4.4对数函数课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年

4.4对数函数课后提升训练人教A版2019必修第一册2025-2026学年
一、单项选择题
1．函数（，且）恒过点（ ）
A． B． C． D．
2．已知均为大于1的数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数在区间（2,4）上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．（0,2） B． C． D．
4．已知，，，则、、的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数则的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数（，且）在R上为单调函数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
二、多项选择题
9．若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．不存在实数a，使的定义域为R
B．时，函数为偶函数
C．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
D．函数一定有最小值
11．若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知函数的最大值为3，则 ．
13．已知函数．若，且的值域为，则实数的值为 ．
14．若定义域为的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集 .
四、解答题
15．已知（，且）．
(1)判断的奇偶性；
(2)若在区间内的最大值为2，求．
16．已知函数．
(1)利用定义法判断的单调性；
(2)若关于的不等式在恒成立，求正实数的取值范围．
17．设函数.
(1)画出函数的图象；
(2)若存在不相等的实数，，使，求的值.
18．已知函数．
(1)若的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若的值域为，求实数的取值范围．
19．已知函数．
(1)求函数的定义域、值域；
(2)求不等式的解集；
(3)如果，求的取值范围；
(4)令，已知是偶函数，求的值．
20．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，且，求的取值范围．
21．设函数的定义域为
(1)求集合；
(2)已知函数，不等式的解集为
（i）求实数a，b的值；
（ii）若对，恒成立，求实数k的取值范围.
22．已知函数，．
(1)若，解不等式；
(2)函数的图象过点．
（i）函数的图象与直线没有公共点，求实数的取值范围；
（ii）若函数的定义域为，且．当恒成立时，实数的最大值满足．试比较与的大小．
23．已知是定义在上的奇函数，当时，．
(1)求的值；
(2)求在上的解析式；
(3)解不等式．
24．已知函数．
(1)求函数的定义域M；
(2)判断函数的奇偶性，若，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．C
【分析】利用即可求解.
【详解】令，则，解得，
则函数（，且）恒过点．
故选：C.
2．D
【分析】将已知条件变形得到，再通过作商法比较的大小，最后利用对数函数的性质即可求解.
【详解】，，
则，故，
又，，故，
，．
故选：D.
3．C
【分析】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可．
【详解】因为在区间（2,4）上单调递增，
底数，函数在定义域上单调递减，
又在区间（2,4）上单调递增，
则由复合函数单调性“同增异减”，可得在区间（2,4）上单调递减且恒为正，
所以且，所以
故选：C．
4．A
【分析】求出的值，利用对数函数的单调性即可比较大小．
【详解】因为对数函数在上为增函数，对数函数在上为减函数，
，，，
故.
故选：A.
5．A
【分析】利用的奇偶性与特殊区间处的函数值正负排除错误选项.
【详解】方法一：易知函数定义域是，又，
故是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，
当时，，排除B；
方法二：当时，，则，排除B，D，
当时，，则，排除C，
故选：A
6．C
【分析】作出函数与的图象，利用数形结合即可求解.
【详解】作出函数与的图象，如图，
由图象可知，当时，恒成立，则的解集为；
当时，，
图象的交点坐标为、，结合图象知，的解集为.
所以不等式的解集为.
故选：C.
7．B
【分析】根据对数函数的单调性，引入中间量比较，可判断AC选项，用基本不等式对进行放缩而产生，进而建立与已知条件的联系，可判断BD.
【详解】因为，所以，A，C错误；
又，
故，又知，，，所以．
故选：B
8．B
【分析】由在时的单调性，结合复合函数单调性，求出的取值范围，进而求得的最小值.
【详解】因为的对称轴为直线，且开口向上，
所以当时，单调递增，
又且在R上为单调函数，所以在时单调递增．
因为函数在时单调递减，所以在单调递减；
所以解得，又，
则，所以，
故的最小值为2．
故选：B.
二、多项选择题
9．ABD
【分析】根据题意，先进行指对互化，将已知条件转化为三个不同的对数函数，作出图象，进行比较即可
【详解】设，则，，.
如图，作出函数，，的图象，
a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标.
由图可知，随着的变化，可能出现，，.

