4.2.2指数函数的图象和性质课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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4.2.2指数函数的图象和性质课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．函数与的图象（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线对称
3．若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数（且）的图象经过定点，则（ ）
A． B． C． D．3
8．已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（ ）
A． B．2或 C． D．或
二、多项选择题
9．设，且，则下列关系式中一定不成立的是（）
A． B． C． D．
10．已知函数，则正确的是（ ）
A．的值域为
B．的解集为
C．的图象与的图象关于轴对称
D．函数是偶函数
11．设函数，则（ ）
A．函数为奇函数
B．
C．函数的值域为
D．函数在其定义域上为增函数
三、填空题
12．若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ．
13．已知函数，若对任意的，均有，则的取值范围是 .
14．已知，函数若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)试确定的奇偶性；
(2)求证：函数在上是减函数；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
16．设常数，函数．
(1)当时，用定义证明在上是减函数；
(2)讨论函数的奇偶性；
(3)若时，不等式在定义域上恒成立，求的取值范围．
17．已知函数，.
(1)当时，解关于的方程；
(2)若对，，使得，求的取值范围.
18．已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且．
(1)求函数、的解析式；
(2)直接说明函数的单调性，并解关于不等式：；
(3)设，，对于，都，使得，求实数的取值范围．
19．已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足．
(1)求与的解析式；
(2)求证：在区间上单调递增；
(3)设（其中为常数），若对于恒成立，求的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．A
【分析】根据函数的奇偶性定义可排除选项C，D；结合指数函数的性质可得：当时，，即可排除选项B，进而求解.
【详解】因为，所以为奇函数，故选项C，D错误；
当时，，故选项B错误，选项A正确.
故选：A.
2．A
【分析】根据图形对称性求解．
【详解】把中的换成即可得到,故与的图象关于轴对称．
故选：A
3．C
【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可.
【详解】由，
因为在上单调递减，且，
所以．
故选：C.
4．B
【分析】利用指数函数的单调性解不等式即可得出结果．
【详解】因，则，
即，解得，
所以的取值范围为．
故选：B．
5．D
【分析】将问题转化为恒成立问题，分离参数求最值即可.
【详解】函数由和复合而成，
因为在区间上单调递减，而单调递增，
所以在区间上单调递减，
因为，如图，
所以
解得，即实数的取值范围是.
故选：D.
6．C
【分析】根据分段函数的解析式，结合指数函数单调性分类讨论即可求解不等式的解集.
【详解】作出的图象如图所示.
当时，，，
所以，，
所以，符合题意；
当时，，，
所以，，
所以，符合题意；
当时，，，
，
令得，解得.
综上，不等式的解集为.
故选：C.
7．C
【分析】由指数函数的性质确定定点坐标，即可得.
【详解】令，得，此时，
所以定点P的坐标为，即，，所以.
故选：C
8．D
【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解．
【详解】当时，单调递增，
此时，所以，解得；
当时，单调递减，此时，
所以，解得．
所以实数的值为或．
故选：D.
二、多项选择题
9．BC
【分析】根据分段函数和指数函数图象画出的图象，数形结合讨论的正负和大小关系，再结合且即可得出答案．
【详解】
则的图象如图所示：

∵，
∴若，则，这与已知矛盾．
同理，也不成立，∴只有或这两种情况．
∴，故B一定不成立，A成立；
又，即，
∴，故D一定成立，C一定不成立．
故选：BC．
10．AC
【分析】A项，根据的性质易求出函数的值域；B项，写出的表达式，根据的单调性，即可求出的解集；C项，求出的表达式，得出与的表达式相同，即可得出结论；D项，设，利用函数的奇偶性定义即可判断.
【详解】对于A，因，则，即值域为，A正确；
对于B，因，由得，即，
∵函数为减函数，∴，解得，故的解集为，B错误；
对于C，由， 可得，
由图知，的图象与的图象关于轴对称，C正确；
对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，
且，故为奇函数，故D错误.
故选：AC.
11．ABC
【分析】先化简的解析式然后根据奇函数的定义去判断奇偶性；对于B选项直接代入对应的函数解析式即可判断；对于C选项先化简函数解析式再根据二次函数反比例函数性质去求值域；对于D选项先化简函数解析式再利用复合函数单调性去求单调性.
