3.3幂函数课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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3.3幂函数课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知幂函数是奇函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．或2
4．已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知幂函数，若且都有成立，则m的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
7．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知幂函数的图象过点，函数，则“，”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若，则 D．若，则
10．已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知幂函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象都经过点
B．函数的图象不经过第四象限
C．若，则函数在上单调递增
D．若，则对任意实数，有
三、填空题
12．已知为幂函数，则函数的图象经过的定点坐标为 ．
13．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ．
14．若函数为减函数，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知幂函数在区间上单调递减．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，求的取值范围．
15．已知幂函数在上单调递增．
(1)求的值；
(2)当时，求函数的最小值．
17．已知幂函数的图象经过点．
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围；
(3)设，求的最大值．
18．已知幂函数的定义域不为.
(1)求的解析式；
(2)若不等式恒成立，求a的取值范围.
19．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，，且的最小值为0，求实数m的值；
(3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为 若存在，求出实数n的取值范围，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1．B
【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式，
方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断；
方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断．
【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得，
于是．
方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D；
因为，所以函数为偶函数，
图象关于轴对称，排除C．
方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D；
又，排除C．
故选：B．
2．C
【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小.
【详解】，，对于幂函数，
因为指数，故在上单调递增，又，所以．
故选：C.
3．A
【分析】根据幂函数的定义求出的可能值，再结合奇偶性即可得出结果．
【详解】由为幂函数得，即，解得或．
当时，，，原幂函数为偶函数，所以；
当时，，，原幂函数为奇函数，故．
故选：A．
4．C
【分析】由单调性求解.
【详解】因为在单调递减，
所以由可得，解得，
故选：C.
5．B
【分析】根据幂函数的单调性求解.
【详解】因为，所以函数在上为增函数，由可得，解得．
故选：B.
6．D
【分析】先根据幂函数的概念求出或，再根据幂函数在上的单调性进行选择.
【详解】因为是幂函数，所以，解得或．
因为且都有成立，
所以在上单调递减，所以．
故选：D
7．D
【分析】根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性求解不等式.
【详解】已知幂函数在上单调递减，则
解不等式得：，所以
此时幂函数为，其图像关于轴对称，满足条件，所以
将代入不等式，得：
因为幂函数在上单调递增，所以由
可得：
解不等式，得：
满足不等式的的取值范围是
故选：D.
8．C
【分析】根据幂函数图象过点，求出，得到的解析式，并根据条件得到在上单调递减时的取值范围，最后根据必要不充分条件的含义得答案．
【详解】设幂函数，其图象过点，
，解得，，
,若满足，，
则在上单调递减，，解得，
的取值范围是，又是的真子集，
是的一个必要不充分条件.
故选：.
二、多项选择题
9．AC
【分析】先代入点求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，可判断AB；由时，可得可判断C；利用展开与0比较可判断D.
【详解】设幂函数
将点代入函数得：，则，
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确；
因为的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确；
当时，，即，所以C正确；
时，
，
所以，又，
所以成立，所以D不正确.
故选：AC
10．BC
【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可.
【详解】因为是幂函数，可设，
因为幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，所以，定义域为，
设，定义域为，因为，
所以由幂函数性质得在上单调递增，
若，则有，即，故A错误，B正确；
设，定义域为，
因为，所以由幂函数性质得在上单调递减，
若，则有，即，故C正确，D错误.
故选：BC
11．BCD
【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小.
【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误；
B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确；
C选项，若，则函数在上单调递增，C正确；
D选项，，，
，
故
，当且仅当时，等号成立，
故，D正确.
故选：BCD
三、填空题
12．(1,2)
【分析】根据幂函数的性质确定所过定点，即可确定所过定点．
【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有，
所以，即的图象经过定点(1,2)，
故答案为：．
13．
【分析】利用是幂函数和图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可.
【详解】因为是幂函数且图象经过点，
所以，解得，所以，
易知在上单调递增，则由得，
解得，故原不等式的解集为，
故答案为：
14．
【分析】分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围．
【详解】为上的减函数，
时，单调递减，即，则；
时，单调递减，即，则；且，即．
综上可得，的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
15．(1)为奇函数．
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性.
（2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案.
【详解】（1）由幂函数的定义得，
解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即，
故，则，
又为奇函数．
（2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减，
当时，无解，舍去；
当时，解得；
当时，解得．
综上，的取值范围是．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值.（2）讨论对称轴与区间的关系，根据函数的单调性求得在上的最小值．
【详解】（1）由幂函数的定义及单调性得
解得故．
（2）由（1）知，则，对称轴为直线，
当，即时，在上单调递增，所以；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当，即时，在上单调递减，所以．
综上所述，
17．(1)
(2)
(3)2
【分析】（1）由幂函数的定义及单调性得出的值；
（2）根据的单调性解不等式即可；
（3）利用基本不等式求解.
【详解】（1）由是幂函数，得，解得或．
当时，，当时，，不符合题意；
当时，，当时，，符合题意．
∴．
（2），即，
∵函数在R上单调递增，
∴，解得．
∴a的取值范围为．
（3），则，，
∵，
∴，当且仅当时取等号，
∴的最大值为2．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可；
（2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解.
【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或，
若，则的定义域为，不符合题意，
若，则的定义域为，符合题意，
所以的解析式为.
（2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数，
由可得，
因为在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或，
所以a的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用幂函数的定义即可求解参数，再利用幂函数的性质，进行检验参数值即可得解；
（2）利用分类讨论思想判断二次函数在闭区间上的最小值的取值情况，即可求解参数；
（3）利用函数的单调性由定义域和值域对应关系组成方程组，再利用消元思想，得到的函数关系，最后通过研究定义域，即可求出的值域.
【详解】（1）∵是幂函数，∴得，解得：或，
当时，，不满足，
当时，，满足，
∴故得，函数的解析式为；
（2）由函数，即，令，
∵，∴，记，其对称轴在，
①当，即时，则，
解得：，此时满足，保留；
②当时，即，
则，解得：，此时不满足，舍去；
③当时，即时，
则，解得：，此时不满足，舍去；
综上所述，存在使得的最小值为0；
（3）由函数在定义域内为单调递减函数，
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
由两式相减可得：
，
所以有，代入可得：
，令，
因为，，
即，，
所以，即，则，
而．故得实数的取值范围.
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