故选：ABD
10．AB
【分析】对于A，转化为对恒成立，而无解，故可判断；对于B，时，，由偶函数的定义判断即可；对于C，转化为在区间上单调递增且在成立；对于D，函数的值域M满足，故对任意实数a，的值域为R，无最小值即可判断.
【详解】列表解析|直观解疑惑
选项 正误 原因
A √ 要使函数的定义域为R，则对恒成立，即存在实数a，使得．又因为，所以不存在实数a，使得，故不存在实数a，使的定义域为R．
B √ 时，，定义域为，又恒大于0，所以的定义域为，关于坐标原点对称（判定函数奇偶性，一定要遵循定义域优先原则）．设，则，故函数为偶函数．
C × 因为是增函数，函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递增且在上恒成立，所以解得．
D × 当的值域为R时不存在最小值，要使的值域为R，函数的值域M满足，所以，解得，故对任意实数a，的值域为R，即不存在最小值．
故选：AB.
11．BC
【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到；再借助于函数的单调性即可求解结论．
【详解】由指数和对数的运算性质可得
令，
则在上单调递增，
因为，
所以，
所以，
即，所以.
故选：BC.
三、填空题
12．2
【分析】利用基本不等式及对数函数的单调性即可求解.
【详解】，令，
，
当且仅当，即时等号成立，
又单调递增，，即，解得．
故答案为：2.
13．0
【分析】令，由题意函数的值域为，则的值域包含，分，求的值域，即可求解．
【详解】令的值域为，则的值域包含．
①当时，，其值域为，满足题意；
②当时，令，函数转化为函数，其图象开口向下，
则的值域为，不满足题意．所以，
故答案为：0．
14．
【分析】由偶函数得到对称区间上的单调性，及，从而知道的解集，即可由得或，从而解出答案.
【详解】因为函数为偶函数，且在上是增函数，则函数在上单调递减，
所以，
所以的解集为，
所以当时，或，
所以或，即不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题
15．(1)是偶函数
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（2）根据复合函数的单调性，结合题设讨论求解即可.
【详解】（1）由题意得解得，
则的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是偶函数．
（2），
①当时，函数在上单调递增，
则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最大值为，
因为在区间单调递减，
所以，
解得（负值舍会），与矛盾，舍去；
②时，函数在上单调递减，
则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最小值为，
因为在区间单调递减，
所以，解得（负值舍会），满足．
综上，．
16．(1)在上单调递增
(2)
【分析】（1）先求得函数的定义域，再根据函数单调性的定义以及指数函数的性质判断即可；
（2）转化问题为，结合函数的单调性以及一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）令，解得，故函数的定义域为．
任取，则，
因为指数函数在上单调递增，且，
所以，则，
则，
所以，即，
故函数在上单调递增．
（2）由题知．
由（1）知函数在上单调递增，
则，
即，解得，
又，故正实数的取值范围为．
17．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）化简函数的解析式，即可作出函数的图象；
（2）分析可知，结合对数的运算性质化简可得结果.
【详解】（1）因为，作出函数的图象如下图所示：
（2）不妨设，由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，则必有，且有，即，
所以，解得.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到在上恒成立，再分类讨论求解即可；
（2）根据题意得到的值域必须包含，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
则在上恒成立，
当时，恒成立，符合题意；
当时，有，解得．
所以实数的取值范围为．
（2）函数的值域为，
则的值域必须包含，
当时，，不符合题意；
当时，有，解得.
所以实数的取值范围为．
19．(1)定义域为，值域为
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用对数函数求出定义域及值域；
（2）确定函数的单调性，得不等式求解；
（3）由单调性结合定义域得不等式组求解；
（4）利用偶函数的定义求出参数值.
【详解】（1）由，得，
所以的定义域为，
因为，所以的值域为．
（2）因为，所以，
因为是增函数，所以，即，
所以不等式的解集为．
（3）因为的定义域为，且是增函数
所以，解得，
所以的取值范围是．
（4）因为是偶函数，所以恒成立，
即恒成立.
所以，即恒成立，
所以．
20．(1)单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)．
【分析】（1）对函数进行分段即可得到单调区间；
（2）由可得，然后换元根据双勾函数单调性求值域即可.
【详解】（1）函数的定义域为．
当时，；当时，．
又在上单调递增，
故的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）的图象如下：

因为且，所以，由图可得，，
所以．
故，
由对勾函数在上单调递减，得，
所以的取值范围是．
21．(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）根据对数函数及根式有意义计算求出定义域；
（2）（i）由不等式与方程的关系，根据一元二次方程的解与系数关系，可得答案；
（ii）根据不等式恒成立，结合二次函数的单调性求得最值，可得答案.
【详解】（1）要使得函数有意义，只需要
解得，所以集合；
（2）（i）因为的解集为，
所以的两根为和3，
所以解得.
（ii）由（1）得，
，，即，
因为当时，单调递增，
所以，即，解得.
22．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）根据对数型函数的单调性解不等式即可；
（2）（i）由题意转化为方程无解，分离参数后，根据指数、对数函数的单调性求值域及可得参数取值范围（ii）分离参数后，由对数函数的性质及基本不等式求出的最大值为，再由推出函数的周期即可得，据此结合单调性即可比较大小.
【详解】（1）当时，，由，
得，所以，
解得，
所以不等式的解集为．
（2）（i）的图象过点，，解得，
所以．
又函数的图象与直线没有公共点，
所以方程无实数解，即方程无实数解．
令，，则，
，，则，，
即函数的值域为，所以实数的取值范围为．
（ii）若恒成立，则恒成立，
又，
由，得，当且仅当时取等号，
所以，则，故实数的最大值为．
由已知，得，所以，即．
所以．
又在上单调递增，，
所以，故．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据上的奇函数，利用即可求；
（2）根据函数为奇函数，，即可求在上的解析式；
（3）根据函数的单调性，结合，即可解不等式.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
故，解得．
（2）当，则，所以．
因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即在上的解析式为．
（3）当时，，易得在上单调递增．
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．
又，所以的解集为．
24．(1)函数的定义域为；
(2).
【分析】（1）根据函数解析式，得，解出不等式，取交集即可；
（2）通过计算，并与比较，即可判断奇偶性，根据奇偶性，即可求得.
【详解】（1）由题意，，
由，解得，
则函数的定义域为．
（2）由（1）知函数的定义域关于原点对称．
又，
所以函数为奇函数，
又，所以．