【详解】，
令，此函数定义域为，
，故此函数为奇函数，A正确；
；
，B正确；
，令，则，
因为所以由二次函数性质可知，由反比例函数性质可知
所以，即，
所以函数的值域为，C正确；
，令，
，
由二次函数单调性可知：当时随的增大而增大，且
由反比例函数单调性可知： 随的增大而减小，
故当当时即时为减函数，故D错误.
故选：ABC
三、填空题
12．
【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到.
【详解】是幂函数，则，所以，．
在中，令，得，所以定点为，
故，又，解得．
故答案为：
13．
【分析】先判断出为减函数，利用函数的单调性，再列不等式组即可得出结果．
【详解】因为对任意的，均有，即，所以在上单调递减．
由单调递减得，
因为指数函数单调递增且恒大于零，则由单调递减可得，故，
解得，故的取值范围是．
故答案为：．
14．
【分析】分类讨论，，时，两段函数的单调性，根据分段函数存在最小值建立不等式，解不等式即可得结论.
【详解】由题意，令，，，，
当时，，函数在上单调递减，在上单调递减，
且在上的值域为，
由题意，分段函数存在最小值，故需，解得，
结合，此时；
当时，在上单调递减，且值域为，
，此时分段函数存在最小值2，符合题意；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
且在上的值域为，
由题意，分段函数存在最小值，故需，即，
解得，这与矛盾，故不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15．(1)奇函数
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由于函数的定义域为，关于原点对称，且化简求得，可得函数为奇函数；
（2）化简函数的解析式为，设，化简，可得函数在上是减函数；
（3）由于为奇函数，不等式即恒成立，再由函数在上是减函数可得恒成立，即恒成立．由判别式，解得的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，
且有，
故函数为奇函数.
（2）证明：，
设，再由，
可得，
故函数在上是减函数.
（3）对任意的，不等式恒成立，为奇函数，
恒成立，
由函数在上是减函数，
可得 恒成立，
即恒成立，
，解得：，
故的取值范围为.
16．(1)证明见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】(1)利用单调性的性质证明，即对任意，作差证明即可；
(2) 针对参数分等于，等于及其他情况进行讨论
(3)利用(1)和(2)的结论，不等式在定义域上恒成立可以等价为，即恒成立的问题，二次函数恒成立，转化成判别式与作比较即可.
【详解】（1）任取，则
是增函数，，即．
又因为所以，所以，
，即在上是减函数．
（2）当时，，定义域为，
此时函数为偶函数；
当时，，定义域为，
此时函数为奇函数；
当且时，，显然既不相等，也不互为相反数，此时既不是奇函数也不是偶函数．
（3）当时，由（1）知单调递减，由(2)知为奇函数，
不等式可化为，
则，即恒成立，
，解得，所以的取值范围是.
17．(1)或.
(2).
【分析】（1）解指数方程结合指数函数值域计算求解；
（2）先把存在问题转化为指数不等式恒成立，结合指数函数值域计算求解.
【详解】（1）当时，，
令，则即，，
解得或，即或，
解得或.
（2）设在上的值域为A，在上的值域为B，则，
因为，所以，当且仅当即时等号成立，
所以，
因为，所以对恒成立，
即对恒成立，
令，则，，
当时，，
所以.
18．(1)，；
(2)单调递增，不等式解集为；
(3).
【分析】（1）根据奇偶性得到，应用方程组求函数解析式即可；
（2）由对应指数函数的单调性判断，再由奇函数、单调性解不等式即可；
（3）利用指数函数、分式型函数、二次函数性质分别求出在R上的值域、在上的值域，结合已知得，即可得结果.
【详解】（1）由题设，，且，
，
两式相减可得；
（2）由在R上均单调递增，故在R上单调递增，
由，则，
所以，即，可得或，
所以解集为；
（3）时，，又，故，
时，，
令，则，
则，
由，都，使得，只需，即.
19．(1)，．
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题及奇偶函数性质可得，据此可得答案；
（2）证明对，且，即可；
（3）令，由题可得，将问题化为对于恒成立，据此可得答案.
【详解】（1）因为，所以，
因为为偶函数，为奇函数，所以，
因为，所以，
所以，．
（2）对，且，
因为，，所以.
所以在上是增函数；
（3）因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
令，，
所以对于恒成立，
所以，
对于恒成立，即，
因为，当且仅时等号成立，
所以
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