4.2.1指数函数的概念课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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4.2.1指数函数的概念课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．函数是指数函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数（，且）的图象恒过定点,若图象还过点，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
3．已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（ ）
A． B． C．25 D．15
4．下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．设，为实数，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，则的值为（ ）
A．0或 B．0或 C． D．
8．若函数为奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无解
二、多项选择题
9．函数是指数函数，则的值不可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的定义域为，且满足，当时，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知实数，函数在上是单调函数，若的取值集合是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．恒成立
三、填空题
12．已知函数，则 .
13．若函数是指数函数，则 ．
14．若函数是定义在上的偶函数，，则 ．
四、解答题
15．设是的二次函数，，且，求函数和的解析式．
16．已知定义在上的偶函数，当时，，且.
(1)求的值，并求函数在上的解析式；
(2)求方程的解集.
17．已知指数函数，且的图象经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)若函数是奇函数，
①求实数的值；
②判断并用定义法证明函数的单调性.
18．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.
(1)求的值；
(2)求的解析式；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数是指数函数，且其图象经过点，.
(1)求的解析式；
(2)判断的奇偶性并证明：
(3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值.
参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案.
【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是．
故选：C
2．C
【分析】根据函数恒过定点求出n，再根据函数图象过求出m，从而得到答案．
【详解】由函数（，且）恒过定点，可得，
∵函数图象过点，
∴，解得，
故．
故选：C．
3．A
【分析】利用偶函数性质可得，即可求得，从而可求解.
【详解】由偶函数的性质可知，，得，
即时，，则，故A正确.
故选：A．
4．D
【分析】根据指数函数定义即可判断.
【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断：
对于A：为幂函数，故A错误；
对于B：中不能作为底数，故B错误；
对于C：中系数不为1，故C错误；
对于D：是指数函数，故D正确；
故选：D
5．B
【分析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有，结合题意，代入可得答案．
【详解】因为，，
根据基本不等式的性质有，
又由，
则，当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
故选：B．
6．C
【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】因为，则，
所以.
故选：C.
7．A
【分析】根据分段函数解析式，由的不同取值范围，分类讨论求解即可.
【详解】若，即，可得，
解得：，符合；
若，即，可得，解得：，符合；
综上可知：的值为0或，
故选：A
8．D
【分析】利用奇函数的定义，列出等式，即可得到结果.
【详解】解：根据题意，函数，则，
若为奇函数，则，
即，a的值不是常数，即无解．
故选：D
二、多项选择题
9．ACD
【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值.
【详解】因为函数是指数函数，
则，解得.
故选：ACD.
10．AB
【分析】根据题意可得，根据题意不等关系逐一验证即可得出正确答案.
【详解】因为当时，，则，
又因为，则有：
；
；
；
；
；
；
；
；
；
结合选项可知：，，故AB正确，CD错误.
故选：AB.
11．ACD
【分析】根据分段函数的单调性，求出的取值集合，逐一判断各个选项.
【详解】根据题意，，所以函数是R上的增函数，
则，解得，
，故A正确，B错误；
对于C，，恒成立，故C正确；
对于D，当时，是指数函数，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
12．
【分析】由分段函数解析式可得答案.
【详解】由题，，则.
故答案为：
13．4
【分析】由指数函数定义可得答案.
【详解】因为指数函数，则，
由，可得或，
综上，.
故答案为：4
14．6
【分析】根据已知条件，构造函数，利用函数的奇偶性即可得出结果．
【详解】由已知设函数，因为为上的偶函数，
所以，
即函数为上的奇函数．
因此
．
故答案为：6．
四、解答题
15．，．
【分析】设，根据，得到，比较系数，得到方程组，求出答案.
【详解】设，则．
由得：，
即，
即，这是关于的恒等式，
比较系数得，解得，
所以，．
16．(1)；
(2)或.
【分析】（1）由偶函数的性质有列方程求参数，再应用偶函数求时的解析式，即可得在上的解析式；
（2）根据（1）所得解析式，讨论、分别求对应解，即可得解集.
【详解】（1）因为是定义在上的偶函数，且，所以，
即，解得，所以时，，
设，则，则，
故；
（2）由，分类讨论如下，
当时，；
当时，；
综上所述，方程的解集为或.
17．(1)
(2)①；②单调递增，证明见解析
【分析】（1）将点代入即可求得函数的解析式；
（2）先利用奇函数的性质求的值，然后用定义法证明函数的单调性.
【详解】（1）由题知，，且过点，
所以，
，
；
（2）①由题知，是奇函数，
因为，所以恒成立，
所以的定义域为，，
检验：当时，的定义域为，
故是奇函数，满足题意，；
②函数在上单调递增，证明如下：
在上单调递增.
18．(1)0
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义求解；
（2）利用奇函数的定义求解析式；
（3）根据函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】（1）因为函数是定义在的奇函数，所以.
（2）因为当时，，
所以当时，，，
所以.
（3）由题，函数是定义域为单调减函数，且为奇函数，
所以由，可得，
即，所以，
所以恒成立，
因为在时有最小值，最小值为，
所以，即，
所以实数的取值范围是.
19．(1)
(2)为奇函数，证明见解析
(3)6
【分析】（1）设，代入点可求的解析式；
（2）利用定义法判断并证明的奇偶性；
（3）由的解析式，得不等式恒成立， 令，转化为在时恒成立，利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）设指数函数，且，
函数图象经过点，有，解得，
所以.
（2）为奇函数，证明如下：
，函数定义域为R，
，
所以为奇函数.
（3）不等式，
即，得，
令，
由，当且仅当，即时等号成立，得，
则有在时恒成立，得在时恒成立，
，当且仅当，即时等号成立，则有，
所以实数的最大值为6.
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