3.1函数的概念及其表示课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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3.1函数的概念及其表示课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．已知一次函数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，与函数是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．已知函数，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．下列各图象中，不能表示是的函数的是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
7．已知是定义在上的函数，若，对任意满足：，，则的值为（ ）．
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
8．设函数，使得的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．若，则的值是或
C．的值域为 D．的解集为
三、填空题
12．设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则 .
13．已知函数且，则 ．
14．已知函数满足：对任意非零实数，都有，则的解析式为 ．
四、解答题
15．已知函数，．
(1)在同一坐标系中画出函数的图象；
(2)定义：对作出函数的图象，并求函数的解析式，写出的值域（不需要证明）．
16．（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）已知，求；
（3），求；
（4）已知函数求．
17．已知函数
(1)求，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求的解集．
18．求解下列问题：
(1)函数在上的最大值；
(2)的值域；
(3)的最小值；
(4)的值域．
19．已知二次函数满足，且．
(1)求的解析式；
(2)若时，恒成立，求实数的取值集合．
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】设出函数解析式，利用待定系数法求解.
【详解】由为一次函数，设，
依题意，，整理得6，
因此，解得，所以．
故选：A
2．B
【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可.
【详解】函数的定义域为，对应关系为
的定义域为，但对应关系不同，A错误；
，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确；
的定义域为，C错误；
的定义域为，即或，D错误．
故选：B.
3．C
【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可.
【详解】由题意可得解得且，
故的定义域为且，
故选：C
4．B
【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数，再求函数值即可.
【详解】由，是减函数，可知当时，，
所以，则，
由，得，解得，
所以.
故选：B.
5．D
【分析】利用函数的定义，结合各个选项的图象，即可求解.
【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应，
从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点，
对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，
与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数；
对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，
从而不能表示是的函数；
故选：D．
6．C
【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围．
【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论．
①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意；
②当，即时，应满足，解得．
综上，实数的取值范围为．
故选：C．
7．C
【分析】分别令，可求得，分别用代换，可得，利用累加法可求值.
【详解】由，分别令，则，，，
相加得，由，可得，
所以．
由，分别用代换，
可得，，
又，
累加得，
又，所以，
由，，，，
累加可得，
即，．
故选：C．
8．A
【分析】分和两种情况解不等式即可得解.
【详解】当时，，即显然恒成立，所以；
当时，，解得；
综上，的取值范围是．
故选：A.
二、多项选择题
9．ABD
【分析】先求出集合A和B，再根据集合的交集、并集和补集的定义即可直接计算判断各选项.
【详解】要使函数有意义，则，
所以，即，
因为，所以，即，
所以，，，
故ABD正确，C错误.
故选：ABD
10．ABC
【分析】先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断.
【详解】解：画出的图象如图所示：
由图可知：，
，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，.
故选：ABC.
11．AC
【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得.
【详解】对A：因为，则，故A正确；
对B：当时，，解得（舍去），
当时，，解得或（舍去），故B错误；
对C：当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是，
因此的值域为，故C正确；
对D：当时，，解得，
当时，，解得，
所以的解集为；故D错误
故选：AC.
三、填空题
12．2
【解析】化简得到，根据和得到，解得答案.
【详解】，则，则，
即，，故，
，即，即，
.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了函数的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用判别式法是解题关键.
13．2或
【分析】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意.
【详解】当时，，解得，
因为，故.
当时，，解得，
因为，故.
验证：当时，，符合题意；
当时，，符合题意.
故答案为：2或.
14．
【分析】先整理，进而利用换元法求解即可.
【详解】由，
令，得，
所以的解析式为．
故答案为：.
四、解答题
15．(1)作图见解析
(2)作图见解析，，的值域为
【分析】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线，作出相应图象.
（2）令，分段讨论得出和，结合图象和已知条件讨论得出，作出函数图象，根据图象得出的值域.
【详解】（1）已知，为以为顶点，开口向下的抛物线.
所以图象如图所示．
（2）令，即，
当时，，得；
当时，，得；
则当时，；
当时，；
当时，．
图象法表示的图象如图．
由图象可知，和时函数取得最大值，即，
所以的值域为．
16．（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）令，表示出，代入化简，最后对应即可得到答案
（2）分别将与代入解析式，解出与即可得到答案
（3）方法一：配凑法，，代入原式，再用代替即可得到答案
方法二：换元法：令，，得，化简得到答案
（4）讨论，的的取值范围，得到对应表达式，代入即可得到答案
【详解】解（1）令，又，
所以，
所以，故．
（2）由题可得，与联立，所以，则，故．
（3）方法一：配凑法．因为，
所以．
方法二：换元法．令，，则，则，所以．
（4）①当时，，此时，
②当时，，此时，
③当时，，，
综上所述，
17．(1)，
(2)或1或
(3)作图见解析，
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式分类讨论可求得不等式的解集.
【详解】（1）因为，
所以，．
（2）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得或（舍去）．
综上所述，的值为或1或．
（3）作出函数的图象如图所示：

当时，恒成立；当时，恒成立；
当时，，即，得．
综上所述，的解集为．
18．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可；
（2）利用基本不等式配凑，注意取等条件；
（3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节；
（4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果.
【详解】（1）．
其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示．
当时，当时，所以在上的最大值是．
（2）因为，所以，所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故函数的值域为．
（3）因为，所以，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，则，故函数在上的最小值为.
（4），
设，则，
即，故所求函数的值域为．
19．(1)
(2)实数的取值集合为
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可得的解集为，进而可得，求解即可.
【详解】（1）设，又，所以，所以，
又，所以，
即，所以，解得，
所以；
（2）若时，恒成立，则的解集为，
即的解集为，所以，
所以，即，解得，
所以实数的取值集合为．
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