3.2.1单调性与最大（小）值课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

3.2.1单调性与最大（小）值课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．若在上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数在区间上的最大值为5，则（ ）
A．2 B．3 C．15 D．3或15
3．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则的最大值为（ ）
A． B．6 C．4 D．3
6．已知函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B． C．2 D．3
7．函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（ ）
A．定义域为；单调递增区间为
B．定义域为；单调递增区间为，
C．定义域为；单调递增区间为
D．定义域为；单调递增区间为
8．若函数在区间上的值域为，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、多项选择题
9．已知函数是上的增函数，则a的取值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
10．已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的单调递增区间
B．是函数的单调递减区间
C．函数在上单调递增
D．函数在上单调递减
11．定义在区间上的函数满足，，且对任意的，都有，则（ ）
A．
B．
C．不等式在区间上恒成立
D．若，都有，则的最小值为
三、填空题
12．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ．
13．已知函数在区间上的值域为，则 ．
14．函数满足，若在区间内的最大值为5，则最小值为 ．
四、解答题
15．已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)，使得成立，求的取值范围.
16．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．
(1)求的值；
(2)求证：在R上为增函数；
17．已知函数，且
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的最值．
18．已知函数.
(1)若，求函数的图像在上的最小值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
19．已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)当方程恰有两个实根时，求的值；
(3)若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围．
20．定义在上的函数满足当时，，且对任意的，，有．证明：
(1)；
(2)对任意的恒有；
(3)是增函数．
21．设函数.
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由.
22．已知函数．
(1)若的解集为，求实数的值；
(2)若在上具有单调性，求实数的取值范围；
(3)当时，对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．D
【分析】根据题意可知二次函数的对称轴和开口方向，结合单调性列式求解即可.
【详解】因为函数的图象开口向下，对称轴为，
若在上是单调函数，则或，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
2．B
【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值.
【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得．
故选：B.
3．C
【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围.
【详解】令，则，.
已知在上单调递增，则在上单调递增，且.
若，则，此时在单调递增，
且，符合题意.
若，则须满足：
即.
综上，.
故选：C.
4．D
【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解.
【详解】由题意得，即，
由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立．
故选：D
5．A
【分析】令，利用二次函数性质求解可得.
【详解】令，则，．
因为，则，所以．
又在单调递增，在单调递减，
所以，所以．
故选：A
6．A
【分析】求解函数的定义域，并对进行平方，进而判断其单调性，得到最值．
【详解】由题意得函数的定义域满足，且，
解得，则函数的定义域为．
由得，
则在区间内的最大值为，最小值为．
易知函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，
则函数在处取得最大值，即，
又，
所以函数的最小值为6，即．
所以．
故选：A
7．D
【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.
【详解】由图象可知定义域为，函数的单调递增区间有2个，即，.
故选：D.
8．D
【分析】由题意有最小值，当时，解得或，根据函数的单调性可得的最大值，的最小值，从而得解．
【详解】因为函数，
所以当时，有最小值，
当时，，解得或，
又因为当时，单调递减，当时，单调递增，
所以的最大值为5，的最小值为，
所以的最大值为．
故选：D.
二、多项选择题
9．ABC
【分析】先分析每一段函数的单调性，然后再分析分段点处函数值的大小关系，由此求解即可.
【详解】由题意可得，解得.
所以实数的取值范围是.
故选：ABC.
10．ABD
【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可.
【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确，
对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确，
由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误；
由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．.
故选：ABD.
11．AB
【分析】由题可得时，，其他段函数不确定，据此可逐项判断.
【详解】，，
又，，
又，所以时，，
对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，根据题意只能推导时，，
，也符合题意，故C错误；
对于D，时，，,
，，,
则的最小值为，故D错误；
故选：AB.
三、填空题
12．
【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可.
【详解】解法一 、令，
①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件．
②当时，的图象的对称轴方程为，
若，则在上单调递减，则只需满足，得；
若，则，且时已满足条件．
综上，实数的取值范围为．
解法二、时，，由得，
则在上有解．
令，则当时，；
当时，，
又在单调递增，所以，即，
故实数的取值范围为．
故答案为：.
13．1
【分析】根据值域判断函数单调性，然后可列方程求解.
【详解】由题意得，且在上的值域为，
所以，在上单调递减，即，故．
故答案为：1
14．0
【分析】根据求出的解析式，结合函数的单调性即可求解.
【详解】因为，
所以，在上单调递增.
