4.3.2对数的运算课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年

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4.3.2对数的运算课后提升训练人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．计算：（ ）
A．17 B． C．52 D．
2．已知，且，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
6．计算：（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的最小值是（ ）
A． B． C．e D．
8．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正数、、满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若且，，，则下列式子中正确的个数为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知函数（且），若，则 ．
13．已知函数是奇函数，且当时，，若，则 ．
14．设函数，则 .
四、解答题
15．计算：
(1)；
(2)；
(3)已知，试用表示．
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）已知，求的值．
17．解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．已知函数且是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若在上是增函数且满足，求实数的取值范围.
19．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值.
参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】根据幂的运算性质及对数恒等式即可求解.
【详解】方法一：．
方法二：，，
故．
故选：C.
2．A
【分析】先根据指数式对数式互化求出，再根据换底公式转化，再根据求解即可.
【详解】由，得，即，
所以，所以.
故选：A.
3．C
【分析】根据指数及对数运算进行估值比较即可.
【详解】由，，
，
所以.
故选：C.
4．B
【分析】由分段函数的解析式代入计算即可.
【详解】由题意得.
故选：B.
5．C
【分析】由对数的运算性质即可求解.
【详解】若，则，
则.
故选：C.
6．B
【分析】根据指数幂和对数的运算性质求解即可.
【详解】.
故选：B.
7．A
【分析】由对数运算化简可得，再由基本不等式可得的最小值.
【详解】由题意，，则，且，
所以，
当且仅当时取等号，所以的最小值是.
故选：A.
8．C
【分析】应用分段函数及指对数运算计算求解.
【详解】函数，
则.
故选：C.
二、多项选择题
9．ABD
【分析】利用基本不等式判断A、B，利用对数恒等式化简即可判断C；利用基本不等式结合对数的运算法则计算即可判断D.
【详解】因为，所以，即．
对于A，因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立．故A正确；
对于B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．故B正确；
对于C，，
若，又，
则，又，故，矛盾，
所以，所以，即，故C错误；
对于D，由，得，
又由，得，，
所以，∴
所以，
则，
当且仅当，故时，等号成立．故D正确.
故选：ABD.
10．ABD
【分析】把指数式转换成相应的对数式后，运用对数运算法则及换底公式及基本不等式即可.
【详解】令，可得，，，
，故A正确；
，故B正确；
，，所以，得，
又，所以，得，所以，，故C不正确；
，故D正确；
故选：ABD
11．AD
【分析】利用对数的运算法则判断A，D，举反例判断B，C即可.
【详解】对于A，由对数的运算法则得，故A正确，
对于B，取，，，则，
，等式不恒成立，故B错误，
对于C，取，，则，
，等式不恒成立，故C错误，
对于D，由对数的运算法则得，故D正确.
故选：AD
三、填空题
12．4
【分析】根据对数函数的运算性质计算即可.
【详解】由题意知，
所以，故．
故答案为：4.
13．1
【分析】由对数运算性质及奇函数得，结合已知解析式求参数值.
【详解】因为是奇函数，所以，即，
因为时，，所以，解得.
故答案为：1
14．7
【分析】根据分段函数先求，结合对数恒等式再求即可求解.
【详解】由题意有：，
因为，
所以，
所以，
故答案为：7.
三、解答题
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）、（2）利用对数法则计算出答案即可；
（3）利用指数式化为对数式、换底公式进行化简即可.
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）由，得，
由，得，
所以
．
16．（1）3；（2）16；（3）
【分析】（1）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解.
（2）根据指数幂的运算以及对数的运算性质，化简求值，即可求解.
（3）根据对数的运算性质，化简求值，即可求解.
【详解】（1）原式
．
（2）由于，，
，
因此原式．
（3）由条件．
由，得，
所以，化简得
所以，
得或（舍去），从而可得．
17．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）两边取对数，结合对数运算法则计算出答案；
（2）先得到，进而求出，求出答案；
（3）先根据真数大于0，得到，由对数运算法则得到，得到答案；
（4）由题意知且，令，得到方程，解得或，故或．
【详解】（1）由，两边取常用对数得，则，
解得．
（2）由，得，得，故方程的根是．
（3）由真数大于0，得解得，
由原方程得，
所以，
所以，即，
整理得，解得或（舍去），故方程的根是．
（4）由题意知且，令，易知，则，
整理得，解得或，所以或，
故或．
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数的定义可得出关于实数的等式，结合可得出实数的值；
（2）由函数的奇偶性、单调性、定义域结合已知不等式可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）因为函数是奇函数，则，
即，所以，，
所以，对定义域内的都成立，所以，，解得或（舍），
经检验，合乎题意，故.
（2）由，得.
因为函数是奇函数，则，
又因为是定义在上的增函数，则，解得，
所以，的取值范围是.
19．（1）；（2）1
【分析】先利用指对互化，再利用换底公式化简.
【详解】（1）由已知，，
所以.
（2）因为，所以，解得，
，解得，
所以.
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