2.2基本不等式课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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2.2基本不等式课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．若，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
3．若，且满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．已知，则的最小值是（ ）
A．0 B．－1 C． D．1
7．若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．
8．已知正实数，且满足，则的最小值是（ ）
A．1 B． C．3 D．2
二、多项选择题
9．已知，且，则（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是4
D．的最小值是
10．已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．若对于任意恒成立，则实数a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知，则的最小值为 ．
13．已知，若，则的最大值为 ．
14．已知，，且，则的最小值是 .
四、解答题
15．某学校引入种植类劳动教育课程，打算围成如图所示的四块全等的长方形田地种植不同种类的蔬菜，其中一面可以利用原有的墙（足够长），其他各面需要用篱笆围成，设其中一块田地为矩形.
(1)若每块田地的面积为，要使围成四块田地的篱笆总长最小，应该设计田地的长和宽各为多少？
(2)现有40m长的篱笆，要使每块田地的面积最大，应该设计田地的长和宽各为多少？
16．（1）已知，，且，求的最大值；
（2）已知，，，求的最小值；
（3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值.
17．已知，，，，求证：
(1)；
(2)．
18．求最值：
(1)已知，且满足，求的最小值；
(2)已知，求的最大值；
(3)已知，且满足，求的最小值.
19．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一．通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为_____．
其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3.
根据上述材料解决以下问题．
(1)已知为正实数，且，求证：；
(2)已知，且，则的最小值是多少
(3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少 ”时，给出如下解法：
令，则化为．
原式
当且仅当，即，即，时，等号成立．
利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少
参考答案
一、单项选择题
1．B
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为1．
故选：B
2．D
【分析】利用基本不等式可求最小值.
【详解】因为，所以，故，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7．
故选：D.
3．B
【分析】解法一，利用代换法和均值不等式即可求解；
解法二，由权方和不等式：已知均为正实数，则，当且仅当时等号成立．来求解即可；
解法三，利用等式消元化为函数来求值域即可.
【详解】解法一：因为，，
所以
则
当且仅当时，取得最小值2.
解法二：由权方和不等式可得：，
当且仅当时，取得最小值2.
解法三：（消元化为函数值域法）由得，由，则，
即．
故当时，取得最小值为2.
故选：B.
4．A
【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可.
【详解】已知，得，
代入得：
由于，，
得：
当且仅当，即：，时等号成立.
故的最小值为.
故选：A
5．D
【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得
【详解】因为，所以.
，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故选：D
6．A
【分析】方程可变形为，由，，知，，令，，根据基本不等式构造关系求解.
【详解】方程可变形为，
由，，知，，
令，，则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值是0．
故选：A．
7．C
【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】因为正数x，y满足，
所以，
所以，
当且仅当，即，又，时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C
8．B
【分析】利用换元法，设，用表示出目标式，结合函数单调性可求答案.
【详解】设，又，且．
所以，当且仅当“”时取等号．
则，
故选：B．
二、多项选择题
9．AC
【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可.
【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确；
因为，故，当且仅当时，等号成立，
即最小值是，选项B错误；
，
当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确；
，故，
当且仅当时等号成立，
即的最大值为，选项D错误，
故选：AC．
10．AC
【分析】利用基本不等式判断AB；利用三元基本不等式判断CD.
【详解】对于A,B，由题得，则，
故，
当且仅当时等号成立，A正确，B错误；
对于C,D，因为，所以，所以，
所以，故，
当且仅当，时等号成立，C正确，D错误．
故选：AC.
11．CD
【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得
【详解】解： 因为， 所以，
当且仅当，即时等号成立，
对于任意恒成立，所以
所以符合条件有，，
故选： CD．
三、填空题
12．3
【分析】根据已知条件得到，代入到要求的式子中，再利用基本不等式求解最小值即可.
【详解】，，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为3．
故答案为：.
13．2
【分析】根据已知条件结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为2．
故答案为：2
14．8
【分析】由题意，通过“1”的代换化简所求式为，再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，则.
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
则的最小值是8.
故答案为：8.
三、解答题
15．(1)=6m，=4m
(2)=5m，=
【分析】（1）设长为，宽为，则围成四块田地的篱笆总长为，然后由基本不等式可得答案；
（2）设长为，宽为，则，然后由基本不等式可得答案.
【详解】（1）设长为，宽为，
则围成四块田地的篱笆总长为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故应设计田地的长为6m，宽为4m时，可使围成四块田地的篱笆总长最小；
（2）设长为，宽为，则，即，
所以，当且仅当时等号成立，
故应设计田地的长为5m，宽为时，可使每块田地的面积最大.
16．（1）；（2）16；（3）
【分析】（1）两数之和与两数乘积的关系问题，借助基本不等式可以直接求解.
（2）利用的形式变形得出，再利用基本不等式求解.
（3）直接利用基本不等式，解关于的不等式.
【详解】（1）因为，，，
所以，
当且仅当，即，时，取到最大值.
（2）因为，
所以，
又因为，，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
由得即当时，取得最小值16.
（3）因为，，
所以恒成立等价于恒成立.
又，所以，当且仅当等号成立，
从而，解得（舍去）或，所以.
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由柯西不等式，利用即可证明；
（2）由柯西不等式，利用即可证明.
【详解】（1），当，即时取等，
．
（2），当，即时取等，
．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用基本不等式即可；
（2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可；
（3）先化简得，再利用的妙用化简即可.
【详解】（1）因为，且，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，有最小值，最小值为；
（2）因为，则，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以当时，有最大值，最大值为；
（3）因为，所以，
因为，所以，
当且仅当，即，即时取等号，
故当时，有最小值，最小值为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论；
（2）将化为，再应用基本不等式求最小值；
（3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值.
【详解】（1），
当且仅当，即时，等号成立，得证．
（2），
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值是
（3），
令，原式，令，
原式，
当且仅当，即，时，等号成立．
所以的最大值为
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