2.1.2 指数函数及其性质 学案2（含答案）

2.1.2指数函数及其性质
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课前预习
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预习案
【温馨寄语】
你聪颖，你善良，你活泼。有时你也幻想，有时你也默然，在默然中沉思，在幻想中寻觅。小小的你会长大，小小的你会成熟，愿你更坚强!愿你更自信!
【学习目标】
1．理解指数函数的概念和意义.
2．能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象.
3．探究并理解指数函数的单调性与特殊点，初步掌握指数函数的性质.
【学习重点】
1．指数函数的概念和性质
2．指数函数性质的应用
【学习难点】
1．用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质
2．指数函数性质的应用
【自主学习】
1．指数函数的图象与性质

2．指数函数的定义
(1)解析式：
.
(2)自变量：
.
【预习评价】
1．下列各函数中，是指数函数的是
A.
B.
C.
D.
2．函数的定义域是
A.
B.
C.
D.
3．已知，且，则
.
4．若指数函数的图象经过点(2，4)，则函数的解析式为
.
知识拓展
·
探究案
【合作探究】
1．指数函数的解析式
根据指数函数的解析式，完成下列填空，并明确解析式具有的三个结构特征：
(1)特征1：底数为大于0且不等于1的
，不含有自变量.
(2)特征2：自变量的位置在
，且的系数是
.
(3)特征3：的系数是
.
2．利用指数函数的单调性比较大小问题
观察指数函数(，且)图象的走势和特征，回答下列问题：
(l)请根据图象填空：(填“>”“=”“<”中的任一个)
①当时，若，则____.
②当时，若，则____.
(2)结合上图思考，当与满足什么条件时，成立？
3．指数函数的图象与性质
在同一坐标系内画出函数和的图象，并说出函数图象从左到右的变化趋势.
4．指数函数的图象与性质
在函数和的图象的基础上，再画出函数和的图象，观察所画出的两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征，回答下列问题：
(1)函数和的图象从左到右的变化趋势是怎样的？
(2)函数和的图象间有什么关系？和呢？
(3)观察所画出的四个函数的图象，请说出指数函数图象的大致走势有几种？主要取决于什么？
(4)对于指数函数(，且)，当底数的取值越来越大时，图象在第一象限内的位置关系有什么特点？
5．在函数和的图象的基础上，观察所画的四个指数函数图象的特点并结合下面的提示，完成下面的填空.
(1)这四个指数函数图象均过点
，定义域、值域分别为
，
.
(2)当时，是
函数，当时是
函数(填“增”或“减”).
6．指数函数的解析式
观察指数函数的解析式及底数的取值范围，思考下列问题：
(1)请你根据所尝过的知识思考指数函数解析式中的底数能否等于0或小于0？
(2)你知道解析式中的取值不可以为1的原因吗？
7．简单的指数不等式
结合指数函数的单调性，思考若，则与同解吗
【教师点拨】
1．指数函数值的变化规律
(1)当时，若，则；若，则.
(2)当时，若，则；若，则.
2．对指数函数图象与性质的三点说明
(1)定点：所有指数函数的图象均过定点(0，1).
(2)对称性：底数互为倒数的指数函数图象关于轴对称.
(3)图象随底数的变化规律：
无论指数函数的底数如何变化，指数函数的图象与直线相交于点(1，)，由图象可知：在轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.可概括记为，在第一象限内，底数自下而上依次增大.
3．对指数函数解析式的两点说明
(1)定义中所说的形如(且)的形式一般来说是不可改变的，否则就不是指数函数.
(2)解析式中底数的取值范围为且，其他的范围都是不可以的.
4．解简单指数不等式的关键及注意事项
(1)关键：解指数不等式的关键是将指数不等武转化为一元一次不等式.
(2)注意事项：当底数含字母时，要注意对底数分为大于1和大于0且小于1两种情况讨论.
5．利用指数函数的单调性比较两指数式大小的两点说明
(1)当两个数的底数相同或能够化成底数相同时，可以构造指数函数，利用指数函数的单调性进行判断.
(2)当底数不确定时需分类讨论，如比较与的大小，需分和两种情况比较大小.
【交流展示】
1．下列函数中是指数函数的是
.
(1).
(2).
(3).
(4) (且).
2．已知函数是指数函数，求的取值范围.
3．已知 (，为常数)的图象经过点(2，1)，则的值域为
A.[9,81]
B.[3,9]
C.[1,9]
D.
4．函数的定义域是
A.(0，+∞)
B.[0，+∞)
C.(1，+∞)
D.[1，+∞)
5．设，,，则，，的大小关系是
A.
B.
C.
D.
6．比较与且)的大小，
7．已知函数是定义在上的奇函数，则的值域是
.
8．设函数(且)是定义域为的奇函数.
(1)求的值.
(2)若，且在[1，+∞)上的最小值为-2，求的值.
【学习小结】
1．判断一个函数是否是指数函数的方法
(1)看形式：判断一个函数是否是指数函数，关键看解析式是否符合(，)这一结构形式.
(2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数.
2．已知某函数是指数函数求参数值的策略
(1)列：根据底数大于0且不等于1，的系数等于1且指数位置自变量的系数也为1，列出方程(组)或不等式(组).
(2)解：解所列的方程(组)或不等式(组)，求出参数的值.
3．比较幂值大小的三种类型及处理方法
4．形如型的指数不等式的解题方法
(1)若与l的大小关系确定时，可直接利用指数函数的单调性进行求解.
