3.4函数的应用（一）课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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3.4函数的应用（一）课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ）
A．30 B．40
C．50 D．60
2．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（ ）
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
3．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（ ）
A．1.5min B．2min C．3min D．4min
4．定义在上的函数满足，且对任意的，，都有，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．奇函数和偶函数的图象分别如图1、图2所示，方程和的实根个数分别，，则（ ）
A．3 B．7 C．10 D．14
7．你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
8．已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数 B．函数=0有两个解
C．在区间上单调递减 D．有最大值，没有最小值
二、多项选择题
9．国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ）
A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物
C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物
10．设函数的定义域为R，且满足，当时，. 则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．方程在所有根之和为
11．某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（ ）
A．9 B．7 C．13 D．11
三、填空题
12．若函数的最小值为，则实数的取值范围为 ．
13．已知某个店铺销售的某商品价格为40元/件，购物节期间这家店铺对该商品进行促销，顾客支付款不超过100元的部分按照返现，超过100元的部分按照返现.若促销活动期间在该店铺购买件商品，所需费用（支付款减去返现）为元，则时， .
14．已知是定义在上的增函数，且，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本）
(2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式；
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
16．设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．
(1)设，求关于的函数的解析式及其定义域；
(2)求面积的最大值及相应的值．
17．某公司租地建仓库，每月土地占用费与车库到车站的距离成反比，而每月的库存货物的运费与车库到车站的距离成正比如果在距离车站公里处建立仓库，这两项费用和分别为万元和万元．
(1)分别求出和关于距离的关系式；
(2)求若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站多远处？此时最少费用为多少万元？
18．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
19．“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚，近几年，国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车的政策，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．某新能源沉车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件，已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产万件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为2000元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少万件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
参考答案
一、单项选择题
1．C
【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，所以设生产x台，建立关系式f(x)＝25x－y，代入求最大值即可.
【详解】设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.
故当x＝50台时，获利润最大.
故选：C
2．C
【分析】根据题意建立相应的函数模型，转化为求函数的最大值问题求解即可.
【详解】设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，∴当或10时，最大，为120万元.故选C.
3．D
【分析】分别令和，求出后检验是否符合范围.
【详解】令，解得；令，解得，不符合题意，
所以需要等待的时间为4min．
故选：D
4．C
【分析】由条件，可知函数关于对称，由对任意都有，可知函数在时单调递增，然后根据单调性和对称性即可得到，化简即可求解．
【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称，
又对任意的，，都有，
所以在上单调递增，
若，则，
解得，
即的取值范围是.
故选：C.
5．B
【分析】根据抽象函数的性质即可求解.
【详解】由题，，设，，
则，，，，，
所以函数的周期为6，
故，，，．
由，则，即，
由，则，即，
所以，可得无法确定．
所以，无法判断．
综上所述，．
故选：B.
6．B
【分析】令，得到，从而求出对应的解，，同理可得有4个解，，得到答案.
【详解】结合函数图象可知中，令，则，故，
结合图象可知，的根为0，有2个根，无解；
故有3个解，故；
中，令，则有2个根，不妨设，
当，即，此时有2个解，
当，即，此时有2个解，
故有4个解，即，
综上，.
故选：B
7．A
【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可.
【详解】由题意，，
则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.
故选：A.
8．B
【分析】画出函数的图象，数形结合对各个选项逐个判断即可.
【详解】在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，
从而得函数图象，如图实线部分：
对于A，因为函数图象关于y轴对称，所以是偶函数，正确；
对于B，根据零点的定义结合函数的图象知，函数=0有三个解，分别为，错误；
对于C，从函数图象观察得在区间上单调递减，正确；
对于D，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确；
故选：B
二、多项选择题
9．AC
【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可.
【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场，
所以选项A正确；
当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，
，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误；
当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为
，因为，所以
故，所以应进乙商场，所以选项C正确；
假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为，
所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误.
