3.2.2奇偶性课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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3.2.2奇偶性课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．已知定义域为的函数满足，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
3．已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是定义在上的奇函数，且点在函数的图象上，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（ ）
A． B． C．2024 D．0
6．已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
7．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（ ）
A．
B．若，则或
C．若，则
D．，当时，
10．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．
C．在单调递增 D．是偶函数
11．已知函数的定义域为，且当时，，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．
D．不等式的解集为
三、填空题
12．若函数是定义在区间上的奇函数，则 ．
13．已知定义在上的奇函数满足，若，则实数的取值范围是 ．
14．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ．
四、解答题
15．已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，.
(1)证明：为奇函数.
(2)证明：在上是减函数.
(3)求不等式的解集.
16．已知定义在上的偶函数，当时，．
(1)求的解析式；
(2)写出的单调区间；
(3)求出的值域．
17．已知函数．
(1)判断的奇偶性与单调性；
(2)若，求的解集．
18．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，．
(1)证明：；
(2)判断函数的奇偶性，并给予证明；
(3)当时，求不等式的解集．
19．已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求的值；
(2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．A
【分析】由题意可得函数为奇函数，由代入计算可得，由代入计算可得，计算即可求解.
【详解】因为函数定义域为且，
所以函数是奇函数且，
即，所以，
又，所以，所以，即.
故选：A．
2．D
【分析】由函数奇偶性求解析式即可.
【详解】解析 因为当时，，为奇函数，
所以当时，，
所以，即，
故选：D．
3．A
【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可.
【详解】由于为奇函数，可得：，
令，得：，解得：；
又为偶函数，则，
令，得：.
故选：A
4．D
【分析】根据奇函数图象关于原点中心对称求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点中心对称，
因为点在函数的图象上，
故必在函数的图象上．
故选：D
5．A
【分析】根据函数的奇偶性列式求得再根据求出，即得函数解析式，根据函数解析式的特征，化简计算得，将所求式分组求和即得.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
化简得，因不恒为0，则故．
又由，可得，即，则，
又因为，
所以
．
故选：A.
6．C【详解】由是奇函数，可得，故的图象又是上的偶函数，则，
所以，因，则.
故选：C．
7．C
【分析】利用函数的奇偶性及单调性可分别作出函数、的图象，结合图象即可求解不等式.
【详解】由为上的偶函数可知的图象关于y轴对称，且，
而函数的图象为的图象向左平移2个单位得到的，
作出与的示意图如图所示，
结合图象可知时，的函数值互为相反数，
故的解集为．

故选：C.
8．C
【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围.
【详解】因为是上的偶函数，所以，
又在上单调递增，结合，所以，
解得或，
故实数的取值范围为．
故选：C
二、多项选择题
9．ABD
【分析】依题意，结合偶函数特征和单调性逐选项判断即可.
【详解】因为定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，
所以区间上单调递增，，
对于A，区间上单调递减，，所以，故A正确；
对于B，若，则或，解得或，故B正确；
对于C，若，当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，，
当，，当，，
所以若，则，故C错误；
对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，， 故D正确；
故选：ABD.
10．ACD
【分析】利用赋值法判断AB，利用函数单调性和奇偶性的定义判断CD即可.
【详解】令，得，解得正确；
令，得1，即，解得，B错误；
令，且，则，
因为当时，，所以，即，所以在单调递增，C正确；
令，则，由B项知1，则，故是偶函数，D正确；
故选：ACD
11．BCD
【分析】通过赋值法依次求得即可判断A；令并结合选项A，即可判断B；令，得，代入计算即可判断C；先将转化为，再证明为偶函数，从而，解之即可判断D.
【详解】对于A，令，有，所以，
令，有，所以，故A错误；
对于B，令，则，即，
所以函数为偶函数，故B正确；
对于C，令，则，即，
则，故C正确；
对于D，不等式等价于，
即．
，且
，
又，所以，所以，所以，
所以函数在上单调递增．
因为为偶函数，
所以等价于，
解得，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
12．2
【分析】由奇函数定义及性质求解.
【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得．
因为是奇函数，所以，所以，
即，解得，所以．
故答案为：2.
13．
【分析】根据函数奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】是增函数，且，
因为为奇函数，所以在上是增函数．
由，得，
于是，解得．故．
故答案为：.
14．
【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可
【详解】，
不等式可变形为，即，
函数是定义在上的偶函数，，
所以为偶函数，若函数在上单调递增，
所以函数在上单调递减，
所以，解得，
故答案为：．
四、解答题
15．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证；
（2）设有，结合已知和单调性定义即可证；
（3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集.
【详解】（1）令，则，所以，
令，则，
所以且定义域为R，故为奇函数；
（2）设，因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，故在上单调递减；
（3）因为为奇函数，且，所以，
不等式化为，
因为在上单调递减，所以，即，解得，
即不等式的解集是.
16．(1)
(2)单增区间为，，单减区间为，.
(3)
【分析】（1）令求出，再根据偶函数的定义即可；
（2）根据二次函数的性质得出在上的单调性，再结合偶函数的性质即可；
（3）根据二次函数的单调性以及偶函数的性质可得.
【详解】（1）若，则，则，
因是偶函数，则，
则.
（2）时，的图象开口朝上且对称轴为，
则的单增区间为，单减区间为，
因是偶函数，则的单增区间为，，
单减区间为，.
（3）由的单调性以及偶函数的性质可知，，
故的值域为

17．(1)奇函数，在单调递增，在单调递增
(2)
【分析】（1）由奇函数定义判断奇偶性，由单调性定义及奇函数性质判断单调性；（2）写出其等价不等式组，再利用单调性求解.
【详解】（1）因为函数的定义域为，关于原点对称，
且，故是奇函数；
任取，且，
则
，
因为，且，所以，
又，所以，即，
故在单调递增，
由函数为奇函数可得在单调递增；
（2）由题意得等价于或
由（1）得是奇函数，因为，所以，
①即
解得或；
②即解得，
综上，的解集为．
18．(1)证明见解析；
(2)函数为偶函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）令，得到，令，得，结合已知得，即可证；
（2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证；
（3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式．
【详解】（1）令，则有，
由，得，即，所以．
令，，则，即，
因为，所以，所以；
（2）函数为偶函数，证明如下：
由（1）知，，令．则，
所以，所以，
所以函数为偶函数；
（3）令，则，
所以，所以．
因为，所以，
所以，即，即，
又，，所以．
当时，在区间上单调递减，
由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增，
所以，所以，解得．
所以当时，不等式的解集为.
19．(1)
(2)单调递减，证明见解析；
(3).
【分析】（1）利用与求出的值并验证即可.
（2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性.
（3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得，
则，又，于是，解得，
，，即是奇函数，
所以.
（2）函数在上的单调递减，理由如下：
任意，且，
则
，
由，得，
则，即，因此
所以函数在上的单调递减.
（3）由对任意的，总存在，使得成立，
得在上的最大值不大于在上的最大值，
由函数在上的单调递减，得，
当时，，恒成立，因此；
当时，在上单调递增，，
则，解得，因此；
当时，在上单调递减，，
则，解得，因此，
所以实数k的取值范围是.
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