(2)若与1的大小关系不确定时，需对底数分和两种情况求解，
即等价于
5．非同底的简单指数不等式的解法
(l)形如的不等式，注意将化为以为底的指数幂的形式，再借助的单调性求解.
(2)形如的不等式，可借助图象求解，也可转化为来解.
提醒：指数不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式.
6．判定函数奇偶性要注意的问题
(l)坚持“定义域优先”的原则：如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数.
(2)正确利用变形技巧：耐心分析和的关系，必要时可利用判定.
(3)巧用图象的特征：在解答有图象信息的选择、填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，进行快速判定.
【当堂检测】
1．图中曲线，，，分别是指数函数，，，的图象，则，，，与1之间的大小关系是
A.
B.
C.
D.
2．函数的图象必经过点
A.
B.
C.
D.
3．若函数是指数函数，则a的取值范围是
A.
B.
C.
D.
4．关于下列说法：
(1)若函数的定义域是，则它的值域是；
(2)若函数的定义域是，则它的值域是；
(3)若函数的值域的，则它的定义域一定是.
其中不正确的说法的序号是_____________.
5．函数的值域是
A.
B.
C.
D.R
2.1.2指数函数及其性质
详细答案
课前预习
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预习案
【自主学习】
1．R　(0，＋∞)　(0，1)　增函数　减函数
2．(1)y＝ax(a＞0，且a≠1)　(2)x
【预习评价】
1．D
2．A
3．1
4．f(x)＝2x
知识拓展
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探究案
【合作探究】
1．(1)常数　(2)指数上　1
(3)1
2．(1)①＞　(2)＜
(2)当a＞1，x＞0或0＜a＜1，x＜0时，ax＞1.
3．(1)列表
x
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
y＝2x
0.25
0.35
0.5
0.71
1
1.41
2
2.83
4
y＝3x
0.11
0.19
0.33
0.58
1
1.732
3
5.20
9
描点画图
(2)图象的变化趋势：这两个函数的图象从左到右均是不断上升的.
4．图象如图所示：
(1)这两个函数的图象从左到右是下降的.
(2)函数y＝2x和的图象关于y轴对称.同样函数y＝3x和的图象也关于y轴对称.
(3)指数函数图象的大致走势有两种，一种是从左到右图象是下降的，而另一种恰好相反.图象的走势主要取决于底数a与1的大小关系.
(4)底数a的取值越大时，函数的图象在第一象限越靠近于y轴；反之底数a的取值越小，函数的图象在第一象限越靠近于x轴.
5．(1)(0，1)　R　(0，＋∞)
(2)增　减
6．(1)不能.因为当a＜0时，ax不一定有意义，如(－2)x；当a＝0时，0x不一定有意义，如00，0－2，故a的取值范围不能小于或等于0.
(2)原因是当a＝1时，y＝1x＝1是常数函数，没有研究的价值.
7．因为a＞1，所以y＝ax在R上是增函数.又af(x)＞ag(x)，
所以f(x)＞g(x)，
因此af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解.
【交流展示】
1．(1)(2)(4)
2．由题意知y＝(a＋1)2x＝[(a＋1)2]x是指数函数，则(a＋1)2＞0且(a＋1)2≠1.所以a≠－2且a≠0且a≠－1.
3．C
4．B
5．D
6．(1)当1－2b＞1，即b＜0时，y＝(1－2b)x递增.
所以(1－2b)3.4＜(1－2b)3.5.
(2)当0＜1－2b＜1，即时，y＝(1－2b)x递减，
所以(1－2b)3.4＞(1－2b)3.5.综上所述，当b＜0时，(1－2b)3.4＜(1－2b)3.5；当时，(1－2b)3.4＞(1－2b)3.5.
7．
8．(1)由题意知，对任意x∈R，f(－x)＝－f(x)，
艮a－x－(k－1)ax＝－ax(k－1)a－x，
即(k－1)(ax＋a－x)－(ax＋a－x)＝0，(k－2)(ax＋a－x)＝0，
因为x为任意实数，所以k＝2.
(2)由(1)知f(x)＝ax－a－x，因为，
所以，解得a＝2.
故f(x)＝2x－2－x，g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)，
令t＝2x－2－x，则22x＋2－2x＝t2＋2，
由x∈[1，＋∞)，得，
所以g(x)＝h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2，.
当时，h(t)在上是增函数，则，，解得(舍去).
当时，则f(m)＝－2，2－m2＝－2，解得m＝2或m＝－2(舍去).
综上，m的值是2.
【当堂检测】
1．D
2．C
【解析】当x－2＝0，即x＝2时，，
∴函数(a＞0，且a≠1)的图象必经过点(2，2).
3．B
【解析】由题意得2a－3＞0，且2a－3≠1，所以，且a≠2.
4．(1)(2)(3)
【解析】解答本题一方面要注意利用函数的单调性由定义域求值域，由值域求定义域；另一方面要注意结合函数的图象，弄清楚函数值与自变量的关系.
(1)不正确.由x≤0得，值域是{y|0＜y≤1}.
(2)不正确.由x≥2得，值域是.
(3)不正确.由得x≤2，所以若函数的值域是{y｜0＜y≤4}，则它的定义域一定是{x|x≤2}.
5．A
【解析】本题考查指数函数的性质与最值.因为，所以，所以.即的值域是.选A.