4.1.2无理数指数幂及其运算性质课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

4.1.2无理数指数幂及其运算性质课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若，则的值为（ ）
A． B． C．
4．已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B．9 C． D．13
5．已知函数且，则（ ）.
A．. B．. C．2. D．4.
6．已知，且，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
7．已知、，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知幂函数的图象分别经过两点，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，则（ ）
A．的最小值为 B．ab的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
11．若定义在上的奇函数和偶函数满足，则（ ）
A．
B．
C．
D．对恒成立，则的取值范围为
三、填空题
12．方程的解为 ．
13．若，则 ．
14．设函数，则 ．
四、解答题
15．计算下列各式：
(1)；
(2)．
16．（1）计算：；
（2）已知，，求的值；
（3）已知，求的值．
17．回答下列问题：
(1)计算：；
(2)已知，求；
(3)若，且，求代数式的值．
18．（1）计算：；
（2）已知，求；
（3）已知，求的值．
19．计算：
(1)；
(2)；
(3)若，求的值.
20．计算或化简．
(1)化简：；
(2)计算：；
(3)已知，求的值．
21．已知函数
(1)若，求的值；
(2)若，求函数的最小值.
22．化简求值：
(1)
(2)
(3)已知，求的值;
23．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）已知，且，求的值．
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试卷第1页，共3页
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参考答案
一、单项选择题
1．B
【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得.
【详解】由于，则；
故选：B
2．A
【分析】根据充分不必要条件的定义结合指数运算判断即可.
【详解】已知
当时，，所以，
当，根式没有意义，
则p是q的充分不必要条件.
故选：A.
3．A
【分析】根据指数运算律计算求解.
【详解】因为，则.
故选：A.
4．C
【分析】由可得，再根据基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】由，则，即，则，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是.
故选：C.
5．D
【分析】代入中求出的值，在利用分段函数代入求出即可.
【详解】由题可知，
解得，则.
故选：D.
6．A
【分析】分析：由二次根式有意义的条件以及，且，可确定出的正负情况，再依据进行化简，最后化简绝对值即可.
【详解】解：有意义，，，
又，，，.
故选：A.
7．B
【分析】利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为、，且，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值是.
故选：B.
8．B
【分析】将两点的坐标分别代入的解析式中，得到关于的式子，再利用指数幂的运算法则化简即可求解.
【详解】因为幂函数的图象分别经过两点，
所以把两点分别代入可得，
故，故.
故选：B.
二、多项选择题
9．CD
【分析】按照指数幂的运算进行化简.
【详解】因为，所以选项A错误；
因为，所以选项B错误；
因为，所以选项C正确；
因为，所以选项D正确.
故答案为：CD.
10．AC
【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值，应用基本不等式及指数运算性质求、的最小值，由，则，代入求最小值，即可得.
【详解】A：由，当且仅当取等号，对；
B：由，则，当且仅当时取等号，错；
C：由，当且仅当时取等号，对；
D：由，则，故，错.
故选：AC
11．BCD
【分析】先由奇偶函数的性质组成方程组求出和的表达式，然后由指数函数的运算性质可得A错误，BC正确；利用换元法结合二次函数的性质可得D正确.
【详解】因为，——①
所以，
又因为是奇函数，是偶函数，所以，——②
由①②，解得，.
对于A，，故A错误；
对于B，，，故B正确；
对于C，，，故C正确；
对于D，，
令，
则原式变为，
令，
由二次函数的性质可得要使在时恒成立，则，故D 正确.
故选：BCD
三、填空题
12．
【分析】根据指数幂的化简计算即可.
【详解】
．
故答案为：.
13．【详解】已知，则，
将所求式进行化简，，
则．
故答案为：.
14．【详解】.
故答案为：
四、解答题
15．(1)18
(2)
【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可．
【详解】（1）原式．
（2）原式．
16．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由根式与指数关系及有理数指数幂的运算性质化简求值；
（2）将目标式化为，再代入求值；
（3）由已知及指数幂运算得、，代入目标式求值.
【详解】（1）原式；
（2）由，，
则；
（3）由于，则，
所以，，
所以.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）利用指数幂的运算法则以及根式分数指数幂的互化解答，化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时被开方数非负．
【详解】（1）．
（2），所以．
（3）当，时，．
18．（1）；（2）；（3）4
【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可；
（2）利用完全平方公式进行求值
（3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可.
【详解】（1）．
（2）由，所以．
（3）因为，所以，
则，
所以．
19．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质化简求值；
（3）将有理数指数幂化为根式或分式形式求值即可.
【详解】（1）原式
（2）原式；
（3）由得.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）利用指数幂的运算性质可化简所求代数式；
（3）利用平方关系可求出、，再利用立方和公式可求得所求代数式的值.
【详解】（1）原式.
（2）原式.
（3）对两边平方，得，可得，
再对两边平方，得，所以，，
所以，.
则.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，对其平方即可得到结果.
（2）由题意得到的表达式，再写出函数的解析式，利用换元求解即可得到最小值.
【详解】（1）因为，所以，对其两边平方得，即
（2），，
设，则，当且仅当时取等号；所以，所以，因为函数在时单调递增，
所以当即时，取最小值为
22．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案；
（2）根据幂的运算法则，即可得到答案；
（3）由完全平方和公式，即可得到答案.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）因为，所以.
23．（1）；（2）；（3）.
【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）原式；
（2）原式；
（3）由题意可知，所以，
，
因为，所以，所以，
所以.