2.1等式性质与不等式性质课后提升训练（含解析）人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学

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2.1等式性质与不等式性质课后提升训练
人教A版2019必修第一册2025-2026学年高一上册数学
一、单项选择题
1．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，那么 D．若，则
2．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则与大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．已知实数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
11．（多选）已知实数a，b满足，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为 ．
13．已知，，则的取值范围为 ．
14．若正实数满足，则bc的最大值为 ．
四、解答题
15．（1）设，试比较与的大小．
（2）已知且，试比较与的大小．
16．已知，．
(1)求的取值范围．
(2)若将条件变为“，”．
（i）求的取值范围；
（ii）求的取值范围．
17．已知n，k均是正整数，且满足不等式，若对于某一给定的正整数n，存在唯一的正整数k，使该不等式成立．求所有符合条件的正整数n的最大值与最小值．
18．已知，
(1)求x的取值范围
(2)求的取值范围
19．（1）当，都为正数且时，试比较代数式与的大小．
（2）若，求的取值范围；
（3）已知，，求的取值范围．
参考答案
一、单项选择题
1．B
【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误.
【详解】取，有，A错误；
因为，所以，所以，所以，B正确；
取，显然，C错误；
因为，所以，即，D错误．
故选：B
2．D
【分析】根据已知及不等式性质判断大小关系即可.
【详解】因为，所以且，所以．
故选：D
3．D
【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案.
【详解】方法一：设，则，
所以解得即，
因为则
因此．
方法二：设，则，
所以，
又因为，所以，
因此．
故选：D
4．B
【分析】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解.
【详解】法一：设
故且，所以，故，
由于，则，
所以，
整理得，故最小值为，
此时由，可得；
法二：设，则，所以，
由于，所以，故，
即，故最小值为，同法可得．
故选：B
5．C
【分析】利用作差比较法求解.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
6．C
【分析】由不等式的性质作差后分别证明充分性和必要性即可.
【详解】若，，则，
则，即，必要性成立；
若，，则，
所以，充分性成立，
所以如果，那么“”是“”的充要条件.
故选：C
7．D
【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围.
【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对；
B：同乘，不等式变号，得，又，
由不等式的同向可加性得，即，对；
C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对；
D：因为，则有又，
由不等式的同向同正可乘性得，则，错.
故选：D
8．B
【分析】分，，三种情况讨论即可求解.
【详解】当时，对于不等式，此时，则对任意实数都满足；
当时，对于不等式，即，解得：；
当时，对于不等式，即，解得：，
综上要使对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，即，
故选：B
二、多项选择题
9．BC
【分析】应用不等式性质及特殊值法判断各项的正误.
【详解】取，则，A错误；
由题设，得，B正确；
由于,故,
则，C正确；
取，则，D错误．
故选：BC
10．AB
【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案.
【详解】A选项，，相加得，故，A正确；
B选项，，相加得，故，B正确；
C选项，设，
故，解得，所以，
故，相加得，
即，C错误；
D选项，设，
故，解得，故，
，
相加得，，D错误.
故选：AB
11．BC
【分析】由不等式的性质逐一验算各个选项即可求解.
【详解】记①，②，因为，
所以由①②得，A错误，B正确；
由①，②得，，
两式相加得，所以，C正确，D错误．
故选：BC.
三、填空题
12．
【分析】根据不等式组的解集结合条件解的范围即可.
【详解】由解得，
由解得，
所以不等式组的解集为，
因为不等式组的最小整数解为，
所以，解得，
所以符合条件的的取值范围为
13．【详解】令，则解得，
故，由，得，
又，故，即．
14．9
【分析】原式变形为，若，上式左边，矛盾，故，变形得到，故，得到，从而得到答案.
【详解】原式变形为．
若，故
则上式左边，矛盾，故．
原式两边同时乘以，得，
即，，
因为，所以，，
所以，
所以，，
当时等号成立．
故bc的最大值为9．
故答案为：9
四、解答题
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）对两个多项式比较大小，一般先作差后分解因式再比较大小．若两式相除可以约去一些公共项，也可选用作商法比较．
（2）两个分式比较大小，根据式子特征构造两式之差或商再比较大小即可．
【详解】（1）方法一：作差法．
．
因为，所以，所以，
所以．
方法二：作商法．
因为，所以，
两式作商可得，
所以．
（2）方法一：作差法．
．因为且，所以．
又因为，所以，则
又因为，所以，即．
方法二：作商法．
因为，所以，
两式作商可得，
因为，由倒数法则可知，
又，所以由不等式的性质得，
则由同向可加性得知，
则，即．
16．(1)；
(2)（ⅰ）；（ii）．
【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围；
（2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围.
【详解】（1）因为，所以，又，所以．
因为，所以．
（2）（i），，两式相加得，解得，
所以的取值范围为．
（ii）法一：令，所以，
所以则所以．
因为，，所以，，
所以．
法二：令则且
所以．
由得，，
所以，即.
17．最大值18，最小值10.
【分析】由条件得到，进而得到，即，由，知，逐个判断即可.
【详解】根据得，所以
于是，
因对于某一给定的正整数n，只有唯一的一个正整数k，使该不等式成立，
所以，解得，
又因为n为正整数，当时，，满足条件的正整数，有两个，不符合题意，应舍去；
当时，，满足条件的正整数，有两个，不符合题意，应舍去；
当时，，满足条件的正整数，只有一个，符合题意，
所以正整数n的最大值是18．
对于，
当时，由，得无解，
当时，易得，对于无解，
当时，由，，满足条件的正整数，只有一个，符合题意，
所以正整数n的最小值是10．
18．【详解】（1），
两个不等式相加可得
解得.
（2）设，
则，.
即，
又，
，
，
即
19．【详解】（1）．
因为，所以，，
所以．
因为p，q都为正数，所以，
因此，当且仅当时等号成立．
（2）因为，即，，
所以，所以，
又，所以.
（3）设，
，解得，．
，，
，，
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