故选：AC
10．ABD
【分析】根据，利用变量代换，可判断A；利用赋值法求得，结合A的结论，判断B；采用反证思想，推出矛盾，判断C；将方程的根的问题转化函数图象的交点问题，数形结合，判断D.
【详解】由代换等式中可得，
即化为，又，即化为；
又由代换等式中可得，
即化为，再用代换可得，
即成立，即A正确.
令代入等式有，即，
又成立，即B正确.
若为偶函数，即函数图象关于轴对称，
故将的图象向左平移一个单位长度可得函数的图象，其图象应关于对称，
即成立，结合，
则，即，
令，则，而时，，则，矛盾，
故假设不成立，即C错误.
方程可化为，即该方程的根等价于函数与图象公共点的横坐标，
因为，故图象关于成中心对称；
由于，则图象关于直线对称；
结合时，可作出在上的图象：
如图：
而函数图象由图象向左平移1个单位得到，也关于成中心对称；
故两函数图象都关于点中心对称，
结合图象可知与的图象在上恰好有八个公共点，
记为，且，
又这八个公共点两两关于对称，则，
D正确；
故选：ABD
11．AD
【分析】将销售额表示成一个关于的函数，然后确定满足条件的的可能值即可.
【详解】设此种商品的月销售额为，
由题意知，单价为，销售量为，
所以销售额：，
所以，
,
,
.
故x的取值可能为9或者11，不可能是7或者13.
故选：AD
三、填空题
12．
【分析】根据分段函数解析式，由二次函数单调性以及基本不等式求得两部分取得最小值的表达式，解不等式即可得出结果.
【详解】当 时，关于对称，
若最小值为，可知，即可得；
又当 时，，当且仅当 时等号成立；
若最小值为，可得，
即，解得：
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：
13．
【分析】根据题意分析得时的原价，进而求得促销后的费用的解析式，从而得解.
【详解】因为当时，元，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】解抽象函数不等式时，先使式子有意义；再根据函数的单调性比较与的大小即可求解．
【详解】由题意，可知，解得．
又在上是增函数，且，
所以，解得．故所求实数的取值范围为．
故答案为
四、解答题
15．(1)200万元
(2)
(3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元
【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可；
（2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示.
（3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值.
【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元.
（2）当时，；
当时，不妨设降价元，则，得到，
所以；
当时，；
所以.
（3）由（2）知，当时，，函数单调递增，
当时，利润最大，此时利润是450万元；
当时，，
当时，利润最大，此时利润是500万元；
当时，，
当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元.
因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元.
16．(1)定义域为；
(2)的面积有最大值，此时cm.
【分析】（1）根据题意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及定义域；
（2）表达出的面积，结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）因为矩形的周长为，，则，
又，即，又，，
易知≌，所以，
在中，根据勾股定理得，即，
整理得，
故，定义域为.
（2）由题意，
，当且仅当时，等号成立.
所以，当时，的面积有最大值．
17．(1)，．
(2)仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元．
【分析】由题意设，，求得，，故，．
设这两项费用之和为，则，利用基本不等式求解可得时，即可求解．
【详解】（1）设，，
由题意可得：，，解得，．
所以，.
（2）设这两项费用之和为，
则
，
，
当且仅当，即时取得等号．
答：若要使得这两项费用之和最小时，仓库应建在距离车站公里处，此时最少费用为万元．
18．(1)；
(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元
【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润；
（2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润．
【详解】（1）当时，；
当时，，
．
（2）若，当时，万元；
若，
，
当且仅当时，即时，万元，
由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，
最大利润是1680万元．
19．(1)
(2)50；2200
【分析】（1）由题意，分和两种情况求利润；
（2）结合二次函数性质及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，
当时，，
当时，，
所以年利润y（万元）与年产量x（万件）的关系式为.
（2）当时，，开口向下，
所以当时，；
当时，
，
当且仅当即时，等号成立，此时，
因为，
所以，该产品的年产量为50万件时，公司所获年利润最大，利润最大为2200.
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