2.3二次函数与一元二次方程、不等式课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
（一）、知识梳理
一元二次不等式的解法
判别式
二次函数的图象
一元二次方程的根 （其中 无实根
的解集 或
的解集
（二）、课后能力提升训练
一、单项选择题
1．已知关于的不等式0的解集为，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C．或 D．
3．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．或
4．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．-2 B．1 C．2 D．
5．且满足，则的最大值为（ ）．
A． B．5 C．4 D．2
6．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．
7．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题
9．已知关于的不等式，下列关于此不等式的解集结论正确的是（ ）
A．解集可以是 B．解集可以是
C．解集可以是 D．解集可以是
10．抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若方程有两个根，且；则
D．若方程有四个根，则这四个根的和为4
11．已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
三、填空题
12．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则 ．
13．已知关于的不等式的解集中恰有1个整数，则正整数 ．
14．若方程在上有实数根，则的最小值为 ．
四、解答题
15．解下列不等式：
(1)；
(2)．
16．已知二次函数．若的解集为，求ab的值；
17．设二次函数，存在实数，使得．对任何，总有．
(1)求证：关于直线对称；
(2)求证：当时，．
18．已知二次函数满足：①；②对任意，恒成立．
(1)求的解析式；
(2)若存在实数，使得当时，恒成立，求实数的最大值．
19．已知函数 若的两根为 且 求实数m的值；
（三）、参考答案
一、单项选择题
1．B
【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案.
【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，
则由韦达定理：，解得．
故选：B
2．B
【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围.
【详解】由在R上有解，又开口向上，
所以，解得或，即或.
故选：B
3．C
【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】令，
因为方程的两根都大于，
所以由题意可得，解得．
故选：C．
4．C
【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系可得，分析的取值范围，利用基本不等式可得结果.
【详解】由题意得，，方程的两根为，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为.
故选：C.
5．A
【分析】根据一元二次方程有解，利用判别式即可求解.
【详解】将原方程整理为关于的一元二次方程，
即有解，．
故选：A
6．C
【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果.
【详解】不等式可化为：，
当，即时，不等式为，恒成立，满足题意；
当，即时，要使不等式恒成立，则需，
解得：；
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
7．B
【分析】根据分式不等式的求解方法求解即可.
【详解】不等式可化为，即，等价于，
解得，解集为.
故选：B.
8．B
【分析】根据已知得，再应用换元法，令分别求出最值，即可得范围.
【详解】，则，
，则，
令，，
则，
，
当时，当时均满足题意，
.
故选：B
二、多项选择题
9．BD
【分析】由一元二次不等式的解集性质、一元一次不等式的解集性质，逐项判断即可求解.
【详解】对于A，当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，所以不等式的解集不可能为，故A错误；
对于B，当且时，不等式的解集为；当时，，不等式的解集也为，故B正确；
对于C，因为当时，，不等式成立，因此解集至少含有0，而解集不包含0，故C错误；
若该结论正确，显然，且，是一元二次方程的两个实数根，
由，解得，此时不等式为，即，解集为，故D正确.
故选：BD.
10．BCD
【分析】由题可知，，，然后根据二次函数图象与性质逐项判断即可.
【详解】由的顶点坐标为，则，则，
由抛物线图象开口向下，所以，所以，所以A错误；
，所以B正确；
令，则的两根为，且开口向下，
因为方程有两个根，且，
所以与的两交点为，所以，所以C正确；
，其对称轴为，
因为方程有四个根，分别为，
根据对称性知，所以这四个根的和为4，所以D正确.
故选：BCD
11．BCD
【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误.
【详解】A：因为关于的不等式的解集为或，
所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错；
B：由A得，，所以，，
因为，，所以，对；
C：不等式可化为，因为，所以，对；
D：不等式可化为，又，
所以，即，解得，对.
故选：BCD
三、填空题
12．
【分析】由一元二次方程有实数根可得，结合韦达定理可求答案.
【详解】设是一元二次方程的两个实数根，
则，解得，所以，
所以12，解得或，
又，所以．
故答案为：
13．1
【分析】由题设可得不等式解集为，根据解集中整数解个数求参数.
【详解】不等式，
因为为正整数，所以不等式的解集为，
又因为解集中恰有1个整数，所以中只含一个整数1，
所以，即，所以正整数.
故答案为：1
14．
【分析】解法一：设的实数根为，用，表示，再对所求式子进行两次配方和放缩即可求出最值；解法二：设两根为，由根与系数的关系得，用表示所求式子，再通过配方即可求出最值.
【详解】解法一：不妨设的实数根为，且，
则，
所以
，
当且仅当时取等号．
故的最小值为．
解法二：设两根为，由根与系数的关系得
，则．
，
当时，取得最小值．
故答案为：.
四、解答题
15．(1)
(2)或.
【分析】（1）移项后结合一元二次不等式的解法可求不等式的解；
（2）因式分解后可求不等式的解.
【详解】（1）由得，
即，解得．
故原不等式的解集为．
（2）因为，
解得或，所以原不等式的解集为或.
16．【详解】若的解集为，则1，b是方程的根，
由，解得：，由解得：，
所以；
17．【详解】（1）函数满足条件，
令，得，
即抛物线关于直线对称．
（2）由（1）可知：函数关于直线对称，所以，则，
因为存在实数，使得，所以，则，
方程的两个根为，
所以，
由于，
所以．
因为在上递增，所以，
又因为，
所以．
18．【详解】（1）设（）．
由条件②知，当时，有，所以．
由条件①知，，则，所以，
又，即对任意恒成立，
则有，解得．
所以．
（2）显然．存在实数，使得当时，
，即恒成立，
等价于存在实数，使得，
解得，
所以时，，
所以，即实数的最大值为8.
19．【详解】由题意可得：，，
由，
化简得，解得.
故.
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