4.1.1n次方根与分数指数幂课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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4.1.1n次方根与分数指数幂课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．计算：（ ）
A． B． C． D．
2．设均为不等于1的正数，且，则的值为（ ）
A．3 B．2
C．1 D．
3．已知 则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．化简： （ ）
A．1 B． C． D．
5．若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值是（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
7．已知，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知正数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若，则实数的取值范围是 ．
13．计算 .
14．已知正数、满足 ，则 的最小值为 ．
四、解答题
15．已知 ，求：
(1)；
(2)．
16．计算下列各式的值.
(1)；
(2)已知，求的值.
17．定义在上的增函数对任意都有．
(1)求证：为奇函数；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围
18．已知，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】由题，可得，利用根式性质对原不等式等价变形即可.
【详解】由已知，.
故选：C.
2．C
【分析】由题可知，，然后可得即可求解.
【详解】，，，
即，又均为不等于1的正数，
所以.
故选：C.
3．A
【详解】已知
当时，，所以，
当，根式没有意义，
则p是q的充分不必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】根据根式的定义求值．
【详解】.
故选：A.
5．C
【分析】根据根式的性质化简得解.
【详解】，.
因为，故，所以.
故选：C
6．B
【分析】两边平方，得到答案.
【详解】两边平方得，
故.
故选：B
7．A
【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出．
【详解】因为，
所以，
所以，
则，即，则.
故选：A.
8．D
【分析】根据基本不等式可得结果.
【详解】由得，
∴，当且仅当时等号成立，
∴的最大值为.
故选：D.
二、多项选择题
9．ABC
【分析】由知，利用完全平方公式求解A、B、D，利用求解C.
【详解】因为，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.
故选：ABC.
10．BD
【分析】根据得到，结合，得到且或，得到答案.
【详解】因为，又，
所以，
故，
又，
所以或，
故选：BD
11．BC
【分析】A选项：负号的位置放错；B选项在的情况下，指数可以约分；CD选项利用根式与指数幂互化的公式即可求解；
【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误．
故选：BC
三、填空题
12．
【分析】结合根式的性质化简求解即可.
【详解】因为，
所以，即，解得，
当时，即，
满足.
所以实数的取值范围是．
故答案为：.
13．8
【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解.
【详解】
.
故答案为：8
14．
【分析】运用指数运算可得出，利用乘“1”法，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为正数、满足，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
三、解答题
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用完全平方公式进行求解；
（2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解.
【详解】（1）因为 ，所以
即 ，.
.
因为 ，所以 ，则 .
（2）.
已知，所以.
16．(1)4
(2)
【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案；
（2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值.
【详解】（1）原式.
（2）因为，
所以，
，
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令，得，再令证得结果；
（2）根据函数奇偶性以及单调性解不等式，结合不等式恒成立，参变分离，利用基本不等式求解最值得出结果.
【详解】（1）令，得，即．
令，得，又，
对任意都成立．
为奇函数．
（2）为奇函数，
．
为上的增函数，，
.
,
.
18．(1)
(2)-7
【分析】（1），两边平方得到，进而得到求解；
（2）分子利用指数幂的运算变形，分母利用根式的性质化简求解.
【详解】（1）解：，
，
；
（2），
.
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