象所过定点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，令，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域是
B．的解集为
C．是奇函数
D．在区间上单调递增，在区间上单调递减
11．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．方程有两个不等的实数解
C．关于的方程的解的个数可能为2，3，4，5
D．不等式的解集为
三、填空题
12．已知为奇函数，则实数的值是 ．
13．已知函数的值域为，则实数的值为 .
14．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．已知函数（且）．
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)当时，若，求实数m的取值范围．
16．已知函数（且）的图象过点.
(1)求；
(2)当时，存在偶函数和奇函数，使得.
（i）求和的解析式；
（ii）求不等式的解集.
17．已知函数的图象过坐标原点，且无限接近直线但又不与该直线相交．
(1)解关于t的不等式；
(2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若函数的图象经过原点，求在的值域.
19．已知函数是奇函数．
(1)求a的值；
(2)若，当时，恒成立，求m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．D
【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数的性质比较大小即得.
【详解】依题意，，
所以.
故选：D
2．C
【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得.
【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错；
B中，由的图象知，则为减函数，B错；
C中，由的图象知，则为减函数，所以C对；
D中，由的图象知，此时无意义，D错．
故选：C.
3．B
【分析】利用奇函数的定义域区间对称性求参数，再由求参数，进而验证即可得.
【详解】若，则的定义域为，不关于原点对称，所以．
若奇函数有意义，则且，所以且．
因为奇函数的定义域关于原点对称，由，解得．
由，得，所以．
所以，经验证满足题设.
故选：B
4．B
【分析】根据函数解析式列不等式，再利用对数函数性质和指数函数不等式求解即可.
【详解】由题意，所以，即，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B
5．B
【分析】由复合函数单调性可得，再解不等式组即可.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增，且大于零恒成立，
则，解得.
故选：B.
6．A
【分析】令即可求得定点坐标.
【详解】令，得，此时，故定点坐标为.
故选：A
7．C
【分析】分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】恒成立，
当时，，符合题意；
当时，需满足，解得．
综上，．
故选：C
8．C
【分析】作出的图象，结合对数函数的性质得到，再结合图象得到，进而求出，最后得到的范围即可.
【详解】令，解得，令，解得，
则，如图，作出的图象，
而，则，得到，
即，解得，由图象得，
则，解得，得到，故C正确.
故选：C
二、多项选择题
9．AC
【分析】根据给定条件，结合对数函数性质可得，再结合指数函数性质、不等式性质逐项判断.
【详解】由，得，则，
对于A，，A正确；
对于B，令，，则，B错误；
对于C，，则，C正确；
对于D，若，则，D错误.
故选：AC
10．ABC
【分析】A选项，根据真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，根据函数单调性和定义域得到不等式，求出不等式解集；C选项，先求出函数定义域，再得到，C正确；D选项，在上单调递增，在上单调递减，从而得到D错误.
【详解】A选项，由已知，，故，
解得，所以的定义域为，A正确；
B选项，由，得解得正确；
C选项，的定义域为，
又，
∴为奇函数，C正确；
D选项，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，D错误．
故选：ABC
11．ACD
【分析】A、B选项均可结合图象判断；C选项，是关于的一元二次函数，解得的值，则转化为与、的图象交点个数；D选项为求解复合函数不等式，由外往内，先解得，其中，再解或即可.
【详解】画出的图象，如下图所示：
令，得，
解得或，
所以的图象与轴交于，，
对于A，由图象可知，函数的值域为，故A正确；
对于B，由图象可知，直线与函数有三个不同的交点，
所以方程有三个不等的实数解，故B错误；
对于C，，
即，所以或，
由图知有2解，
若，解的个数即为解的个数，有2个解，
若，解的个数可能为0，1，2，3，
此时解的个数为和解的个数之和，可能为2，3，4，5，
综上方程解的个数可能为2，3，4，5，故C正确；
对于D，由图象可知，当或时，，
所以，由，可得或，
令，解得或，
令，解得或，
所以，由图象可知，不等式解集为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．4
【分析】根据函数是奇函数的定义恒成立，结合对数运算计算求解.
【详解】因为函数是奇函数，
，
即恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
整理得恒成立，
，解得或，
当时，函数定义域为，定义域不关于原点对称，函数不是奇函数，
当时，，
由，可得或，
，满足是奇函数，
所以；
故答案为：4.
13．1
【分析】利用复合函数的单调性可得的最大值为4，结合二次函数的性质确定参数的值并验证即得.
【详解】因的值域为，
即，又在定义域内为增函数，故的最大值为4，
则，由，可得时，，解得，
此时的定义域为，
在上单调递增，在上单调递减，
则得，符合题意.
故答案为：1.
14．
【分析】问题可转化为，，利用单调性求出函数的最值，继而即可求解.
【详解】问题可转化为，，
的对称轴为，
所以在上单调递增，
所以，
，都为增函数，所以在上单调递增，
所以，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
15．(1)奇函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用函数的奇偶性定义判断即得；
（2）在时，先利用复合函数的单调性判断函数在上单调递增，再利用奇函数性质和特殊值，将不等式转化成，根据函数的单调性即得参数m的范围.
【详解】（1）由可得，即函数的定义域为，关于原点对称，
因，故函数为奇函数.
（2）当时，，
因函数在上单调递增，又函数在定义域内单调递增，故函数在上单调递增；
又，且，故不等式等价于，
即，即可得，故实数m的取值范围为.
16．(1)
(2)（i），；（ii）
【分析】（1）由可求得实数的值；
（2）（i）由函数的基本性质可得出，，结合方程组法可得出函数和的解析式；
（ii）由结合对数函数的单调性可得出关于的不等式，并结合可得出原不等式的解集.
【详解】（1）因为（且），
由题意可得，解得.
（2）（i）因为为偶函数，为奇函数，
，
由，
所以，
；
（ii）由，即，即，
因为，即，即，得，
所以原不等式的解集为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据题目条件，计算函数解析式，判断函数定义域和单调性，根据函数单调性，解不等式.
（2）很具函数单调性，写出不等式，根据不等式恒成立，换元求出代数式的最大值，判断参数的范围.
【详解】（1）由题意知为函数的渐近线，所以，
因为，解得，
，显然是定义在上的单调递增函数，
所以关于的不等式，即，
可得，解得，所以解集为.
（2）由题意得，即，
化简得，
令，因为，所以，
代入可得，
由，得，
所以的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出的解析式，再解对数不等式即可；
（2）根据图象经过原点可求得的值，结合单调性即可求值域.
【详解】（1）由，得，
由，得，即，
所以不等式的解集为.
（2）由题意得，
由，得，
即，
因为在上是增函数，
所以，即在上的值域为.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定函数，利用奇函数定义求出并验证得解.
（2）由（1）求出确定单调性，再求出的范围，分离参数并结合基本不等式求出最小值即可.
【详解】（1）方法一：由为奇函数，得，
即，
则，即，整理得，
由上式对定义域内一切x都成立，得，解得或，
当时，的定义域为，关于原点对称，，满足为奇函数；
当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数，
所以.
方法二：当时，的定义域为，关于原点对称，
由为奇函数，得，即，解得，
当时，，，
因此，为奇函数，满足题意，
当时，的定义域为，不关于原点对称，不满足为奇函数，
所以.
（2）由（1）知，定义域为，
当时，函数单调递减，且，则，
令，则，恒成立等价于恒成立，
当时，，当时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，因此，
所以m的取值范围是.
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