因为在区间内的最大值为5，
则，
所以，.
故答案为：
解答题
15．(1)
(2)
【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可；
（2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可.
【详解】（1）设二次函数，
因为，
则，解得，即，
又因为，可得，
所以的解析式为.
（2）由题意可得：，则在内单调递增，
则在内的最小值为，
若使得成立，则，
即，解得或，
所以的取值范围是.
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法，求；
（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数.
【详解】（1）由，
故此令，则，
则.
（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，
则，所以，
由得，所以，
故，即，
故此函数为R上增函数.
17．(1)
(2)最小值为，最大值为
【分析】（1）根据求出的值，利用换元法求的解析式即可；
（2）利用函数单调性的定义求函数在上的单调性进而求最值即可.
【详解】（1）方法一：因为，，令，即，
所以，则，解得，
所以，
令，，则，
则，，
所以函数的解析式为.
方法二：由题意，所以，
又，所以，解得，
所以，即函数的解析式为.
（2）由（1）知，任取，，且，
则，
因为，，所以，即，
所以函数在上单调递增，
同理任取，且，则，
因为，，所以，即，
所以函数在上单调递减，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故在上的最小值为，最大值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得，利用二次函数的性质，即可求解；
（2）根据条件，得到，即，即可求解.
【详解】（1）当时，，对称轴为，开口向上
当时，单调递减，所以，
即函数的图像在上的最小值为.
（2）由题知恒成立，则，
解得，所以实数的取值范围为.
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）根据绝对值的概念去掉绝对值符号，解不等式即可.
（2）数形结合，分，讨论方程的解的情况，确定的值.
（3）分，去掉绝对值符号，结合函数的单调性求函数的最值，可确定的取值范围.
【详解】（1）当时，，
得或解得或，所以．
（2）如图：

由得，令，，
由函数图象知当两函数图象在轴右边只有一个交点时满足题意，此时，
所以当时，方程恰有两个实根．
两曲线的交点可能都在双曲线的左支上，此时必有，
又.
由函数图象知当时，两曲线必有一个交点，故只需要当时有一个交点即可满足题意．
当时，在时有根，即在时成立，
由基本不等式知，，等号当且仅当时取到，此时有，满足．
故当方程恰有两个实根时，或．
（3）题设条件即，
当时，，，
因为，当且仅当时取等号.
所以，所以符合题意．
当时，
①当时，，即．
设，函数在上单调递减，在上单调递增.
当时，，所以，
当时，，所以，即，
②当时，，即，所以，．
综上，的取值范围是．
20．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）令代入关系式，结合已知求值，即可证；
（2）令得到，再由已知得，则，结合（1）结论，即可证；
（3）法一：应用作商法，法二：应用作差法，结合函数单调性定义判断证明.
【详解】（1）令，则，又，故；
（2）令，则，即，
由题意，当时，则，有，
所以，又，
所以；
（3）法一：，且，令，
则，则，
因为，所以，，
所以，是增函数；
法二：，且，
所以，
由，得，又，
所以，即，
所以是增函数.
21．(1)
(2)存在，或
【分析】（1）利用二次函数的性质求出对称轴，再结合单调函数的性质求解参数范围即可.
（2）对的大小情况分类讨论，结合二次函数的性质求解符合情况的区间即可.
【详解】（1）由二次函数性质得的对称轴，
因为函数在上是单调函数，
所以或，则实数m的取值范围是.
（2）若，则，
假设存在实数，使得函数的定义域为，值域为，
分以下情况讨论：（i）若，函数在上单调递增，
由题意得，即，
解得，与矛盾，排除，
（ii）若，函数在上单调递减，
由题意得，即，
解得，此时，
（iii）若，函数在上单调递增，在上单调递减，
由题意得，解得，因为，
，所以，
解得，此时，
综上所述，存在实数，或，
使得函数的定义域为，值域为.
22．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）根据的解集得到方程的两根，然后利用韦达定理计算；
（2）根据二次函数的单调性列不等式，解不等式即可；
（3）将恒成立转化为恒成立，然后利用单调性的定义判断单调性求最值即可.
【详解】（1）∵的解集为．
∴是方程的两根．
∴，．
（2）的对称轴方程为．
∵在上具有单调性．
∴，
∴或．
∴实数的取值范围为．
（3），
∴，
设，任取，且．
当时，，∴，
当时，，∴．
∴在上单调递减，在上单调递增，
且．所以当时，，
所以，即取值范围为．
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